Дайте рецензию на работу Зенкина

[Xaositect]

Андрей АK в сообщении #410171 писал(а):

и т.д.

Это как раз понятно. А бесконечные последовательности в каком порядке идут?

[Андрей АK]

Xaositect в сообщении #410176 писал(а):

Андрей АK в сообщении #410171 писал(а):

и т.д.

Это как раз понятно. А бесконечные последовательности в каком порядке идут?

Бесконечных последовательностей там как раз и нет.
Но диагональ то все равно можно получить - это будет 0.(1) = 1
Единица не входит в отрезок между нулем и единицей (не включая).
Т.е. диагональ кантора пытается всучить нам заведомо не входящее в исследуемое множество число (туфту).
Это число и не должно там присутствовать.

[Xaositect]

Так.
Если там нет последовательности, соответствующей числу $0.10101010101010....$, то Вы не пересчитали все числа, и никакого противоречия с утверждением о том, что континуум больше счетного, нет.

[Андрей АK]

Xaositect в сообщении #410183 писал(а):

Так.
Если там нет последовательности, соответствующей числу $0.10101010101010....$, то Вы не пересчитали все числа, и никакого противоречия с утверждением о том, что континуум больше счетного, нет.

Да, но это число вы получили не при помощи диагонали Кантора, а взяли с потолка.
А где доказательство, что его нет в нашей последовательности?
Может там есть другое число< настолько же близкое к $0.10101010101010....$ ,как 0.(1) к 1, что их можно считать одним и тем же числом.
И кроме того, это число (1/3) есть во множестве всех комбинаций нулей и единиц построенном на позициях целых чисел.
А чем отличается множество всех чисел вида:
$0.10101010101010....$
От множества всех чисел вида:
$...010101010101010.10101010101010....$
?
Только тем, что у одного - количество знаков - целое число, а у другого - количество знаков - натуральное число.
Разве может такое быть, что у одного количество членов - счетное, а у другого - несчетное?

[Xaositect]

Может и есть. Докажите.
Вы не понимаете, что диагональ работает только в том случае, когда там есть все числа. Диагональ доказывает, что либо перечисляющая таблица будет неполной, либо внутренне противоречивой.

[Андрей АK]

Ладно, я согласен, что натуральными числами не пересчитаешь все бесконечные комбинации нулей и единиц.
Для этого надо привлечь еще и бесконечно большие числа (а они в натуральные не входят).
Но речь то идет о диагональном методе!
Вот я предложил ,пусть неправильный, метод нумерации действительных чисел и утверждаю, что все числа пронумерованы.
У вас есть диагональный метод.
Вы его применяете к моему способу сортировки ... и получаете число, которое в мой список и не должно было войти.
Получается конфуз.
Вы не смогли ,при помощи диагонального метода, разоблачить заведомо неправильный пересчет чисел.
Где гарантия, что диагональ Кантора и в других случаях не действует точно так же топорно?
Если алгоритм не срабатывает на контрольном примере - то этот алгоритм считается ошибочным.
Разве не так?

[epros]

Xaositect в сообщении #410168 писал(а):

Как у Вас формально лексикографическое упорядочение вводится-то? Я что-то не соображу, как его можно естественным образом на бесконечные последовательности перенести.

Эх, подловили таки

Ну ладно, не отношение порядка, а хотя бы инкремент для бинарной последовательности можем определить? Типа того, что первый нуль становится единицей, а все предшествующие ему единицы - нулями? Если не находим такого номера разряда, который равен нулю, то будем считать, что ... ну ... первый нуль в последовательности имеет "нестандартный номер".

[Андрей АK]

epros в сообщении #410198 писал(а):

Xaositect в сообщении #410168 писал(а):

Как у Вас формально лексикографическое упорядочение вводится-то? Я что-то не соображу, как его можно естественным образом на бесконечные последовательности перенести.

Эх, подловили таки

Ну ладно, не отношение порядка, а хотя бы инкремент для бинарной последовательности можем определить? Типа того, что первый нуль становится единицей, а все предшествующие ему единицы - нулями? Если не находим такого номера разряда, который равен нулю, то будем считать, что ... ну ... первый нуль в последовательности имеет "нестандартный номер".

Можно просто инвертировать запись числа, прибавлять к нему единицу - формально можно единицу прибавлять и к бесконечно большому числу - и инвертировать в обратном порядке.
Вот вам и способ получения следующего (или предыдущего если отнимать единицу) числа.
Или прибавлять единицу к первому разряду, но знак переноса будет идти не влево, а вправо.

[Xaositect]

epros в сообщении #410198 писал(а):

Ну ладно, не отношение порядка, а хотя бы инкремент для бинарной последовательности можем определить? Типа того, что первый нуль становится единицей, а все предшествующие ему единицы - нулями? Если не находим такого номера разряда, который равен нулю, то будем считать, что ... ну ... первый нуль в последовательности имеет "нестандартный номер".

что-то мне тут не нравится, не пойму что... тут точно две последовательности не могут одинаковый инкремент давать?

[Dialectic]

Андрей АK в сообщении #410195 писал(а):

Но речь то идет о диагональном методе!

А что тут в "диагональном методе"? Диагональный метод - это просто один из методов, вы можете спокойно построить число, и не диагональным методом которое также в списке лежать не будет. Для этого просто выбирайте разряды не по порядку, а произвольным образом. Скажем: в первом числе выберете произвольный разряд за номером n, и в своем "строящемся числе" - на n- месте, поставьте все что угодно отличное от того, что стоит на том же месте у первого числа. Точно также и во втором, и в третьем, только нужно следить за тем, чтобы дважды не выбрать один разряд. И все. ТАких чисел между прочим: не счетно.
Потому что биективный отображений N в себя - не счетно.

[Андрей АK]

Dialectic в сообщении #410248 писал(а):

Андрей АK в сообщении #410195 писал(а):

Но речь то идет о диагональном методе!

А что тут в "диагональном методе"? Диагональный метод - это просто один из методов, вы можете спокойно построить число, и не диагональным методом которое также в списке лежать не будет. Для этого просто выбирайте разряды не по порядку, а произвольным образом. Скажем: в первом числе выберете произвольный разряд за номером n, и в своем "строящемся числе" - на n- месте, поставьте все что угодно отличное от того, что стоит на том же месте у первого числа. Точно также и во втором, и в третьем, только нужно следить за тем, чтобы дважды не выбрать один разряд. И все. ТАких чисел между прочим: не счетно.
Потому что биективный отображений N в себя - не счетно.

Давайте ,для эксперимента, включим первым числом в списке единицу:
$1.00000...$
$0.00000...$
$0.10000...$
$0.01000...$
$0.11000...$
И применим один из диагональных методов , а именно - стандартный.
Он нам даст все то же число:$0.11111...$
Но ведь это единица!
И она есть в списке!
Стоит под номером один.
А диагональный метод говорит что нет!
Кому верить?
Методу или собственным глазам?
Где гарантия, что какой либо другой вариант диагонального метода не обманет точно так же как этот?

[Someone]

Андрей АK в сообщении #410311 писал(а):

Давайте ,для эксперимента, включим первым числом в списке единицу:
$1.00000...$
$0.00000...$
$0.10000...$
$0.01000...$
$0.11000...$
И применим один из диагональных методов , а именно - стандартный.
Он нам даст все то же число:$0.11111...$
Но ведь это единица!
И она есть в списке!

Вы просто некорректно применяете диагональный метод.
Общеизвестно, что некоторые рациональные числа в $n$-ичной системе счисления имеют две записи, одна из которых оканчивается бесконечной последовательностью нулей, другая - бесконечной последовательностью цифр $n-1$. Если Вы включили в свой список одну из этих записей, то беззаботно применённый диагональный метод вполне может дать другую запись или дать число, находящееся вне того интервала, в котором Вы это число хотите получить. Поэтому при построении диагонали нужно позаботиться, чтобы этого не произошло.
В частности, в любой системе счисления мы можем получить число, не принадлежащее нашему списку и лежащее в интервале $(0,1)$, если будем действовать так: цифры, стоящие в записи после запятой, рассматриваем не по одной, а парами; если в первом элементе списка первая пара цифр есть $10$, то в том числе, которое мы строим, пишем $01$, если же указанная пара не есть $10$, то пишем $10$; далее таким же способом определяем вторую пару цифр нашего числа по второй паре цифр второго числа, третью пару цифр - по третьей паре цифр третьего числа, и так далее.

Другой способ избежать первой проблемы состоит в том, чтобы для чисел, имеющих две записи, включать в список обе записи.
Второй проблемы можно избежать, просто задав некоторое количество цифр так, чтобы построенное число заведомо попало в нужный интервал, и уже для последующих цифр использовать диагональный метод.

Андрей АK в сообщении #410201 писал(а):

Можно просто инвертировать запись числа, прибавлять к нему единицу - формально можно единицу прибавлять и к бесконечно большому числу - и инвертировать в обратном порядке.

Извините, такие вещи для чисел с бесконечной записью надо аккуратно определять, у Вас же только "бла-бла-бла...". То же касается и Вашего "замыкания бесконечности".

Андрей АK в сообщении #410195 писал(а):

Ладно, я согласен, что натуральными числами не пересчитаешь все бесконечные комбинации нулей и единиц.
Для этого надо привлечь еще и бесконечно большие числа (а они в натуральные не входят).

Не говоря уже о том, что Вы эти "бесконечные числа" вразумительно не определили. Кроме того, по определению счётного множества нумеровать нужно именно натуральными числами, а не чем-либо ещё, и хорошо, что Вы это понимаете (правда, непонятно, чего Вы хотите добиться нетривиального, изобретая всякие "бесконечные числа" и "замыкания бесконечности").

Андрей АK в сообщении #410185 писал(а):

Да, но это число вы получили не при помощи диагонали Кантора, а взяли с потолка.

Вообще-то, Кантор не применял этот метод для доказательства несчётности множества действительных чисел.

Георг Кантор. Труды по теории множеств. Москва, "Наука", 1985.

В этом сборнике статья 1.2 называется "Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел". Параграф 2 содержит доказательство следующего утверждения
Если по какому-нибудь закону задана бесконечная последовательность отличных друг от друга величин

$$\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_{\nu},\ldots\text{,}\eqno{(4)}$$

то во всяком заданном интервале $(\alpha\ldots\beta)$ можно определить число $\eta$ (а значит, и бесконечно много таких чисел), которое не содержится в последовательности (4).
Никакого диагонального метода он в этом доказательстве не использует. Потом в статье 1.5.1 Кантор несколько усовершенствует это доказательство, но также никакого диагонального метода не использует.

Диагональный метод появляется в статье 1.9, которая называется "Об одном элементарном вопросе учения о многообразиях". Здесь он применяется для доказательства несчётности множества двоичных последовательностей (отсюда, кстати, легко следует несчётность множества действительных чисел, и Кантор это упоминает) и для доказательства того, что для всякого множества $L$ мощность множества определённых на нём функций, принимающих только значения $0$ и $1$, больше мощности самого множества $L$.

[epros]

Xaositect в сообщении #410209 писал(а):

что-то мне тут не нравится, не пойму что... тут точно две последовательности не могут одинаковый инкремент давать?

Вроде не могут, для этого они должны быть равны. Очевидная проблема только с числом $0.(1)$, для инкремента которого приходится привлекать "разряды с нестандартным номером". А это порождает проблему, что дальше делать с такими разрядами. Например, можно для наглядности ставить их перед десятичной точной, т.е. положить, что $0.(1) + 0.1(0) = 1.(0)$.

Можем быть таким образом даже удастся явно построить нестандартную модель натуральных чисел, имеющую мощность континуума?

[Xaositect]

Если не учитывать этого переноса и считать $\dots 1111 + 1 = 0$, то получается кольцо целых $2$-адических чисел.
А если учитывать, то надо как-то с этим $1.(0)$ дальше тоже уметь работать... Соотвестственно, минимальная такая структура получается вроде бы $\omega\times 2^{\mathbb{N}}$, где $2^{\mathbb{N}}$ - множество двоичных последовательностей с таким вот инкрементом. Будет ли эта штука моделью арифметики - надо думать.

-- Вт фев 08, 2011 13:06:36 --

По сути, мы имеем множество пар $(n,x)$, где $n$-натуральное число, а $x$ - 2-адическое целое, и правило $S(n,x) = \begin{cases}(n,x+1), x\neq -1\\(n+1,0),x=-1\end{cases}$

[tatle11be]

В.О. в сообщении #409629 писал(а):

Все это правильно, но, как уже замечено, совершенно банально и никому не интересно.

Это здорово, когда человеку все уже ясно и понятно, а потому кажется банальным и неинтересным. Тяжелее тем, кому НЕЯСНО и НЕПОНЯТНО, ТО, ЧТО другим УЖЕ давно ЯСНО и ПОНЯТНО . Если бы люди не интересовались банальным, то не было бы результатов Коперника, Ньютона, Лобачевского, Канта, Больцмана, Эйтштейна, Бора да еще многих десятков других. Но это к слову.

Теперь по существу. С этим я обращаюсь ко всем участникам данного топика.
Господа форумчане! Отвлекитесь на время от всех ваших формализмов и мат.логик.
Два столбца десятичных чисел, которые были приведены выше показывают только коллизию между алгеброй и геометрией. Диагональ "убегает" с каждым (почти)шагом на "клеточку" дальше от последней значащей цифры. Если изпользовать известный принцип построения диагонального элемента, то мы получим элемент, который уже ВЫПИСАН - его номер: 000...000, он стоит самым первым в правой колонке сверху.(Как вы, конечно, уже поняли, каждый десятичный элемент в колонке имеет свой уникальный номер - переставьте все его значащие цифры в противоположном порядке). Налицо ПАРАДОКС. Пример с Ахиллом и черепахой не зря приводился. Одной только мат.логики или "формализмов" в том виде, который используется или у "классиков" или у интуиционистов НЕДОСТАТОЧНО. Это парадокс другого уровня - между двумя разделами математики.
Существует разница между системой зарубок Робинзона для учета натуральных чисел и системой десятичных чисел. Они эквивалентны в одном, но принципиально различаются в другом. ("Зарубки" Пеано, или фон Неймана и пр. являются робинзоноподобными). Десятичное счисление имеет уникальный механизм, отличный от всех робинзоноподобных. Двоичное тоже уникально (т.е. отлично и от десятичного)
Учет этого механизма относительно "пифагоровых штанов" и приводит к парадоксу.Робинзоноподобные системы с каждым шагом получают однозначное расширение: все подмножества будут содержаться во вновь полученном (отвлекитесь от "лжецов" и "расселов"- речь идет только об отличиях). В десятичном, двоичном и ... счислениях соотношение между расширением множества (а на каждом шаге мы получаем новое множество) и его полнотой иное. Замыкающим элементом полного множества всех чисел, состоящего из 1,2,3,... цифр (и менее) будет 0,9;0,99;0,999 .....
Так множество всех чисел, содержащих не более трех цифр, будет составлять ряд от 0,0 и до 0,999 (заметьте: ровно 1000 членов). Выражаясь языком физиков, полнота множества десятичных дробных (и целых тоже) чисел "квантуема"(1,10,100,1000... членов - этот ряд, но не количество в нем, один и тот же для двоичного, троичного и т.д. счислений).
И последнее. Понятно, что здесь речь идет не о критике континуум - гипотезы, а о диагональном методе в классическом варианте.

-- Чт фев 10, 2011 03:44:14 --

Someone в сообщении #410375 писал(а):

Георг Кантор. Труды по теории множеств. Москва, "Наука", 1985.

В этом сборнике статья 1.2 называется "Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел". Параграф 2 содержит доказательство следующего утверждения
Если по какому-нибудь закону задана бесконечная последовательность отличных друг от друга величин
то во всяком заданном интервале можно определить число (а значит, и бесконечно много таких чисел), которое не содержится в последовательности (4).

Это не выдерживает критики. Как только Вы (или Кантор) поставите многоточие после последнего члена, сразу обратитесь к конкретному приведенному Вашим покорным слугой примеру "бесконечной последовательности отличных друг от друга величин" и покажите в каком интервале и какое число (пусть не множество, а хотя бы одно) пропущено.
Поэтому не правомерно (не корректно) делать утверждение о всяком интервале в совокупности с формулировкой "по какому-нибудь закону" да еще обобщать на всякие величины и т.д.