Несколько вопросов по топологии

[paha]

Bulinator в сообщении #395137 писал(а):

Что значит "редуцировать расслоение к чему-то"?

я неточно выразился: редуцировать структурную группу расслоения

-- Вт янв 04, 2011 13:20:05 --

Вот если структурная группа редуцируется к своей единице, то расслоение тривиально:)

[Bulinator]

Я не очень понимаю, что такое редуцировать группу.
Могу прдположить, что если у нее есть нормальная подгруппа $H\subset G$, такая, что $gH=Hg$, $\forall g\in G$, можно рассматривать гомоморфизмы $g\to Hg$ и их обзывать редуцированной группой. Правильно?

[paha]

Bulinator в сообщении #395143 писал(а):

Я не очень понимаю, что такое редуцировать группу.
Могу прдположить, что если у нее есть нормальная подгруппа

Нет. Редукция структурной группу $G$ расслоения к ее подгруппе $H$ означает выбор отображений склейки таким образом, что они принимают значение в $H$.

-- Вт янв 04, 2011 13:33:35 --

Например, редукция структурной группы касательного расслоения $TM$ ($G=GL_n$) к ортогональной группе $H=O_n$ равносильна выбору римановой метрики на $M$ и поэтому всегда возможна.

[Bulinator]

Т.е. иными словами мы вращаем слой ${\bf g}$ с помощью какого-то представления группы $G$. Но может существовать какая-то подгруппа $H\subset G$ такая, что ее представление совпадает с представлением $G$?

[paha]

Bulinator в сообщении #395149 писал(а):

Т.е. иными словами мы вращаем слой ${\bf g}$ с помощью какого-то представления группы $G$. Но может существовать какая-то подгруппа $H\subset G$ такая, что ее представление совпадает с представлением $G$?

ну... мы с помощью элементов группы склеиваем куски $U_\alpha\times F$ друг с другом
Но ведь может найтись расслоение изоморфное исходному, в котором для склеивания достаточно только элементов подгруппы $H$... это и называется редукцией

-- Вт янв 04, 2011 13:51:01 --

насколько я помню, в книжке
Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения 1984
эти вопросы прекрасно отражены (правда, может и сложновато для физиков, но терпимо)

[Bulinator]

(Оффтоп)

paha в сообщении #395152 писал(а):

может и сложновато для физиков, но терпимо

знаю я это "терпимо". Когда беру в руки книжку для математиков у меня такое впечатление, что мне нужен как-минимум год работы, чтобы начать читать ее. :-)

-- Вт янв 04, 2011 16:24:34 --

А.... т.е. как группу $G$ можно взять группу инваринтности(термин, может не совсем правильный) $n-1$-меной сферы $SO(n)$. В случае первого отображения $S^1\to S^3\to S^2$ эта группа есть $U(1)\simeq S^1$. В случае второго отображения $S^3\to S^7\to S^4$, можем взять $SO(4)=SU(2)\otimes SO(3)$. В случае же последнего отображения- $S^7\to S^{15}\to S^8$ группой $G$ является $SO(8)$. Правильно?

[Bulinator]

Сфера покрывается двумя картами $U_{1,2}$. Введем
$y_i=\frac{2x_i}{1+x_n}$- сфера без южного полюса.
$\tilde{y}_i=\frac{2x_i}{1-x_n}$- сфера без северного полюса.
(Здесь и далее берем $r=1$.)
Обратные преобразования имеют вид:
$x_i=\frac{2y_i}{1+y^2}=\frac{2\tilde{y}_i}{1+\tilde{y}^2},$ $x_n=\frac{1-y^2}{1+y^2}=-\frac{1-\tilde{y}^2}{1+\tilde{y}^2}$
Там, где $x_n\neq\pm 1$ имеем функции склейки:
$y_i=\phi^i(\tilde{y})=\frac{2\tilde{y}_i}{\tilde{y}^2(1+\tilde{y}^2)}.$

Т.е. сфера $S^n$ без точки диффеоморфна $\mathbb{R}^{n}$.
Возьмем какую-нибудь точку на базе ($n$-мерной сфере). Согласно скзаному в сообщении #395127 локально имеем диффоморфизм $\mathbb{R}^{2n-1}\to\mathbb{R}^n\times S^{n-1}$
Правильно?

[paha]

Bulinator в сообщении #395154 писал(а):

Правильно?

ну да...

Bulinator в сообщении #395194 писал(а):

Сфера покрывается двумя картами $U_{1,2}$. Введем
$y_i=\frac{2x_i}{1+x_n}$- сфера без южного полюса.
$\tilde{y}_i=\frac{2x_i}{1-x_n}$- сфера без северного полюса.
(Здесь и далее берем $r=1$.)
Обратные преобразования имеют вид:
$x_i=\frac{2y_i}{1+y^2}=\frac{2\tilde{y}_i}{1+\tilde{y}^2},$ $x_n=\frac{1-y^2}{1+y^2}=-\frac{1-\tilde{y}^2}{1+\tilde{y}^2}$
Там, где $x_n\neq\pm 1$ имеем функции склейки:
$y_i=\phi^i(\tilde{y})=\frac{2\tilde{y}_i}{\tilde{y}^2(1+\tilde{y}^2)}.$

да... только где здесь расслоение?

[Bulinator]

(Оффтоп)

paha в сообщении #395205 писал(а):

да... только где здесь расслоение?

Щас все будет

[paha]

сначала скажите -- зачем!

[Bulinator]

Хочу явно выписать проекцию $p$ и диффеоморфизмы $\varphi_\alpha$

-- Вт янв 04, 2011 19:49:21 --

Проекция выписывается просто
$p({\bf x},x_{n+1},{\bf g})=({\bf x},x_{n+1}).$

[paha]

Bulinator в сообщении #395235 писал(а):

диффеоморфизмы $\varphi_\alpha$

они не единственны

[Bulinator]

paha в сообщении #395238 писал(а):

они не единственны

Ну хоть какие-нибудь. Хочу увидеть группу.

[paha]

Bulinator в сообщении #395239 писал(а):

Ну хоть какие-нибудь. Хочу увидеть группу.

это будет нелегко)))

Вот есть у нас диффеоморфизм $M\to M$... какой подгруппе группы диффеоморфизмов он принадлежит?

[Bulinator]

paha
Я про группу $G$ из определения. Вы тоже о ней?

-- Вт янв 04, 2011 20:04:32 --

(Оффтоп)

Кстати отсюда как-нибудь по простому гипотеза Пуанкаре не следует?

-- Вт янв 04, 2011 20:31:37 --

Как окрестности точек $U_\alpha$ можем рассматривать сферы без полюсов, которые, как показано диффеоморфны $\mathbb{R}^n$. Для всех точек кроме полюсов существуют 2 такие окрестности. Понятно, что $\varphi_\alpha:\mathbb{R}^n\times S^{n-1}\to \mathbb{R}^n\times S^{n-1}$ можно формально записать как тождественные преобразования $(y,{\bf g})\to (y,{\bf g})$, только слева понимать точки на расслоенном пространсте а справа- точки на каком-то просто- пространстве $\mathbb{R}^n\times S^{n-1}$. Правильно?