Факториал - квадрат

[Gortaur]

Давно хотел у вас спросить, господа-разбирающиеся-в-теории-чисел. Можно ли привести пример $n,N>1$ натуральных таких, что

$$ n! = N^2. $$

Или - что более вероятно - доказать что таких примеров нет. Или может быть есть примеры не для квадратов, а для других степеней?

[caxap]

Gortaur в сообщении #416648 писал(а):

доказать что таких примеров нет.

Факториал растёт быстрее квадрата.

[Gortaur]

caxap
24<25

[gris]

Я не отношусь к требуемым господам, но тут принял бы во внимание, что существует максимальное простое число, не большее факторизуемого.

PS Хотя может быть его квадрат тоже меньше $n$... Может ли такое быть?

PPS Верно ли такое утверждение, что между натуральным числом, большим 1, и его квадратом обязательно лежит простое число.

[ИСН]

caxap, это о другом.
Gortaur, таких нет. Можно посмотреть на делимость на какие-нибудь, ну, не знаю, большие простые числа (больше N/2).

-- Чт, 2011-02-24, 16:55 --

(Оффтоп)

(в смысле, чисел нет. господа есть.)

[ewert]

До просто взять последнее простое число из отрезка от $2$ до $n$. Этот простой сомножитель ведь содержится в $n!$ только один раз.

(а, ну да, конечно, учитывая, что на участке от $n/2$ до $n$ заведомо есть хоть одно простое число)

[Хорхе]

А вот так интересней: найти все решения уравнения $n!+1=N^2$. Или такого: $n!-1=N^2$. Второе вроде попроще и решений там точно конечное число (около нуля).

[ИСН]

Первое было: viewtopic.php?t=2500

[Руст]

Второе тривиально, смотрите по модулю 4.

[Gortaur]

Вам, может быть, и интереснее. Мне интереснее мой вопрос. Я тоже в основном утыкаюсь на существование простого числа в каком-либо отрезке. Можно ли это доказать?

[ИСН]

Это утверждение известно как постулат Бертрана. (И да, вопреки названию - оно доказывается.)

[Gortaur]

А для других степеней?

[ewert]

Gortaur в сообщении #416717 писал(а):

Я тоже в основном утыкаюсь на существование простого числа в каком-либо отрезке. Можно ли это доказать?

Теорема Бертрана-Чебышёва: для любого $n$ сушествует хотя бы одно простое $p$, удовлетворяющее условию $n<p<2n$. Достаточно нетривиальная; но раз уж она есть...

[ИСН]

Проблему других степеней оно тоже покрывает как бык овцу. Эти простые числа входят в факториал в первой степени. Всё.

[Хорхе]

Руст в сообщении #416693 писал(а):

Второе тривиально, смотрите по модулю 4.

Я о том же. Впрочем, я не вижу, почему оно тривиально, ведь постулат Бертрана ничего не говорит про простые с остатком 3 от деления на 4. Но, думаю, есть что-то такое?