Факториал - квадрат

[bot]

Второе - это $n!-1=N^2$, здесь не нужен постулат Бертрана - просто квадрат целого даёт при делении на 4 остатки только 0 и 1.

[ewert]

Хорхе в сообщении #416771 писал(а):

Впрочем, я не вижу, почему оно тривиально, ведь постулат Бертрана ничего не говорит про простые с остатком 3 от деления на 4.

У $N^2+1$ остаток -- это или $1$, или $2$. А у факториала?...

[Хорхе]

Тьфу ты. Я почему-то только про нечетные делители подумал, а про двоечки забыл

[Sonic86]

ewert писал(а):

Теорема Бертрана-Чебышёва: для любого $n$ сушествует хотя бы одно простое $p$, удовлетворяющее условию $n<p<2n$. Достаточно нетривиальная; но раз уж она есть...

Кстати, в книге "Доказательства из Книги" есть простое доказательство постулата Бертрана. Оно там довольно простое: берется $\binom{2n}{n}$, и с одной стороны оценивается асимптотика роста (ну или даже просто рост), а с другой стороны $\binom{2n}{n}$ содержит все простые $p: n<p<2n$ в первой степени (мы от противного предполагаем, что их нет) и не содержит простые $p: \frac{2n}{3}<p<n$, потом степени остальных простых оцениваются сверху и суммарно оценивается $\binom{2n}{n}$ ну и получаем противоречие. И все! Очень хорошее доказательство.
Есть доказательство у Серпинского, есть теорема Чебышева (там посложнее).
Еще вроде бы $(\forall a >1)(\exists n_0)(\forall n) n>n_0 \Rightarrow (\exists p) p \in (n; an)$.
А вероятной гипотезой является существование простого даже в интервале $(n; n+ \sqrt{n})$.

(Оффтоп)

для $(n; n+ n^{b}), b > \frac{1}{2}$ это наверное вытекает из асимптотики для $\pi (x)$...