Как Вам такой числовой ряд? (сходится или расходится)

[Sonic86]

Ааа, туплю, доперло, спасибо!

[Руст]

sup в сообщении #416507 писал(а):

Уважаемый Руст, простите за назойливость, но вопрос действительно очень интересный.
А как же известный ряд
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac {\sin n}{n^a}$
Уж он то точно сходится при $a>0$.

Да сходится.

Цитата:

Для Вас он, наверное, не очень интересен, поскольку, как я понял, Вас интересуют куда более общие ряды
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac {e^{if(n)}}{n^a}$

Да. Только надо учесть, что даже для периодической функции как в исходной задаче при этом (при разложении в ряд Фурье) появятся суммы по кратным $\sum_n\sin (mn)$. Тут возникает проблема резонансных частот, когда $m=Q_k$ где они на половине $Q_k/2$ дают максимальные отклонения порядка $O(q_n)$ и для Лиувиллевых чисел могут дать как угодно большие значения.

Цитата:

Почему для этого ряда не важно будет ли Лиувиллевым число $\pi$?

Надеюсь ответил.

Цитата:

Как я уже упоминал, вместо одного синуса можно взять произвольную конечную сумму из нескольких синусов. Может отсюда с помощью Вашей теории и удастся доказать некие свойства числа $\pi$?

Думаю удастся доказать нормальность числа $\pi$. Иррациональное число $\alpha$ я называю нормальным, если для любого $a>2$ имеется только конечное число приближений с условием $|\alpha-\frac{P_n}{Q_n}|<\frac{1}{Q_n^a}.$
Кстати известно, что все иррациональные числа, за исключением меры ноль нормальны.

[ИСН]

У этих нормальностью называют ту штуку с цифрами. Кстати, она тоже верна для почти всех, а не доказана почти ни для кого. Вот засада!

[Руст]

ИСН в сообщении #416526 писал(а):

У этих нормальностью называют ту штуку с цифрами. Кстати, она тоже верна для почти всех, а не доказана почти ни для кого. Вот засада!

Квадратичные рациональности очевидно нормальны. Из теоремы Рота получается, что все алгебраические числа нормальны.

[ИСН]

Да, я слышал об этом. Ещё само число e и некоторые его степени. Всё равно, получается всего лишь счётное множество - одинокая травинка в пустыне континуума.

[nnosipov]

Руст в сообщении #416546 писал(а):

ИСН в сообщении #416526 писал(а):

У этих нормальностью называют ту штуку с цифрами. Кстати, она тоже верна для почти всех, а не доказана почти ни для кого. Вот засада!

Квадратичные рациональности очевидно нормальны. Из теоремы Рота получается, что все алгебраические числа нормальны.

Вообще-то, термин "нормальное число" уже занят (и означает нечто другое). Может, лучше говорить "плохо приближаемое число". Во всяком случае, квадратичные иррациональности именно таковы.

[RIP]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #416763 писал(а):

Вообще-то, термин "нормальное число" уже занят (и означает нечто другое). Может, лучше говорить "плохо приближаемое число".

Термин "плохо приближаемое число" тоже занят: это число $\alpha\in\mathbb R$ такое, что $\inf\limits_{q\in\mathbb N}q\|q\alpha\|>0$, где $\|\cdot\|$ --- расстояние до ближайшего целого (то есть иррациональное число с ограниченными неполными частными).

[ИСН]

(Оффтоп)

Дак это разве не ровно то же самое?

[RIP]

(Оффтоп)

Нет, это означает отсутствие приближений с условием $\left|\alpha-p/q\right|<\frac c{q^2}$ для достаточно малой $c=c(\alpha)>0$. Эти числа образуют множество меры 0 (хотя и полной хаусдорфовой размерности).

[ИСН]

(Оффтоп)

А, ну да, разница есть. То есть что же: почти все числа сидят вот в этой узкой щели между "2" и "чуть-чуть больше 2"?

[RIP]

(Оффтоп)

Почти точная грань такова. Пусть $\psi\colon\mathbb N\to(0,+\infty)$. 2 случая:
1) Если $\sum_{q\in\mathbb N}\psi(q)<\infty$, то для почти всех $\alpha\in\mathbb R$ существует только конечное число натуральных решений неравенства $\|q\alpha\|\le\psi(q)$. Это тривиально.
2) Если функция $\psi$ монотонна и $\sum_{q\in\mathbb N}\psi(q)=\infty$, то для почти всех $\alpha$ количество решений бесконечно. Условие монотонности совсем отбросить нельзя. Это уже серьёзная теорема, которую любят называть теоремой Хинчина, хотя у самого Хинчина было более слабое утверждение; в такой формулировке это доказали, по-моему, Duffin и Schaeffer.
Ещё доказано, что для любой функции число решений либо почти всюду конечно, либо почти всюду бесконечно (это Cassels, кажись), но какого-нибудь нетривиального критерия я не знаю.

[nnosipov]

RIP в сообщении #417414 писал(а):

(Оффтоп)

Термин "плохо приближаемое число" тоже занят: это число $\alpha\in\mathbb R$ такое, что $\inf\limits_{q\in\mathbb N}q\|q\alpha\|>0$, где $\|\cdot\|$ --- расстояние до ближайшего целого (то есть иррациональное число с ограниченными неполными частными).

(Оффтоп)

Я знаю, что такое плохо приближаемое число. Но здесь хотя бы по смыслу ближе. Хотя в любом случае лучше не использовать занятые термины.