Дайте рецензию на работу Зенкина

[migmit]

Someone в сообщении #411529 писал(а):

Андрей АK в сообщении #411510 писал(а):

А любое доказательство - это алгоритм.

Чушь. Доказательство - это текст.

Ну, вообще говоря, доказательство - это алгоритм (двойственность Карри-Ховарда). Но в несколько ином смысле.

[Someone]

Мало ли между чем и чем есть двойственность или изоморфизм. Это не означает, что двойственные или изоморфные структуры являются одним и тем же. Сам факт наличия некоторого параллелизма между доказательствами и функциями не означает, что доказательство - это алгоритм.

[tatle11be]

Уважаемый Someone!
Вы предлагаете и используете очень странный метод ведения дискуссий, приписывая собеседнику то, что он и не утверждал.
Вашим покорной слугой нигде НЕ УТВЕРЖДАЛОСЬ, что множество действительных чисел СЧЕТНО.

Jnrty:

В таком случае я требую очень аккуратно объяснить смысл Вашего "контраргумента":

tatle11be в сообщении #409232 писал(а):

Дело в том, что волею судеб я несколько отстал от проблем насущных в математике. Помнится давно на предъявление способа упорядочивания действительных чисел на полуинтервале [0,1), который создавал «вынужденный оффсайт» диагональному методу доказательства <-- Выделение моё - Jnrty --> (тем самым показывая некорректность его применения в данном случае), ...
С тех пор я, грешным делом, и просеивал всю информацию исходя из этого. Или меня дезинформировали? Или что-то за последнее время изменилось и нижеследующее не может претендовать на конраргумент диагональному методу?
0-------------------0.0000000...
1--------------------0.1000000...
2-------------------0.2000000...
...............................
9-------------------0.9000000...
10-----------------0.01000000...
11-----------------0.1100000...
12-----------------0.21000000...
.....................................
5670000---------0.0000765000...
............................................
...абвг--------0.гвба....

Если это некое упорядочение - а я в данный момент никакого упорядочения не вижу, поскольку непонятно, как продолжить порядок с натуральных чисел на записи, бесконечные влево - то точно определите его. А также объясните, какое отношение это имеет к диагональному методу, в данном случае использующему в качестве номеров исключительно натуральные числа - по определению счётного множества.
Если внятного объяснения не последует, то будете заблокированы за троллинг.

Также не обсуждалась правомочность или неправомочность использования Вами утверждения, что (i) Всякое семейство подмножеств натурального ряда либо конечно, либо счетно, либо равномощно множеству всех подмножеств натурального ряда. Более того никто не усомнился в том, что Вы можете и НЕ использовать (i), а также и в том, что можете использовать все, что Вам угодно. При этом не было даже и намека, чтобы подвергать сомнению Вашу вменяемость. Правда последнее не следует из теорем Геделя(1939) и Коэна(1963), скорее из того, что Вам может быть не очень понятно – из этики и житейской мудрости, что, по-видимому, слабо коррелирует с количеством приобретенных человеком знаний, удостоверений и званий.

(Оффтоп)

Могу Вас успокоить – это дело наживное. Какие Ваши годы!!! У Вас все еще впереди даже если Вам 90, хотя судя по Вашему уверенно- амбицизному максимализму – и 25 не просматриваетя. Видимо эффективно предохраняетесь от тлетворного влияния среды

Позвольте иметь свою собственную точку зрения, что на мат. логике (по крайней мере, в современном виде) в науке вообще и в математике в частности «свет клином не сошелся», а если Вы имеете иную точку зрения наше Вам почтение, почет и уважение.
В конце моего последнего сообщения была предпринята показать некорректность формулировки

Jnrty:

Вот это?

tatle11be в сообщении #411303 писал(а):

Это не выдерживает критики. Как только Вы (или Кантор) поставите многоточие после последнего члена, сразу обратитесь к конкретному приведенному Вашим покорным слугой примеру "бесконечной последовательности отличных друг от друга величин" и покажите в каком интервале и какое число (пусть не множество, а хотя бы одно) пропущено.
Поэтому не правомерно (не корректно) делать утверждение о всяком интервале в совокупности с формулировкой "по какому-нибудь закону" да еще обобщать на всякие величины и т.д.

Вам были указаны такие числа: http://dxdy.ru/post409429.html#p409429, http://dxdy.ru/post411398.html#p411398 - если речь идёт о диагональном методе, требующем нумерации натуральными числами. Если же Вы имеете в виду "нумерацию" непонятно чем, то она никакого отношения к диагональному методу не имеет.

Вы приводили цитату Кантора:
Если по какому-нибудь закону задана бесконечная последовательность отличных друг от друга величин w1,w2,.....wN.... (4)
то во всяком заданном интервале (a...b)можно определить число b (а значит, и бесконечно много таких чисел), которое не содержится в последовательности (4)."
Отвлекитесь от всего и перечитайте ее еще раз.
Вот Вам последовательность: 1,2,3,4,...
Вот Вам интервал (1...3)
Можете Вы указать число, которого нет в интервале?

Jnrty:

В теореме Кантора утверждается, что можно указать число, содержащееся в интервале и не содержащееся в последовательности. Вы требуете указать число, не содержащееся в интервале. Какое это имеет отношение к теореме Кантора?

И все. Забудьте о "контраргументе" tatle11be. Он не связан с последним.

Ранее "Контраргумент" приводился исключительно для того, чтобы человек призадумался, что не все благополучно в датском королевстве. Отдельные аксиоматики алгебр и геометрий работают, а вместе - ... встречаются коллизии.
(Если термин "Парадокс" запатентован за Вами)

Jnrty:

Врёте. Никаких "коллизий" между алгеброй и геометрией нет. Все Ваши "коллизии" проистекают только от Вашей математической неграмотности. Термин "парадокс" в математике употребляется только в смысле "противоречие", то есть, наличие доказательств одновременно некоторого высказывания и его отрицания.

При этом предполагался только метод формирования диагонального элемента,
который перекочевывал десятилетиями из одного российского гроссбуха в другой без изменения: 0,a11a22a33a44....
Иные методы не упоминались даже.
И не только потому, что они правильные или неправильные.
НЕ УБЕДИТЕЛЬНО звучала аргументация гражданина СССР о преимуществе соц. строя, когда он пытался (по неопытности своей) "скользя и елозя" доказывать свое и перепрыгивая с одного на другое останавливался в конце концов на достижениях балета.
Человеческое мышление изворотливо и это не недостаток, это преимущество

Jnrty:

Какое это имеет отношение к обсуждаемой теме?

Номер числа 1/3 указать невозможно. Но и об этом ничего ранее не говорилось и не опровергалось.
А для числа 0,333... - №=...333(это номер - каков вопрос - таков ответ)

Jnrty:

$0{,}333333\ldots$ - запись числа $\frac 13$ в виде десятичной дроби.
В обсуждаемой теореме действительные числа нумеруются натуральными числами. Бесконечная влево запись $\ldots 333333$ не является записью натурального числа, поэтому не может быть номером в списке.
Ещё раз подобные глупости напишете - заблокирую сразу, как только увижу. За злокачественное невежество.

Об обсуждении метода российскими математиками:
Было бы справедливым считать, что Зенкин(д.ф.-м.наук России) и Шрамко(напечатано в Вестнике МГУ) имеют некоторое отношение к российской математике.

Jnrty:

Про Шрамко Вам уже написали, что его статья опубликована в философской серии Вестника МГУ, но это не та статья, в которой он отвечает Зенкину. Правильная статья - Ошибка Георга Кантора?, опубликованная в журнале "Вопросы философии" (к сожалению, полного текста статьи я не нашёл). В этом же журнале опубликована и статья Зенкина. Я не думаю, что Зенкин имеет сколько-нибудь существенное отношение к математике, учитывая количество и примитивность допускаемых им ошибок.

С уважением и огромной надеждой на Вас "...во времени"
tatle11be.

Jnrty:

Предупреждение за бессодержательное сообщение, offtopic, обсуждение личности оппонета вместо обсуждения его аргументов, неправильное оформление цитат и формул.

[Xaositect]

tatle11be в сообщении #411717 писал(а):

Шрамко(напечатано в Вестнике МГУ)

Философская серия Вестника к российской математике никакого отношения не имеет.

[tatle11be]

Xaositect в сообщении #411721 писал(а):

tatle11be в сообщении #411717 писал(а):
Шрамко(напечатано в Вестнике МГУ)
Философская серия Вестника к российской математике никакого отношения не имеет.

Спасибо, я понял Вас и поверил с первого раза, тем более прогуглив перед этим Шрамко, но только сейчас пришлось объясняться почему ТОГДА был задан тот вопрос.
Еще раз спасибо.

[В.О.]

tatle11be в сообщении #411717 писал(а):

А для числа 0,333... - №=...333(это номер - каков вопрос - таков ответ)

Под бесконечной записью числа 0.333... подразумевается предел, который можно вычислить, и который оказывается равен 1/3. А вот номер ...333 это нечто непонятное. Так что, ответ вовсе не таков, каков вопрос.

Уважаемый tatle11be, постарайтесь понять чьи-то, показавшиеся Вам резкими слова. Совершенно очевидно, что Вы очень далекий от математики человек. При этом Вы претендуете на некие разоблачения косности в математике и т.п. И это при том, что Вы не понимаете азов и пишете бессмысленные вещи (вроде ...333).
Когда-то мне приходилось принимать участие в математических семинарах, в том числе, в Математическом институте Стеклова. На семинарах математики достаточно неформально общаются и выражают свое мнение. Такие выражения как "чушь", "бред" и т.п. являются нормой и, видимо, традицией в математической среде. Никто на них не обижается, а если обижается, то старается понять свои ошибки.
Если, не приведи бог, Вы бы попытались выступить на таком семинаре, то были бы жестоко высмеяны, и на Вас было бы потрачено не более 3 минут.
Хочется надеяться, что Вы знающий и уважаемый человек в своей области. Но математика слишком специфический раздел. Очень не хочется Вас обидеть, но постарайтесь понять и учесть сказанное.
С уважением,...

[tatle11be]

Объяснение.
Уважаемый Jntry!
К той фразе, после которой Вы требуете моих объяснений, пожалуйста, присовокупите мой нижеследующий ответ Андрею АK :

tatle11be в сообщении #409540 писал(а):

Андрей АK в сообщении #409246 писал(а):
До доказательства счетности действительных чисел остался один, элементарный, шаг ...

К сожалению Вашим способом(я до конца еще не уловил, но, кажется у Вас тот же способ) такого доказательства в позитивной формулировке не получить. Так мне кажется. Может я и не прав.

В этом ответе, будучи не увереным в том, что способ Андрея АK тот же, мной утверждается в аккуратной (=деликатной) форме, что "доказательства в позитивной формулировке не получить". Таким образом, было выражено мое личное отношение к моему (вообще-то говоря, он не является лично моим) "контраргументу" (поскольку не было уверенности в том, что наши доводы эквивалентны) как к инструменту доказательства теоремы: "множество действительных чисел счетно". Два предложения в конце:"Так мне кажется. Может я и не прав" - это попытка сгладить резкость такого утверждения - часть формы при общении с человеком, которая была использована вместо "видимо традиционной" (судя по утверждению В.О.) для математиков, но не для меня.

-- Сб фев 12, 2011 09:27:14 --

Привожу цитату:

В.О. в сообщении #411826 писал(а):

На семинарах математики достаточно неформально общаются и выражают свое мнение. Такие выражения как "чушь", "бред" и т.п. являются нормой и, видимо, традицией в математической среде. Никто на них не обижается, а если обижается, то старается понять свои ошибки.

-- Сб фев 12, 2011 09:42:32 --

На Вашу следующую просьбу:

tatle11be в сообщении #411717 писал(а):

Jnrty:
В таком случае я требую очень аккуратно объяснить смысл Вашего "контраргумента":

tatle11be в сообщении #409232 писал(а):
Дело в том, что волею судеб я несколько отстал от проблем насущных в математике. Помнится давно на предъявление способа упорядочивания действительных чисел на полуинтервале [0,1), который создавал «вынужденный оффсайт» диагональному методу доказательства <-- Выделение моё - Jnrty --> (тем самым показывая некорректность его применения в данном случае), ...
С тех пор я, грешным делом, и просеивал всю информацию исходя из этого. Или меня дезинформировали? Или что-то за последнее время изменилось и нижеследующее не может претендовать на конраргумент диагональному методу?
0-------------------0.0000000...
1--------------------0.1000000...
2-------------------0.2000000...
...............................
9-------------------0.9000000...
10-----------------0.01000000...
11-----------------0.1100000...
12-----------------0.21000000...
.....................................
5670000---------0.0000765000...
............................................
...абвг--------0.гвба....

Если это некое упорядочение - а я в данный момент никакого упорядочения не вижу, поскольку непонятно, как продолжить порядок с натуральных чисел на записи, бесконечные влево - то точно определите его. А также объясните, какое отношение это имеет к диагональному методу, в данном случае использующему в качестве номеров исключительно натуральные числа - по определению счётного множества.
Если внятного объяснения не последует, то будете заблокированы за троллинг.

отвечаю так. Было сформулировано два вопроса. Утверждений среди (или вокруг)них не наблюдается.
На последний вопрос опосредованно через диалог Someone-Андрей КА получен желаемый ответ, в том числе, что существуют и модификации диагонального метода.
Кроме того, о моей "правоверности" (пожалуйста, не воспринимайте это слово серьезно, улыбнитесь!!) можно судить и по тому, что было сказано в отношении непрерывности.

-- Сб фев 12, 2011 09:48:00 --

tatle11be в сообщении #409540 писал(а):

нам нужна непрерывность.

-- Сб фев 12, 2011 10:04:50 --

tatle11be в сообщении #411717 писал(а):

Jnrty:
Вот это?

tatle11be в сообщении #411303 писал(а):
Это не выдерживает критики. Как только Вы (или Кантор) поставите многоточие после последнего члена, сразу обратитесь к конкретному приведенному Вашим покорным слугой примеру "бесконечной последовательности отличных друг от друга величин" и покажите в каком интервале и какое число (пусть не множество, а хотя бы одно) пропущено.
Поэтому не правомерно (не корректно) делать утверждение о всяком интервале в совокупности с формулировкой "по какому-нибудь закону" да еще обобщать на всякие величины и т.д.

Вам были указаны такие числа: post409429.html#p409429, post411398.html#p411398 - если речь идёт о диагональном методе, требующем нумерации натуральными числами. Если же Вы имеете в виду "нумерацию" непонятно чем, то она никакого отношения к диагональному методу не имеет.

Вы приводили цитату Кантора:
Если по какому-нибудь закону задана бесконечная последовательность отличных друг от друга величин w1,w2,.....wN.... (4)
то во всяком заданном интервале (a...b)можно определить число b (а значит, и бесконечно много таких чисел), которое не содержится в последовательности (4)."
Отвлекитесь от всего и перечитайте ее еще раз.
Вот Вам последовательность: 1,2,3,4,...
Вот Вам интервал (1...3)
Можете Вы указать число, которого нет в интервале?
! Jnrty:
В теореме Кантора утверждается, что можно указать число, содержащееся в интервале и не содержащееся в последовательности. Вы требуете указать число, не содержащееся в интервале. Какое это имеет отношение к теореме Кантора?

И все. Забудьте о "контраргументе" tatle11be. Он не связан с последним.

Вначале была ссылка на "контраргумент", чтобы не плодить лишних слов. Но в данном случае это привело к взаимонепониманию, поэтому было послано другое сообщение (с натуральными числами) и приписано "Отвлекитесь от всего и перечитайте ее еще раз", а также "И все. Забудьте о "контраргументе" tatle11be. Он не связан с последним.[/"
Речь шла о форме выражения Кантом, которая приводит к разночтениям, что и было отмечено. И не более того.
Не знаю, что добавить к уже сказанному. Разве только то, что пришлось в цитате вручную дописывать то, что не скопировалось (последовательность, интервал).

-- Сб фев 12, 2011 10:25:18 --

tatle11be в сообщении #411717 писал(а):

Jnrty:
Врёте. Никаких "коллизий" между алгеброй и геометрией нет. Все Ваши "коллизии" проистекают только от Вашей математической неграмотности. Термин "парадокс" в математике употребляется только в смысле "противоречие", то есть, наличие доказательств одновременно некоторого высказывания и его отрицания.

Согласен, что и коллизий нет. Давайте назовем апорией. Можно мне такой термин использовать с целью показать, что да, внутри одной отдельной аксиоматики нет проблем (мы можем строить любые вагоны и поезда) и внутри другой тоже нет (мы можем строить любые железные дороги), но две аксиоматики могут конфликтовать друг с другом (не всякий вагон может проехать по любой железной дороге)? Речь как раз и заводилась для того, чтобы натолкнуть кого-нибудь на мысль для создания (или обсуждения) единой "аксиоматики" и для алгебры и для геометрии, внутри которой первая определяла вторую и сама определялась второй. Если такое, конечно, возможно. Может быть это может принести пользу, как Вы считаете?

[tatle11be]

tatle11be в сообщении #411717 писал(а):

Человеческое мышление изворотливо и это не недостаток, это преимущество
! Jnrty:
Какое это имеет отношение к обсуждаемой теме?

Непосредственное к моему последнему пункту объяснений. Надо использовать то, что кажется негативным так, чтобы оно стало работать на нас.

-- Сб фев 12, 2011 10:34:33 --

tatle11be в сообщении #411717 писал(а):

Jnrty:
- запись числа в виде десятичной дроби.
В обсуждаемой теореме действительные числа нумеруются натуральными числами. Бесконечная влево запись не является записью натурального числа, поэтому не может быть номером в списке.
Ещё раз подобные глупости напишете - заблокирую сразу, как только увижу. За злокачественное невежество.

Сказать нечего.

-- Сб фев 12, 2011 10:38:58 --

tatle11be в сообщении #411717 писал(а):

Jnrty:
Про Шрамко Вам уже написали, что его статья опубликована в философской серии Вестника МГУ, но это не та статья, в которой он отвечает Зенкину. Правильная статья - Ошибка Георга Кантора?, опубликованная в журнале "Вопросы философии" (к сожалению, полного текста статьи я не нашёл). В этом же журнале опубликована и статья Зенкина. Я не думаю, что Зенкин имеет сколько-нибудь существенное отношение к математике, учитывая количество и примитивность допускаемых им ошибок.

Полностью с Вами согласен, что (i)степень доктора наук, звание профессора и пр. не может служить достаточно (! Здесь достаточность надо понимать чисто логически) весомым аргументом в дискуссиях, касающихся даже тех наук, доктором которых сей Имярек является. Достаточность утверждения (i)основывается и на приведенном Вами примере и на (извините за терминологию и аргумент) житейском опыте.

-- Сб фев 12, 2011 10:45:05 --

tatle11be в сообщении #411717 писал(а):

Jnrty:
Предупреждение за бессодержательное сообщение, offtopic, обсуждение личности оппонета вместо обсуждения его аргументов, неправильное оформление цитат и формул.

Понял. Только не знаю, что с ним делать в личных сообщениях: удалять или нет?

А в заключение хотелось бы напомнить Л.О.Табакова:"Ребята! Давайте жить дружно!". Слова Леопольда Олеговича - мой девиз по жизни!

-- Сб фев 12, 2011 11:02:46 --

В.О. в сообщении #411826 писал(а):

Под бесконечной записью числа 0.333... подразумевается предел, который можно вычислить, и который оказывается равен 1/3. А вот номер ...333 это нечто непонятное. Так что, ответ вовсе не таков, каков вопрос.

Уважаемый tatle11be, постарайтесь понять чьи-то, показавшиеся Вам резкими слова. Совершенно очевидно, что Вы очень далекий от математики человек. При этом Вы претендуете на некие разоблачения косности в математике и т.п. И это при том, что Вы не понимаете азов и пишете бессмысленные вещи (вроде ...333).

Уважаемый В.О.!
Ни разу в жизни не пробовал кого-нибудь разоблачать, равно как бороться с ветрянными мельницами. Была предпринята осторожная попытка начать конструктивный диалог о проблеме или о возможности построения единой аксиоматики для алгебры и геометрии. Без амбиций, самомнения с моей стороны. В форме консультирующегося с профессионалами. И только. Ответная реакция не ожидалась такой бурной и переворачивающей все с ног на голову.
А лично к Вашей форме общения никаких претензий нет. Спасибо Вам.

[Someone]

tatle11be в сообщении #412101 писал(а):

На последний вопрос опосредованно через диалог Someone-Андрей КА получен желаемый ответ, в том числе, что существуют и модификации диагонального метода.

Нет никаких модификаций диагонального метода. В счётном варианте он применяется к последовательностям, в общем случае - к отображениям (функциям), заданным на некотором множестве $X$, или к подмножествам некоторого множества $X$. Последовательности прямо по определению являются функциями, определёнными на множестве натуральных чисел $X=\mathbb N$. Рассмотрение подмножеств множества $X$ равносильно рассмотрению функций, определённых на множестве $X$ и принимающих значения в множестве из двух элементов.

Предположим, что имеются множества $X$ и $T$. Рассмотрим всевозможные отображения $f\colon X\to T$. Множество всех таких отображений обозначается $T^X$. Рассмотрим теперь любое отображение $F\colon X\to T^X$. Оно каждому элементу $x\in X$ ставит в соответствие элемент $f_x=F(x)$ множества $T^X$, то есть, отображение $f_x\colon X\to T$. Отображение $f_x$ каждому элементу $y\in X$ ставит в соответствие элемент $f_x(y)\in T$.
Диагональный метод состоит в том, что определяется так называемое диагональное отображение $\varphi\colon X\to T$, задаваемое формулой $\varphi(x)=f_x(x)$.
Всё. Именно в этом состоит диагональный метод, и больше ничего в нём нет. В частности, нет никаких модификаций.

Другое дело, что сам по себе этот метод ни для чего не нужен. В зависимости от конкретной задачи используются те или иные конструкции как до применения диагонального метода, так и после оного. Эти дополнительные конструкции могут варьироваться от случая к случаю, и именно эти вариации Вы приняли за "модификации" диагонального метода.

В частности, если мы хотим использовать диагональный метод для доказательства несчётности множества действительных чисел, то мы должны до применения диагонального метода сопоставить натуральным числам функции, определённые на множестве натуральных чисел $\mathbb N$, то есть, последовательности (именно на $\mathbb N$, поскольку именно натуральный ряд использован в определении счётности), а после его применения построить функцию $\psi$, определённую на том же $\mathbb N$ (то есть, последовательность), и для каждого $x\in\mathbb N$ удовлетворяющую условию $\psi(x)\neq\varphi(x)$, причём, так, чтобы этой последовательности соответствовало некоторое действительное число, и чтобы это число отличалось от всех "перенумерованных" чисел. Все "модификации" относятся либо к этапу построения последовательностей, соответствующих действительным числам, либо к этапу построения последовательности $\psi$.

tatle11be в сообщении #412101 писал(а):

Кроме того, о моей "правоверности" (пожалуйста, не воспринимайте это слово серьезно, улыбнитесь!!) можно судить и по тому, что было сказано в отношении непрерывности.

Непрерывность вообще ни при чём. Равно как и континуум-гипотеза.

tatle11be в сообщении #412101 писал(а):

Речь шла о форме выражения Кантом, которая приводит к разночтениям, что и было отмечено.

Причём тут Кант и о каком разночтении идёт речь? У Кантора сформулировано вполне однозначно: если задана последовательность действительных чисел, то в любом интервале можно определить число, не содержащееся в заданной последовательности. Это действительно можно сделать (и Кантор показывает, как это сделать, причём, не пользуясь диагональным методом).

tatle11be в сообщении #412101 писал(а):

Согласен, что и коллизий нет. Давайте назовем апорией. Можно мне такой термин использовать с целью показать, что да, внутри одной отдельной аксиоматики нет проблем (мы можем строить любые вагоны и поезда) и внутри другой тоже нет (мы можем строить любые железные дороги), но две аксиоматики могут конфликтовать друг с другом (не всякий вагон может проехать по любой железной дороге)?

Чёрт, причём тут вагон? Математическая теория - это не железная дорога. Аксиомы одной теории не могут конфликтовать с аксиомами другой теории просто потому, что они вместе никогда не встречаются. Речь может идти только о построении модели одной теории средствами другой. Но никаких конфликтов, коллизий, апорий, парадоксов или противоречй не получается - по определению модели.

tatle11be в сообщении #412101 писал(а):

Речь как раз и заводилась для того, чтобы натолкнуть кого-нибудь на мысль для создания (или обсуждения) единой "аксиоматики" и для алгебры и для геометрии, внутри которой первая определяла вторую и сама определялась второй. Если такое, конечно, возможно. Может быть это может принести пользу, как Вы считаете?

Господи, до чего же вредно быть до такой степени безграмотным, и при этом воображать себя умнее всех. Эта задача уже несколько столетий как решена. Лет триста, наверное. Аналитическая геометрия называется. Студенты на первом курсе её изучают.

tatle11be в сообщении #412109 писал(а):

Надо использовать то, что кажется негативным так, чтобы оно стало работать на нас.

Для этого нужно очень хорошо знать то, что Вы хотите критиковать. Чего в Вашем случае не наблюдается.

tatle11be в сообщении #412109 писал(а):

Полностью с Вами согласен, что (i)степень доктора наук, звание профессора и пр. не может служить достаточно (! Здесь достаточность надо понимать чисто логически) весомым аргументом в дискуссиях, касающихся даже тех наук, доктором которых сей Имярек является. Достаточность утверждения (i)основывается и на приведенном Вами примере и на (извините за терминологию и аргумент) житейском опыте.

Как-то невразумительно выражаетесь, даже трудно понять, что имеется в виду. Но сравнительно недавно обсуждалась статья одного академика, который взялся доказывать теорему Ферма, хотя имел более чем скромные познания в математике. Ошибки, которые он делал, не должен бы делать даже хороший школьник. Ваш кумир (д.ф.м.н. Зенкин) ни в теории множеств, ни в математической логике точно так же не разбирается. Не говоря уже о том, что приписывает Кантору и Клини то, чего они не писали, и тем самым просто врёт (можете сами сравнить то, что написано у Зенкина, с тем, что написано у Кантора и у Клини). Может быть, я выберу время и напишу рецензию на часть статьи Зенкина с соответствующими цитатами и ссылками. Всю статью разбирать заведомо не буду, жалко тратить время на ерунду.

tatle11be в сообщении #412109 писал(а):

Ответная реакция не ожидалась такой бурной

Видите ли, Вы здесь далеко не первый "опровергатель" Кантора, и всем уже давно надоело объяснять очевидные вещи. Ваше поведение совершенно типично: Вы считаете всех математиков за последние сто с лишком лет полными идиотами, неспособными разобраться в элементарной конструкции, при этом сами несёте полную чушь, не в состоянии что-либо внятно объяснить и категорически отвергаете любые возражения или объяснения. (Или я ошибаюсь? Пока у меня нет причин думать иначе, я вижу только реакцию на появление модератора.) Здесь Вы имеете дело с профессионалами, которым всё это ясно с первого взгляда. Скажите, как им на Вас реагировать? Большинство из них Вас просто игнорирует, но есть несколько любителей побеседовать с такими как Вы, пока кому-нибудь из модераторов это не надоест.

[Someone]

Someone в сообщении #412349 писал(а):

Может быть, я выберу время и напишу рецензию на часть статьи Зенкина с соответствующими цитатами и ссылками. Всю статью разбирать заведомо не буду, жалко тратить время на ерунду.

Вот пообещал. Даже начал писать. И понял, что, во избежание ненужных споров, нужно сформулировать соответствующие определения. Эти определения могут иметь разные варианты, поэтому, если кто-то привык к другому варианту, прошу в этой теме со мной в спор не вступать. Эти определения каждому, кто разбирался в теории множеств, должны быть хорошо знакомы, поэтому прошу прощения за банальности.

1. Натуральный ряд я буду определять как множество $\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$ положительных целых чисел.

В теории множеств в натуральный ряд принято включать и число $0$. При этом натуральные числа отождествляются с определёнными множествами: $0=\varnothing$, и если натуральное число $n$ уже определено, то $n+1=n\cup\{n\}$. В результате каждое натуральное число $n$ представляет собой множество всех натуральных чисел, меньших $n$. Это создаёт определённые удобства, но я буду придерживаться старинного определения.

2. Для каждого натурального числа $n\in\mathbb N$ определён отрезок натурального ряда - множество $\mathbb N_n=\{k\in\mathbb N:k<n\}$ (обозначение не является сколько-нибудь распространённым).

Множество $\mathbb N_n$ содержит $n-1$ элемент. В частности, $\mathbb N_1=\varnothing$, $\mathbb N_2=\{1\}$, $\mathbb N_3=\{1,2\}$, и так далее.

3. Говорят, что задано отображение $f\colon X\to Y$ множества $X$ в множество $Y$, если каждому элементу $x\in X$ поставлен в соответствие определённый элемент $y\in Y$; этот элемент $y$ обозначается $f(x)$ (или просто $fx$) и называется значением отображения $f$ в точке $x$.

В теории множеств отображение формализуется как подмножество $\Gamma_f$ произведения $X\times Y$, обладающее тем свойством, что для каждого элемента $x\in X$ существует единственный элемент $y\in Y$, для которого $(x,y)\in\Gamma_f$.

4. Множество $\Gamma_f=\{(x,f(x)):x\in X\}$ называется также графиком отображения $f$.

Термин "функция" обычно считается равнозначным термину "отображение", но иногда под функцией понимают отображение в числовое поле или в векторное пространство над таким полем (вектор-фунция). Я буду считать термины "функция" и "отображение" полностью взаимозаменяемыми.

5. Множество $fX=\{f(x):x\in X\}$ называется множеством значений отображения $f$: $y\in fX$ тогда и только тогда, когда существует такой элемент $x\in X$, что $f(x)=y$.

6. Для произвольного множества $A\subseteq X$ множество $fA=\{f(x):x\in A\}$ называется образом множества $A$ при отображении $f$.

Множество всех отображений множества $X$ в множество $Y$ обозначается $Y^X$.

7. Отображение $f\colon X\to Y$ называется сюръективным, если $fX=Y$, то есть, для каждого $y\in Y$ существует такой $x\in X$, что $f(x)=y$.

8. Отображение $f\colon X\to Y$ называется инъективным, если отображение $f$ принимает каждое своё значение только один раз, то есть, если $x_1\in X$, $x_2\in X$ и $f(x_1)=f(x_2)$, то $x_1=x_2$.

9. Отображение $f\colon X\to Y$ называется взаимно однозначным отображением множества $X$ на множество $Y$, если оно одновременно инъективно и сюръективно.

Термины "инъективное" и "сюръективное" по-русски звучат, конечно, ужасно. По-русски сюръективное отображение $f\colon X\to Y$ называют отображением множества $X$ на множество $Y$ (и пишут $f\colon X\xrightarrow{\text{на}}Y$), а инъективное - взаимно однозначным отображением множества $X$ в множество $Y$ (в обоих случаях следите за предлогами) или взаимно однозначным отображением множества $X$ на подмножество множества $Y$ (или на свой образ, или на множество значений).

10. Последовательностью элементов множества $X$ называется отображение $a\colon\mathbb N\to X$; вместо $a(n)$, где $n\in\mathbb N$, значения последовательности обычно обозначают $a_n$ и называют их членами последовательности.

Таким образом, последовательность элементов множества $X$ - это элемент множества $X^{\mathbb N}$.

11. Аналогично, конечная последовательность элементов множества $X$ - это отображение $a\colon\mathbb N_n\to X$ некоторого отрезка натурального ряда $\mathbb N_n$ в множество $X$.

Вместо обозначения $X^{\mathbb N_n}$ для множества конечных последовательностей используется более простое обозначение $X^{n-1}$ (считая при этом, что $X^0=\{\varnothing\}$ состоит из одного элемента - пустой последовательности).
Если употребляется термин "конечная последовательность", то естественно напрашивается и термин "бесконечная последовательность" по отношению к последовательностям, определённым на множестве $\mathbb N$.

12. Множества $X$ и $Y$ называются равномощными, если существует взаимно однозначное отображение $f\colon X\xrightarrow{\text{на}}Y$ множества $X$ на множество $Y$.

13. Класс всех множеств, равномощных множеству $X$, называется мощностью, или кардиналом множества $X$ и обозначается $|X|$.

Вообще говоря, хочется иметь какое-нибудь стандартное множество для каждой мощности, но этот вопрос выходит далеко за рамки данной темы. Но для некоторых мощностей такие стандартные множества можно указать.

14. Множество $X$ называется конечным, если оно равномощно какому-нибудь отрезку натурального ряда, то есть, существуют натуральное число $n\in\mathbb N$ и (конечная) последовательность $a\colon\mathbb N_n\to X$, удовлетворяющие следующим условиям: все члены последовательности $a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}$ попарно различны, причём, для каждого $x\in X$ найдётся такое $k\in\mathbb N_n$, что $a_k=x$.

Для конечных множеств мощность интерпретируется как число элементов. Таким образом, если множество $X$ равномощно отрезку $\mathbb N_n$, то $|X|=n-1$.

При стандартном для теории множеств определении натуральных чисел множество называется конечным, если оно равномощно некоторому натуральному числу, причём, мощность множества именно этому числу и равна.

Определение бесконечного множества получается отрицанием условия, указанного в определении конечного множества.

15. Множество $X$ называется бесконечным, если оно не равномощно никакому отрезку натурального ряда, то есть, для каждого $n\in\mathbb N$ и для каждой последовательности $a\colon\mathbb N_n\to X$ с попарно различными членами найдётся такой элемент $x\in X$, что $a_k\neq x$ для всех $k\in\mathbb N_n$.

16. Множество $X$ называется счётным, если оно равномощно натуральному ряду $\mathbb N$, то есть, существует последовательность $a\colon\mathbb N\to X$, удовлетворяющая следующим условиям: все члены последовательности $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$ попарно различны, причём, для каждого $x\in X$ найдётся такое $k\in\mathbb N$, что $a_k=x$.

17. Множество $X$ называется не более чем счётным, если оно конечно или счётно.

Иногда конечные множества тоже называют счётными, то есть, изменяют определение счётного множества. Тогда термин "не более чем счётное" не нужен, но зато появляется термин "бесконечное счётное" (или "счётное бесконечное").

Теорема. Непустое множество $X$ не более чем счётно тогда и только тогда, когда существует последовательность $a\colon\mathbb N\to X$, удовлетворяющая следующему условию: для каждого элемента $x\in X$ найдётся такое натуральное число $k\in\mathbb N$, что $a_k=x$.

Оговорка насчёт непустоты множества нужна потому, что для пустого множества $X$ вообще не существует последовательностей $a\colon\mathbb N\to X$ (правда, существует единственная конечная (пустая) последовательность $a\colon\mathbb N_1\to X$).

Теперь в качестве определения несчётного, то есть, "более чем счётного" множества можно взять отрицание свойства, сформулированного в рассмотренной теореме.

18. Непустое множество $X$ называется несчётным, если для каждой последовательности $a\colon\mathbb N\to X$ найдётся такой элемент $x\in X$, что $a_k\neq x$ для всех $k\in\mathbb N$.

Теорема. Бесконечное множество $X$ является несчётным тогда и только тогда, когда для каждой последовательности $a\colon\mathbb N\to X$ с попарно различными членами найдётся такой элемент $x\in X$, что $a_k\neq x$ для всех $k\in\mathbb N$.

Оговорка насчёт бесконечности множества нужна потому, что для конечного множества нет последовательностей $a\colon\mathbb N\to X$ с попарно различными членами.

Доказательства обеих теорем несложные, но если у кого-то возникнут трудности, могу эти доказательства написать. Аксиома выбора для этих доказательств не требуется.

Свойство, сформулированное в последней теореме, также можно принять за определение несчётного множества. Это свойство является отрицанием свойства, сформулированного в определении счётного множества.

19. Бесконечное множество $X$ называется несчётным, если для каждой последовательности $a\colon\mathbb N\to X$ с попарно различными членами найдётся такой элемент $x\in X$, что $a_k\neq x$ для всех $k\in\mathbb N$.

Таким образом, у нас есть два эквивалентных определения несчётного множества. Естественно, пользоваться можно любым из них.

[migmit]

В пункте 11 опечатка, надо $a:\mathbb{N}_n\to X$.

В пункте 12 я бы сформулировал словами: если существует взаимно-однозначное отображение $f$ множества $X$ на множество $Y$. Чтобы не путаться в предлогах.

Пункт 13 мне категорически не нравится. Во-первых, свойство "быть множеством" является общим для всех множеств, равномощных $X$ (и не только для них), но к мощности никакого отношения не имеет. Во-вторых само понятие "свойство" несколько подозрительно.

Пункт 15 - некая не вполне тривиальная теорема.

[Someone]

Спасибо.

Пункты 11 и 12 исправил.
Пункт 13 мне тоже не нравился, но не хотелось употреблять термин "класс". Однако ничего лучше не могу придумать. Куратовский с Мостовским тоже ничего не придумали, и ввели понятие реляционного типа и аксиому реляционных типов, чтобы иметь возможность сказать, что мощность - это реляционный тип чего-то там (в данный момент не важно чего).
Собственно, в теории множеств "свойство" - это и есть "класс", только термин "класс" удобнее. В общем, тоже исправил.

Пункт 15 - это именно определение, отрицание сформулированного в пункте 14 определения конечного множества. Или я там что-то не так написал?

Исторически в теории множеств встречались два определения бесконечного множества. Одно - это именно то, что в пункте 15 (обычно с заменой "отрезка натурального ряда" на "натуральное число"), а другое было таким: множество $X$ бесконечно, если оно равномощно некоторому своему собственному (то есть, не совпадающему с $X$) подмножеству (соответственно, изменяется и определение конечного множества). Эквивалентность этих двух определений действительно является нетривиальной теоремой - настолько нетривиальной, что она может быть и неверной. Правда, если принять аксиому выбора, то определения становятся эквивалентными. Но этот вопрос также далеко выходит за рамки темы, посвящённой обсуждению работы Зенкина.

[migmit]

Someone в сообщении #413458 писал(а):

Пункт 15 - это именно определение, отрицание сформулированного в пункте 14 определения конечного множества.

Формально говоря - не совсем. Пункт 15 - это отрицание существования сюрьекции $\mathbb{N}_n\to X$, а не биекции. Оно, конечно, понятно, что если есть сюрьекция, то есть и биекция (для какого-то другого $n$), но доказать это всё-таки надо. И я не уверен, что это будет так для, например, топосов.

[Someone]

migmit в сообщении #413479 писал(а):

Пункт 15 - это отрицание существования сюрьекции $\mathbb{N}_n\to X$, а не биекции.

Пропустил. И мысли не было о сюръекции, там же написано - "не равномощно", то есть, нет биекции.
Спасибо за труд. Исправляю.

migmit в сообщении #413479 писал(а):

И я не уверен, что это будет так для, например, топосов.

Избави Бог от обсуждения в этой теме ещё топосов. Да я с ними толком и не знаком.

[Tod Leben]

Чёт не пойму....
00000001 <-одно яблоко.
00000011 <-два яблока.
00000111 <-три яблока.
00001111 <-четыре яблока.
00011111 <-пять яблоков
00111111 <-шесть яблок.
01111111 <-семь яблок.
11111111 <-восемь яблок.
................ <-N-яблок.
В какую сторону проводить диагональ,и какое яблоко может здесь отсутствовать?

Someone в сообщении #410375 писал(а):

В частности, в любой системе счисления мы можем получить число, не принадлежащее нашему списку и лежащее в интервале ,

Это что за интервал такой интересный,не могли бы Вы пояснить?И за одно,какое число в Вашем интервале предшествует "1"(единице),и в какой такой системе счисления?

Xaositect в сообщении #410482 писал(а):

Будет ли эта штука моделью арифметики - надо думать.

Я думаю что не будет.Инкремент и Декремент это конечно хорошо,а сдвиг-то где?

*Читаю дальше...*

Jnrty:

Ещё одно такое глупое сообщение - и заблокирую за злокачественное невежество. Пока - предупреждение за засорение темы бессмысленными сообщениями.