Как Вам такой числовой ряд? (сходится или расходится)

[Mr. X]

Исследовать сходимость ряда

$$\sum_{n=1}^{\infty}\;\frac{1}{n}\tg n\ln(1+\cos n)\,.$$

[gris]

Никаких доводов за сходимость не видится. Ну знакопеременность, разве что. Аргумент тангенса ни к чему хорошему не сходится. Сам тангенс может такое выкинуть, что и необходимый признак не сработает.
Или там произведение тангенса и логарифма? Тоже ничего хорошего. Или есть что-то? Вроде бы необходимый признак будев выполняться.

[myra_panama]

Mr. X в сообщении #416027 писал(а):

$$\sum_{n=1}^{\infty}\;\frac{1}{n}\tg n\ln(1+\cos n)\,.$$

здесь вообще как , произведение тангенса с логарифма или аргумент тангенса?
если такой:
$\sum_{n=1}^{\infty}\;\frac{1}{n}\tg (n\ln(1+\cos n))$
то ряд расходиться...

[ewert]

Сходится. В числителе стоит нечётная периодическая ограниченная функция, поэтому частичные суммы числителя должны быть, по идее, ограничены. Правда, как это доказать -- не знаю, но эксперимент это подтверждает.

(Имелся в виду, конечно, исходный ряд.)

[sup]

Все бы ничего, да вот в точке $\pi$ неприятность. А так можно было бы попробовать равномерность распределения $\{n/2\pi\}$ подтянуть.

[myra_panama]

Можно ли выбрать n такой , что $\ln(1+\cos n) \approx \frac{\pi k}4$?

(Оффтоп)

Если да то по моему можно исследовать на расходимость .

[ewert]

sup в сообщении #416058 писал(а):

Все бы ничего, да вот в точке $\pi$ неприятность.

Какая неприятность?... Гладкости -- да, нет. Но непрерывность-то есть.

[age]

Эксперимент показывает, что даже более сильный ряд:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\tg n\ln(1+\cos n)\,.$$

сходится, но значение суммы ряда не может быть определено, т.к. прыгает в пределах от 0 до 3 в зависимости от близости $n$ к $\dfrac{\pi k}{2}$.

[gris]

То, что функция ограничена, это видно, но тут же общий член не стремится к нулю.

[age]

myra_panama в сообщении #416059 писал(а):

Можно ли выбрать n такой , что $\ln(1+\cos n) \approx \frac{\pi k}4$?

Только не $\ln(1+\cos n) \approx \dfrac{\pi k}4$, а $(1+\cos n)^{\frac{\sin n}{\cos n}} \approx e^{\pm1}$. Второй замечательный предел. Например, при $n=344$ получается $\approx\dfrac1e$. Ну и логарифм соответственно $\pm1$

[Руст]

age в сообщении #416063 писал(а):

Эксперимент показывает, что даже более сильный ряд:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\tg n\ln(1+\cos n)\,.$$

сходится, но значение суммы ряда не может быть определено, т.к. прыгает в пределах от 0 до 3 в зависимости от близости $n$ к $\dfrac{\pi k}{2}$.

Такой ряд не может сходится, существует бесконечно много n, что $|cos n|<\epsilon$, при этом $\tg n \ln(1+\cos n)=\sin n \frac{\ln (1+\cos n)}{\cos n}$ по модулю больше $1-\epsilon$.

При исследовании на сходимость надо представить в виде произведения двух $a_n=\sin n$ и $b_n=g(\cos n), g(x)=\frac{\ln (1+x)}{x}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-...$. Так как $g(x)\ge \ln2 >0$ то ряд поддается исследованию на сходимость. Если бы $g(x)$ была ограниченной, то при умножении членов ряда на любую стремящуюся к нулю функцию от n ряд бы сходился. А так требуется погасить еще вблизи точек n, для которых $n=(2k+1)\pi +\epsilon$, где $g(x)$ стремится к бесконечности.

[age]

Ряд близок по свойствам к ряду

$$\sum_{n=1}^{\infty}\sin n\,.$$

[gris]

А разве этот ряд сходится? Может быть, в каком-то необычном смысле, а по-обычному у него не выполняется необходимый признак.

[age]

Руст в сообщении #416069 писал(а):

Такой ряд не может сходится, существует бесконечно много n, что $|cos n|<\epsilon$, при этом $\tg n \ln(1+\cos n)=\sin n \frac{\ln (1+\cos n)}{\cos n}$ по модулю больше $1-\epsilon$.

В пределах $n\leq10000$ таких $n$ нету. (MathCad) А можно пример такого $n$?

[ewert]

Руст в сообщении #416069 писал(а):

Такой ряд не может сходится, существует бесконечно много n, что $|cos n|<\epsilon$, при этом $\tg n \ln(1+\cos n)=\sin n \frac{\ln (1+\cos n)}{\cos n}$ по модулю больше $1-\epsilon$.

Скажем проще: числа $n\mod2\pi$ плотно заполняют промежуток $[0;2\pi]$, поэтому сколь угодно далеко найдётся число $n\mod2\pi$, достаточно близкое к любой наперёд заданной точке из $n\mod2\pi$ -- в т.ч. и такой, в которой числитель не равен нулю. Впрочем, age это и сам понимает, он только не знает, что означает термин "сходимость ряда".

Руст в сообщении #416069 писал(а):

При исследовании на сходимость надо представить в виде произведения двух $a_n=\sin n$ и $b_n=g(\cos n), g(x)=\frac{\ln (1+x)}{x}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-...$. Так как $g(x)\ge \ln2 >0$ то ряд поддается исследованию на сходимость.

А как, любопытно? Ведь функция $g(x)$ периодична, поэтому никакие разложения в ряд не помогут, даже если б она и была ограниченной. Боюсь, что тут всё-таки не обойтись без соображений статистики, о которых говорил sup.