А tatle11be пока мается
Вы правы, маюсь.
-- Чт фев 10, 2011 13:32:14 --Конечно, формальное описание почти «всей» математики недостаточно для практического применения. Нужно еще уметь правильно ставить задачи, решить в той или иной степени проблему эффективности поиска, и.т.д. По большому счету в математике еще «конь не валялся».
Может стоит иначе взглянуть на сложившееся?
Говорят, что в начале было слово... Спорили, пытаясь доказывать, убеждать друг друга словами, но...увы...(думаю, что комментарии не нужны). Однако заметили, что некоторые СПОСОБЫ оперирования с некоторыми ОБЪЕКТАМИ убедительны для ВСЕХ (или почти для всех)людей: 2 камушка прибавить к 3 камушкам получается 5 (у каждого и всех); 3 раза взять по 2 камушка будем иметь 6; 2 касающиеся друг друга окружности одинакового радиуса можно описать окружностью, радиус которой в два раз будет превышать радиус любой исходной и многое подобное. Если выделить из всей этой философии (а для большинства математиков и физиков из этого бла-бла или, по-русски: из этого ля-ля) ТО, что остается (в «сухом остатке») инвариантным при замене любого мыслящего любым другим таким же, можно получить ПРЕДМЕТ(-ы) и МЕТОД (-ы) ведения доказательств, получения выводов (и т.п.), которые будут приемлемы для ВСЕХ (нынешних и последующих поколениий). Если это сопоставить с тем, что также наблюдается среди всех мыслящих и что можно назвать познанием и для чего нужно найти тоже свой (-и) МЕТОД (-ы)(например,накопление ) и ОБЪЕКТ (-ы) (например, следствия из причин), то можно построить объединенную систему и назвать ее (так они решили) математикой. Т.е. некоторая внешняя (для мыслящего) конструкция (язык), служащая средством коммуникации с другими, состоящая из специфических предметов и методов. А теперь давайте решим, что должно быть конкретно предметом (-ами) и методом (ами) математики.
Выбор из «бесформенной» массы существующего того, что должно лежать в «фундаменте» - это прерогатива, прежде всего, философии и гносеологии. Именно они «диктуют» что именно необходимо положить в основание такого Языка.
Аристотель предложил: это будут математические (категориальные) объекты(точки, линии, цифры, числа, символы, знаки слова и т.д.; что из них категориально, а что нет , будем определять в каждом конкретном случае позже), а метод – логический вывод следствий из причин – аксиоматический метод. Это и можно назвать аристотелевской(-ими) аксиомой (-ами) (АА) начал или оснований математики. На этом и остановились.
В настоящее время в основании (в фундаменте) математики как науки лежат примерно такие философско-гносеологически обоснованные постулаты:
- способность взаимодействия человека с внешней средой определяется его мышлением (способностью мыслить);
- законы мышления человеком в наиболее общей форме отражает математическая логика;
- математика – это наука, изучающая законы мышления (= взаимодействия; = мат.логики).
Отсюда ее предмет и метод.
Комплекс АА в основаниях математики устраивал до сих пор. Но для дальнейшего развития всего естествознания (и метематики) его необходимо ревизовать
(Dialectic очень верно это обозначил).
Мат. Логики (по крайней мере, в существующем виде) не достаточно для отображения человеческих законов мышления, способов принятия решений, процесса пополнения знаний, способа формирования реакций; всего того, что необходимо для моделирования ИИ (его самого и его способа существования в окруж среде). Иными словами, необходимо учитывать то, что до сих пор аккуратненько обрезалось бритвой Оккамы, как
несущественное для модели в первом приближении. В этом случае надо учитывать и мышление и рефлексы (условные, бузусловные) и многое другое и , в конце концов, просто «рулетку» . В нее играет не господь Б-г, а мы – Он нас создал такими Поэтому Случайность (вероятность, алогичность) должна быть положена в основания математики, наряду с мат. Логикой. Возможно и так: математическая логика должна включать и алогичные (вероятностные, возможные, допускаемые элементы). По крайней мере, если не равновероятность следствий (даже абсурдных), то равновероятность начал, стартуя от которых мы можем раскручивать всю возможную и все возможные цепочки причин и следствий и использовать аксиоматический метод на локальном уровне как метод «местного» значения.
И еще два пукта относительно объектов и метода.
1. Для гносеологии недопустимо, что истинным является А или не-А. Поскольку познать можно только одно относительного другого, а для этого должны существовать оба.
Т.е не возможно существование никакого А, если нельзя указать от него отличное.
Поэтому система (математики) должна надстраиваться динамично, как минимум , парами (тройками,..., десятками,..., а в самом общем случае - энками, выбирая соответствующую логику)
vek88 Вы добавляли не только исключения, но и их дополнения поэтому получали замкнутую и полную К-систему
2. Исходя из первого пункта Статика должна отойти на второй план. Зарубками на дереве Робинзон мог создать счетное множество. Но после 200-300 зарубок он вполне мог бы сбиться, полностью потеряв конроль над учетом. Мы работаем с динамическими структурами двоичным,... десятичным,. ... счислениями. Да, теоретически, с помощью «зарубок» Робинзона или фон Неймана или Пеано можно построить объект эквивалентный целому (натуральному) числу. Но механизм счислений, которыми мы пользуемся, не эквивалентен по своей внутренней динамике механизму ни одного типа этих «робинзоноподобных» структур. Перебирая последовательно «зарубки» (а другого механизма там нет; это я и называю статичным ) можно только согласиться с Вами , уважаемый vek88. Вы пишите на стр.28 в «Представлении в ЭВМ...»:
«Трудоемкость алгоритмического программирования растет пропорционально квадрату числа операторов!» Кошмар!!! Бедные наши «компы», они же должны стэп-бай-стэп «обходить» все(или многие) правила и связи между ними. Но Вы же сами соглашаетесь, что человек не «комп», он работает динамично. «Более того, уже накопленные знания позволяют быстрее усваивать новые понятия». Потому что квадратичный рост трудоемкости последовательного перебора он компенсирует динамичными методами, увеличивая «скорость обработки» - «возводя степень в степень» (т.е. производительность он может увеличивать не добавлением одной «зарубки» к степени, а перемножением степеней), используя механизм вышеприведенных динамических структур вместо механизма «зарубок».
В связи с этим может быть сбросить шоры, навешенные Аристотелем, и перейти от модели в нулевом приближении к более широкой. Что если принять такие постулаты?
1.Наша цивилизация – форма материи, состоящая из коллектива дискретных объектов.
2.Взаимодействие с окружеющей средой (другими формами материи) – способ существования цивилизации
3.Человек (конкретная личность) – субъект материального мира, взаимодействие с которым является способом его существовани.
Для осуществления (реализации) этого способа существования человек обладает всеми необходимыми средствами коммуникации с внешней средой – органами восприятия и реализации (воспроизведения воздействия) (эффективные, надежные). Для осуществления (реализации) этого способа существования нет необходимости в каких бы то ни было посредниках между человеком и окружающей средой. Мозг человека – главный центр транслировования, обработки и ретранслирования всех внешних и внутренних (для мозга) Сигналов.
4. Необходимым условием для устойчивого существования всей цивилизации является взаимосогласованный способ существования ее субъектов – всего коллектива (следствие из пункта 1).
Отсюда следует необходимость следующей гипотезы для субъектов
5. Человек – существо социальное(субъект коллектива). Это свойство является необходимым для реализации устойчивого существование его самого и всей цивилизации (как одной из фом материи) в целом.
6.«Быть социальным» (частью коллектива) - это способ существования (один из способов или часть одного целого способа) его самого и всей цивилизации в целом.
7.Средство, с помощью которого он реализует свое свойство (необходимую для его устойчивого существования потребность) «быть социальным» называется Язык. Язык является необходимым посредником (промежуточным звеном) в реализации способа взаимодействия между субъектами цивилизации, включающего как вербальный так и все формы невербального взаимодействия, в котором принимают участие все органы восприятия и воспроизведения Сигналов. К таким формам взаимодейстыия относятся визуальная, звуковая, тактильная, вкусовая, обонятельная, тепловая и т.д., т.е. все возможные формы, при которых происходит изменение ощущений одного из субъектов, возникающих при непосредственном воздействии на его органы чувств другим.
Отсюда единый полный и непротиворечивый Язык для субъектов цивилизации – это не роскошь, а средство для учтойчивого существования цивилизации как коллектива субъектов. Из этого же необходимо исходить для формирования оснований такого Языка, т.е. при выборе «объектов» или предметов и методов его построения. Следует заметить, что его визуальная составляющая (наглядность) доминирует в эффективности взаимодействия.
В этой связи мат.логике может отводиться только вполне определенная роль (хоть и немаловажная), но в формировании (в основаниях) Языка должны участвовать и другие средства, в том числе связанные не только с мышлением, но и воображением. Да и сама мат.логика должна учитывать человеческие возможности. Например, человек может путем сложных экстраполяциий способов своего рассуждения получать мысленные (математические и не только математические) объекты, не являющиеся экспериментально наблюдаемыми. Причем это относится и к интуиционистам и последователям классической логики. Возможно стоит построить две такие системы, «пересечение» которых и давало бы то, что наблюдается в эксперименте.
Возможен, примерно, такой подход к основаниям математики?
. Найти биективную функцию 
такую, что 
и 
. Решение задачи состоит в том, чтобы с помощью формальных правил преобразовать исходную задачу так, чтобы функция 
