2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение10.02.2011, 14:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17749
Москва
tatle11be в сообщении #411303 писал(а):
Это не выдерживает критики. Как только Вы (или Кантор) поставите многоточие после последнего члена, сразу обратитесь к конкретному приведенному Вашим покорным слугой примеру "бесконечной последовательности отличных друг от друга величин" и покажите в каком интервале и какое число (пусть не множество, а хотя бы одно) пропущено.

Вы о своём первом сообщении?

tatle11be в сообщении #409232 писал(а):
... что-то за последнее время изменилось и нижеследующее не может претендовать на конраргумент диагональному методу?
0-------------------0.0000000...
1--------------------0.1000000...
2-------------------0.2000000...
...............................
9-------------------0.9000000...
10-----------------0.01000000...
11-----------------0.1100000...
12-----------------0.21000000...
.....................................
5670000---------0.0000765000...
............................................
...абвг--------0.гвба....

Если слева у Вас натуральные числа, как это должно быть по определению счётного множества, то Вы нумеруете только так называемые десятично рациональные числа, то есть, числа, которые можно записать дробью $\frac k{10^n}$, где $n\geqslant 0$ и $k$ - целые числа, причём, конечно, не все десятично рациональные числа, а только принадлежащие полуинтервалу $[0,1)$. Возьмите в этом промежутке любое число, которое нельзя записать в таком виде, например, $\frac 13$, и попробуйте найти его в своём списке. Вам, кстати, на это число указывали, но Вы так и не указали его номер в Вашем списке.
Если слева у Вас не натуральные числа, а что-то другое, то это к счётности каких-либо множеств никакого отношения не имеет.
Андрей АK это понял. Может быть, и Вы поймёте. Пока у меня небольшая (очень небольшая) надежда на Вашу вменяемость есть.

Да, в Вашем первом сообщении ещё пара вопросов была.

tatle11be в сообщении #409232 писал(а):
Извините за нескромный вопрос.
Что, в современной российской математике, действительно, до сих пор обсуждается правомерность (корректность) или неправомерность доказательства теоремы Кантора диагональным методом?

Я не слышал, чтобы этот вопрос хоть когда-нибудь обсуждался математиками. Математикам в этом методе всё ясно, и обсуждать тут нечего.

tatle11be в сообщении #409232 писал(а):
... был получен ответ, что в математике актуальна континуум-гипотеза Кантора (или ее отрицание, но тоже как гипотеза)

Уже более 50 лет совершенно не актуальна, с тех пор, как П.Дж.Коэн доказал её независимость от аксиом теории множеств.

tatle11be в сообщении #411303 писал(а):
Два столбца десятичных чисел, которые были приведены выше показывают только коллизию между алгеброй и геометрией. Диагональ "убегает" с каждым (почти)шагом на "клеточку" дальше от последней значащей цифры. Если изпользовать известный принцип построения диагонального элемента, то мы получим элемент, который уже ВЫПИСАН - его номер: 000...000, он стоит самым первым в правой колонке сверху.

Похоже, Вы не понимаете диагонального метода. В простейшем варианте (при совершенно беззаботном применении) этот метод предписывает на $n$-ном месте написать цифру, отличающуюся от $n$-ной цифры $n$-ного числа в списке. В Вашем списке $n$-ная цифра $n$-ного числа всегда равна $0$, поэтому мы имеем полное право всюду написать $1$, и получим число $0{,}1111111\ldots=\frac 19$, отсутствующее в Вашем списке. При неудачном выборе цифр может получиться число, присутствующее в списке (например, $0{,}19999999\ldots=0{,}2$), или число, не входящее в промежуток $[0,1)$, который Вы нумеруете (например, $0{,}99999999\ldots=1$), поэтому для корректного применения метода нужно сформулировать правила, гарантирующие получение требуемого числа. Для десятичной системы счисления мы можем, например, запретить писать цифры $0$ и $9$. В двоичной и троичной системах счисления такое правило, ссылающееся только на одну цифру, сформулировать нельзя. Метод, работающий в любой системе счисления, я указал в своём предыдущем сообщении. В применении к Вашему списку он даёт число $0{,}101010101010\ldots=\frac{10}{99}$, отсутствующее в этом списке.

Если же речь идёт о нумерации не чисел, а последовательностей цифр (как у Кантора), то перечисленные осложнения отсутствуют, и метод можно применять в самом простом варианте. Ещё раз повторюсь, Кантор не применял диагональный метод для доказательства несчётности множества действительных чисел непосредственно.

tatle11be в сообщении #411303 писал(а):
Это парадокс другого уровня - между двумя разделами математики.

Не бывает таких парадоксов. Разные математические теории имеют разные аксиоматики, а парадокс - это пара противоречащих друг другу утверждений, доказанных в одной аксиоматике.
Например, есть геометрия Евклида и геометрия Лобачевского. В одной утверждается, что через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную заданной, а в другой - что таких прямых две. Никакого парадокса здесь нет, хотя бы потому, что прямые евклидовой геометрии не являются прямыми геометрии Лобачевского, и наоборот - прямые Лобачевского не являются прямыми Евклида.

tatle11be в сообщении #411303 писал(а):
Два столбца десятичных чисел, которые были приведены выше показывают только коллизию между алгеброй и геометрией.

Нету тут никакой коллизии между алгеброй и геометрией, есть только коллизия между Вашим фактическим непониманием обсуждаемых вопросов и Вашим же самомнением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение10.02.2011, 15:57 


19/11/08
347
tatle11be в сообщении #411303 писал(а):
Существует разница между системой зарубок Робинзона для учета натуральных чисел и системой десятичных чисел. Они эквивалентны в одном, но принципиально различаются в другом. ("Зарубки" Пеано, или фон Неймана и пр. являются робинзоноподобными). Десятичное счисление имеет уникальный механизм, отличный от всех робинзоноподобных. Двоичное тоже уникально (т.е. отлично и от десятичного)
Учет этого механизма относительно "пифагоровых штанов" и приводит к парадоксу.Робинзоноподобные системы с каждым шагом получают однозначное расширение: все подмножества будут содержаться во вновь полученном (отвлекитесь от "лжецов" и "расселов"- речь идет только об отличиях). В десятичном, двоичном и ... счислениях соотношение между расширением множества (а на каждом шаге мы получаем новое множество) и его полнотой иное. Замыкающим элементом полного множества всех чисел, состоящего из 1,2,3,... цифр (и менее) будет 0,9;0,99;0,999 .....

Да, рассуждая примерно также я и предположил в topic41457.html, что нет смысла говорить о континуальных числах, которые нельзя задать никаким способом - в них нет смысла, как нет смысла и в бесконечно больших числах.
Все что мы можем - это различными способами разлинеить отрезок плотными координатными сетками, которые отличаются только системами счисления или чем-то похожим.
А число знаков, требующихся для задания числа - должно быть всегда конечно.
Те же числа, что задаются бесконечным рядом знаков (как 1/3) - есть не что иное, как координата из другой системы счисления и приводить её как некое число, которое не вошло в список составленный при помощи ,например, двоичной или десятичной системы счисления - некорректно.
Да и насчет континуума можно поспорить - любая плотная система координат может задать любую точку с произвольной точностью, а больше ничего и не нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение10.02.2011, 16:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17749
Москва
Андрей АK в сообщении #411439 писал(а):
Все что мы можем - это различными способами разлинеить отрезок плотными координатными сетками, которые отличаются только системами счисления или чем-то похожим.

Наши возможности в задании чисел гораздо шире, даже если говорить о конструктивной математике, и далеко не ограничены системами счисления.

Андрей АK в сообщении #411439 писал(а):
Те же числа, что задаются бесконечным рядом знаков (как 1/3) - есть не что иное, как координата из другой системы счисления и приводить её как некое число, которое не вошло в список составленный при помощи ,например, двоичной или десятичной системы счисления - некорректно.

Извините, но объявлять число $\frac 13$ не существующим в десятичной системе счисления - это бред. Я был о Вас немного лучшего мнения.

Добавление.
Существует общепринятое понятие действительного числа, которое включает числа, записываемые бесконечной (вправо) последовательностью цифр. Речь идёт о несчётности именно этого множества действительных чисел, и число $\frac 13$ является контрпримером к построенной "нумерации" действительных чисел.
Если Вы желаете рассматривать только числа, записываемые конечной последовательностью десятичных цифр, то Вы получаете множество десятично рациональных чисел. Его счётность - это совершенно банальный факт, интересный только тем, кто впервые столкнулся с понятием счётности, и не имеющий никакого отношения к счётности или несчётности множества действительных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение10.02.2011, 16:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Андрей АK в сообщении #411439 писал(а):
А число знаков, требующихся для задания числа - должно быть всегда конечно.

Андрей АK в сообщении #411439 писал(а):
любая плотная система координат может задать любую точку с произвольной точностью, а больше ничего и не нужно.

Выберите что-то одно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение10.02.2011, 16:39 


19/11/08
347
ewert в сообщении #411441 писал(а):
Андрей АK в сообщении #411439 писал(а):
А число знаков, требующихся для задания числа - должно быть всегда конечно.

Андрей АK в сообщении #411439 писал(а):
любая плотная система координат может задать любую точку с произвольной точностью, а больше ничего и не нужно.

Выберите что-то одно.

Тут три смысла:
1) Нам нет никакого резона использовать никаким способом не задаваемые числа (например полученные при помощи бесконечного количества бросков идеального кубика) - назовем их неконструктивными числами или NK-числами.

2) Все остальные числа мы можем задать: правильно выбрав систему координат (систему счисления или иной способ) и используя конечное число знаков.

3) Если мы не можем ,для какого то числа, правильно подобрать систему координат (проблема P<>NP) в которой для записи определенного числа можно использовать конечное число знаков (или это не требуется для текущих нужд какой то задачи) то любое число (из тех, что не являются NK-числами) можно задать в произвольной системе координат, плотно покрывающей отрезок, с произвольной, наперед заданной , точностью.
(В принципе и NK- числа можно было бы так же задать, но для этого их надо сначала их записать ,любым способом, а это невозможно)

-- Чт фев 10, 2011 17:44:10 --

Someone в сообщении #411440 писал(а):
Андрей АK в сообщении #411439 писал(а):
Те же числа, что задаются бесконечным рядом знаков (как 1/3) - есть не что иное, как координата из другой системы счисления и приводить её как некое число, которое не вошло в список составленный при помощи ,например, двоичной или десятичной системы счисления - некорректно.

Извините, но объявлять число $\frac 13$ не существующим в десятичной системе счисления - это бред. Я был о Вас немного лучшего мнения.

Но ведь вы не можете назвать числа, записанного при помощи десятичной системы счисления, равного числу $\frac 13$ (без использования круглых скобок).
Значит в этой системе счисления такое число записать невозможно (только её приближенное значение).

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение10.02.2011, 16:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17749
Москва
Какое это всё имеет отношение к вопросу о несчётности множества действительных чисел в классическом понимании этого термина?

И Ваши ограничения являются неоправданно жёсткими даже для конструктивной математики.

Андрей АK в сообщении #411450 писал(а):
Значит в этой системе счисления такое число записать невозможно (только её приближенное значение).

Вы просто выдумываете всякие ограничения, лишь бы оправдать свои утверждения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение10.02.2011, 17:15 


19/11/08
347
Какое ограничение?
На использование скобок?
Это ограничение - только для примера.
Я могу расширить десятичную систему до десятичной системы со скобками.
Тогда в ней можно будет записать любое рациональное число.
Но зато в ней все ещё нельзя будет записать корень из двух.
А между тем в своей "координатной системе" - алгебраических чисел - корень из двух записывается всего двумя цифрами - т.е. конечным количеством знаков.
Но найдутся и такие числа, которые и при помощи "алгебраической системы счисления" нельзя записать конечным набором знаков ... но и для этих чисел можно найти "сопутствующую систему счисления" - в которой эти числа (число пи например) будут записаны при помощи конечного набора знаков.
Т.е. все эти рассуждения - какое число можно записать тем или иным способом, а какое - нет - это все проблемы перехода из одной системы счисления в другую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение10.02.2011, 17:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17749
Москва
Андрей АK в сообщении #411477 писал(а):
Т.е. все эти рассуждения - какое число можно записать тем или иным способом, а какое - нет - это все проблемы перехода из одной системы счисления в другую.

И никакого отношения не имеют к обсуждаемой задаче - несчётности множества действительных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение10.02.2011, 17:39 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 !  Андрей АK,

предупреждение за попытку продолжить обсуждение темы, помещенной в Пургаторий, и за попытку захвата чужой темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение10.02.2011, 18:25 


19/11/08
347
Я только отвечаю на вопросы.
(А если не отвечаю - тоже будет предупреждение?)

Ладно, почему я считаю, что все доказательства несчетности дч некорректны:

Поскольку, все гипотетические алгоритмы пересчета всех действительных чисел при ,помощи натуральных номеров, предполагают, что все пересчитанные ,таким образом, числа будут "конструктивными" - т.е. полученными при посредстве какого-то алгоритма.
А любое доказательство - это алгоритм.
То любой гипотетический контрпример полученный при помощи алгоритма - есть конструктивное число.
Т.е. при помощи алгоритма невозможно получить неконструктивное число, а следовательно и доказать, несчетность действительных чисел.

Можно только аксиоматически постановить, что множество действительных чисел - несчетно.

Т.е. без операции отрицания над множествами невозможно из неконструктивных чисел получить конструктивные и следовательно доказать, что либо про их отношения (количества или качества).
А сама операция отрицания (типа определения:"членами этого множества есть все те, что не входят в другое множество") - такая операция в определениях и доказательствах есть некорректная операция.

Точнее, наверное должны сказать специалисты по конструктивной логике, но я таковым не являюсь, поэтому замолкаю.
(а то меня щас растреляют)

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение10.02.2011, 19:17 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Андрей АK в сообщении #411477 писал(а):
А между тем в своей "координатной системе" - алгебраических чисел - корень из двух записывается всего двумя цифрами - т.е. конечным количеством знаков.Но найдутся и такие числа, которые и при помощи "алгебраической системы счисления" нельзя записать конечным набором знаков ... но и для этих чисел можно найти "сопутствующую систему счисления" - в которой эти числа (число пи например) будут записаны при помощи конечного набора знаков.Т.е. все эти рассуждения - какое число можно записать тем или иным способом, а какое - нет - это все проблемы перехода из одной системы счисления в другую.

Теперь обобщите свою "координатную систему" на $\pi$. И на $e$. И на $\int\limits_0^1e^{-x^2}dx$. И на все аналогичные случаи. Да, кстати, и не забудьте формализовать понятие "аналогичные".

Боюсь, что несколько умаетесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение10.02.2011, 19:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17749
Москва
Андрей АK в сообщении #411510 писал(а):
Ладно, почему я считаю, что все доказательства несчетности дч некорректны:

Поскольку, все гипотетические алгоритмы пересчета всех действительных чисел при ,помощи натуральных номеров, предполагают, что все пересчитанные ,таким образом, числа будут "конструктивными" - т.е. полученными при посредстве какого-то алгоритма.

Ничего подобного в классической математике не предполагается. Никаких алгоритмов там нет. Поэтому это всё ерунда.
Что касается конструктивного рекурсивного анализа (CRA), то в нём множество конструктивных действительных чисел (КДЧ) хотя и счётно с точки зрения классической математики, но эффективно несчётно с точки зрения самого CRA: существует алгоритм, который перерабатывает любую конструктивную последовательность КДЧ в КДЧ, не содержащееся в этой последовательности, причём, последнее конструктивно доказуемо.

Андрей АK в сообщении #411510 писал(а):
То любой гипотетический контрпример полученный при помощи алгоритма - есть конструктивное число.

Ну и что? Метод, рассмотренный Кантором в его работе "Об одном свойстве всех действительных алгебраических чисел" (http://dxdy.ru/post410375.html#p410375), эффективен: если последовательность чисел задана, то этот метод определяет действительное число, заведомо не содержащееся в этой последовательности, которое можно вычислить с любой точностью. Примерно такой же метод используется и в CRA (с определёнными техническими усложнениями).

Андрей АK в сообщении #411510 писал(а):
А любое доказательство - это алгоритм.

Чушь. Доказательство - это текст.

Андрей АK в сообщении #411510 писал(а):
Точнее, наверное должны сказать специалисты по конструктивной логике, но я таковым не являюсь, поэтому замолкаю.

Правильно, хватит всякую чушь нести.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение10.02.2011, 20:45 


19/11/08
347
ewert в сообщении #411527 писал(а):
Теперь обобщите свою "координатную систему" на $\pi$. И на $e$. И на $\int\limits_0^1e^{-x^2}dx$. И на все аналогичные случаи. Да, кстати, и не забудьте формализовать понятие "аналогичные".

Боюсь, что несколько умаетесь.

Самое простое, определить $\pi$ через длину окружности, а затем определить множество пи-натуральных чисел вида:
$0,\pi,2\pi,3\pi,...$
В этой системе отсчета $\pi$ задается числом с одним знаком (единицей).

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение10.02.2011, 21:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Андрей АK в сообщении #411572 писал(а):
Самое простое, определить $\pi$ через длину окружности

Замечательно. А $e$ -- тоже через длину окружности?...

Я ж говорю -- умаетесь. Поберегите свои молодые силы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение10.02.2011, 21:56 


19/11/08
347
ewert в сообщении #411582 писал(а):
Андрей АK в сообщении #411572 писал(а):
Самое простое, определить $\pi$ через длину окружности

Замечательно. А $e$ -- тоже через длину окружности?...

Я ж говорю -- умаетесь. Поберегите свои молодые силы.

Так я не претендую.
Я только сказал, что для любого числа (алгоритмического) можно подобрать систему отсчета (то бишь алгоритм), в которой это число будет записано конечным числом символов.
Продолжу лучше в новой теме: "Информационная емкость чисел"

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 114 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group