Что такое дифференциал?

[zbl]

Munin в сообщении #386863 писал(а):

zbl в сообщении #386733 писал(а):

Физики дифференциалом называют физически бесконечно малое приращение.Говорить, что физики конечное приращение дифференциалом называют неправильно: именно физически бесконечно малое.

Говорить, что физики называют чем-то "физически бесконечно малое" приращение, неправильно: в физике не бывает бесконечно малого, поскольку это не математика. Физики говорят о пренебрежимо малых величинах, а бесконечно малые - только в рамках математических моделей.

Нет; есть тут хитрющая тонкость.
Физики, когда говорят "малое" всегда подразумевают "пренебрежимо малое" -- это так (бывает ещё и "очень малое", между прочим).
Но физически бесконечно малое -- это термин вполне определённый и это именно то, что обозначают дифференциалом.
Дело в том, что для любого физобъекта есть предел точности измерения физвеличины, определяемый природой самого этого физобъекта, а не конструкцией прибора.
Например, если мы измеряем длину карандаша, то не можем её измерить даже не только с точностью до атомных размеров, а уже с гораздо худшей точностью.
Само что такое карандаш как физобъект определяет некоторый предел точности измерения его длины.
Вот эту предельно малую длину, которую, ещё кое-как можно прочувствовать, называют физически бесконечно малой длиной и обозначают дифференциалом.
Разумеется, от задачи сильно зависит, какую величину считать бесконечно малой, но можно рассмотреть и класс всех задач; вот тогда будет таки некая предельно малая величина уже природой физобъекта определяемая.

-- 13 дек 2010 20:55 --

Munin в сообщении #386957 писал(а):

zbl в сообщении #386951 писал(а):

Взял Лейбниц свой дифференциал непосредственно из физики -- там уже физически бесконечно малые (три последних слова разрывать нельзя) в общем и целом уже присутствовали на тот момент.

Во времена Лейбница терминология вообще, и в физике в частности, была несовременной. Достаточно сказать, что Ньютон использовал слово "масса" в смысле современного "тело". Так что неважно, как это называлось во времена Лейбница, сегодня это называется пренебрежимо малыми величинами.

Я говорю не о том, как называл Лейбниц дифференциал, а о том, как он его понимал: как бесконечно малую константу.
Ровно так же дифференциал понимается в физике и тогда, и сейчас.
Более того, он навечно только так и будет в физике пониматься -- тому есть причины, которые были названы.

У этой истории с лейбницевыми дифференциалами есть презабавное продолжение.
В 60-х годах 20-го века математики вдруг осознали, что можно так расширить систему понятий матанализа, что бесконечно малые константы приобретут точный смысл.
Так возник нестандартный анализ.
Физики, опять замечу, как чхали на все эти мозгомазохизмы, так и продолжают это делать, ибо просто в принципе не могут делать иначе...

[Munin]

zbl в сообщении #386972 писал(а):

Физики, когда говорят "малое" всегда подразумевают "пренебрежимо малое" -- это так (бывает ещё и "очень малое", между прочим).

Нет. Есть "малое" в смысле метода последовательных приближений: на одном шаге оно пренебрежимое, а на другом уже нет.

zbl в сообщении #386972 писал(а):

Но физически бесконечно малое -- это термин вполне определённый и это именно то, что обозначают дифференциалом.

Есть реальность. Есть матмодель. В каком из этих слоёв "живёт" этот ваш термин, на существовании которого вы настаиваете? У меня всё просто: в реальности есть пренебрежимо малые, в матмодели - обычные дифференциалы из учебника.

zbl в сообщении #386972 писал(а):

Дело в том, что для любого физобъекта есть предел точности измерения физвеличины, определяемый природой самого этого физобъекта, а не конструкцией прибора.

Не бывает. Бывают пределы двух видов: из-за конструкции прибора, и из-за особенностей нашей дефиниции этого объекта. Проблемы дефиниции - это не проблемы природы. Например, радиус атома определить нельзя (точнее, чем на полангстрема), потому что он не имеет чёткой границы. А вот функцию спадения электронной плотности промерять можно, и с намного большей точностью: сколько захотим, столько и будет, хоть на пять порядков точнее. Природа здесь никаких пределов не ставит, а просто предпочитает одни дефиниции другим.

zbl в сообщении #386972 писал(а):

Например, если мы измеряем длину карандаша, то не можем её измерить даже не только с точностью до атомных размеров, а уже с гораздо худшей точностью.

И с точностью до атомных размеров можем, если будем приборы класса СЗМ и интерферометрию использовать. Проблема разве что температуру и вибрацию стабилизировать :-)

zbl в сообщении #386972 писал(а):

Само что такое карандаш как физобъект определяет некоторый предел точности измерения его длины.Вот эту предельно малую длину, которую, ещё кое-как можно прочувствовать, называют физически бесконечно малой длиной и обозначают дифференциалом.

Не встречал в физике таких фантазий.

И наконец, для справки. Когда рассчитывают движение планет, рассматривают дифференциалы от их положений. Когда рассчитывают приливные силы, рассматривают дифференциальные объёмы тел. При этом для нужд численного расчёта применяются размеры конечных элементов порядка многих километров и тысяч километров. Никакой природой физических объектов эти размеры не обусловлены (а исключительно достаточностью для требуемой точности расчётов).

-- 13.12.2010 20:10:26 --

zbl в сообщении #386972 писал(а):

Я говорю не о том, как называл Лейбниц дифференциал, а о том, как он его понимал: как бесконечно малую константу.Ровно так же дифференциал понимается в физике и тогда, и сейчас.

За физику сейчас - доказательства на стол.

zbl в сообщении #386972 писал(а):

У этой истории с лейбницевыми дифференциалами есть презабавное продолжение... Так возник нестандартный анализ.

Да, я в курсе. К Лейбницу относится, к физике нет. Физикам и $\mathbb{R}$-то много, зачем им ещё $\mathbb{R}^*.$

[paha]

ewert в сообщении #386801 писал(а):

Ales в сообщении #386800 писал(а):
Тем более, что от второго дифференциала никакого толку,

ага, доже экстремумы толком не поизучаешь

Таки да. Вот про то, что второй дифференциал (который $d(df)$, он же $d^2f$) не инвариантен. Это же основы теории Морса: в тех точках, где $df:TM\to\mathbb{R}$ вырожден (т.е. в критических точках отображения $f:M\to\mathbb{R}$), из отображения $d(df):T(TM)\to\mathbb{R}$ лепится вполне себе инвариантная

ewert в сообщении #361921 писал(а):

соотв. билинейной формы

симметрическая билинейная форма на касательном пространстве:

Если $f:M\to\mathbb{R}$ и $(df)_{x_0}=0$, то форма $d^2f:T_{x_0}M\times T_{x_0}M\to\mathbb{R}$ корректно определена и ее индекс -- чрезвычайно важное число, от которого один сплошной толк

[zbl]

Munin в сообщении #386985 писал(а):

zbl в сообщении #386972 писал(а):

Физики, когда говорят "малое" всегда подразумевают "пренебрежимо малое" -- это так (бывает ещё и "очень малое", между прочим).

Нет. Есть "малое" в смысле метода последовательных приближений: на одном шаге оно пренебрежимое, а на другом уже нет.

Есть ещё малое по сравнению с чем-то: у физически бесконечно тонкого стержня толщина пренебрежимо мала по сравнению с длиной.

Munin в сообщении #386985 писал(а):

zbl в сообщении #386972 писал(а):

Но физически бесконечно малое -- это термин вполне определённый и это именно то, что обозначают дифференциалом.

Есть реальность. Есть матмодель. В каком из этих слоёв "живёт" этот ваш термин, на существовании которого вы настаиваете?

Модели бывают разные: есть математические, а есть и физические, и даже экспериментальные.
В матмодели живёт дифференциал математический; в физике же дифференциал -- это физвеличина (физически бесконечно малая).
Смысл понимать различие между ними, разумеется, только в том, чтобы уметь матмодели аккуратно связывать с реальностью.
Если физики пишут в формулах $dx$, то они под этим не совсем то же самое понимают, что математики, которые эти же формулы видят.
Важно лишь, чтобы и те и другие не путались и понимали друг-друга.

Munin в сообщении #386985 писал(а):

zbl в сообщении #386972 писал(а):

Дело в том, что для любого физобъекта есть предел точности измерения физвеличины, определяемый природой самого этого физобъекта, а не конструкцией прибора.

Не бывает. Бывают пределы двух видов: из-за конструкции прибора, и из-за особенностей нашей дефиниции этого объекта. Проблемы дефиниции - это не проблемы природы.

Если так рассуждать, то либо позитивизм получится, либо операционализм.
Объект сам по себе без субъекта не существует: яблоко не знает, что оно яблоко.
Физобъект начнёт существовать, когда мы его выделим как физобъект.
Не получится физвеличину определить безотносительно к физтеории (как в операционализме) или без относительно к реальности (как в позитивизме).
Без теории мы результат эксперимента осмыслить не можем.
"Проблемы дефиниции - это не проблемы природы" -- если речь только о субъективном, то верно: хоть горшком назови.
Мы можем, например, изготовить прибор, как нам вздумается, но, вот, если мы изготовили прибор, то больше на него прав, кроме прав творца, не имеем -- он объективно существует и нашим желаниям не подчиняется.
Так и тут: выделить карандаш как физобъект -- это значит уметь теперь отличить всё, что не карандаш от карандаша; длина карандаша тогда тоже вещь совершенно конкретная.
Тогда уже нет у нас произвола: начнём измерять длину карандаша со всё лучшей точностью -- обнаружим, что с какого-то момента границы отрезка, мы фиксировать можем уже только, исходя из каких-то левых соображений, которых нет в сформулированной ранее технологии отличения карандашей от не-карандашей.
Тут всё, длина карандаша потеряла смысл: на практике просто точность измерения перестанет расти, а даже начнёт уменьшаться в этом месте (потому что новые случайные факторы добавляются).

Munin в сообщении #386985 писал(а):

И с точностью до атомных размеров можем, если будем приборы класса СЗМ и интерферометрию использовать. Проблема разве что температуру и вибрацию стабилизировать

Умозрительно можно и до абсолютного нуля заморозить, а начнёшь делать, так сразу сталкиваешься с тем, что ничерта не выходит.

Munin в сообщении #386985 писал(а):

zbl в сообщении #386972 писал(а):

Само что такое карандаш как физобъект определяет некоторый предел точности измерения его длины.Вот эту предельно малую длину, которую, ещё кое-как можно прочувствовать, называют физически бесконечно малой длиной и обозначают дифференциалом.

Не встречал в физике таких фантазий.

На учебник сослаться?
У Сивухина целый параграф про смысл производной и интеграла, и есть ещё очень важный абзац ближе к началу о границе между физикой и математикой.
Лучшего изложения этого места я лично нигде не видел: разжёвано и в рот положено.

Munin в сообщении #386985 писал(а):

И наконец, для справки. Когда рассчитывают движение планет, рассматривают дифференциалы от их положений.

Верно: когда "рассчитывают", используют математику и весь её арсенал.
Прикол, кстати, даже в том, что сами дифуравнения описывают природу криво: там из-за погрешностей измерений по теореме Котельникова всё дискретно и надо было бы разностные уравнения-то писать, а не дифференциальные.
Просто математики и физики разные задачи решают: математикам нужно решить чётко поставленную задачу, а физикам эта чётко поставленная задача сама по себе не нужна, потому что чем она чётче поставлена, тем менее точно она Природе соответствует, а им понять нужно, что там твориться в исследуемой системе.
Знание границы между науками помогает не ошибиться: физикам не сосчитать что-то, что точное, но в данной задаче не нужно, а математикам не начать рассуждать с посылок, верность которых надёжно не установлена.

Munin в сообщении #386985 писал(а):

zbl в сообщении #386972 писал(а):

Я говорю не о том, как называл Лейбниц дифференциал, а о том, как он его понимал: как бесконечно малую константу.Ровно так же дифференциал понимается в физике и тогда, и сейчас.

За физику сейчас - доказательства на стол.

Какого сорта доказательства?
Зайдите в лабораторию к физикам и поспрашивайте, как они работают: например, что у них в формулах за $dx$ обозначено.
На учебник уже сослался выше.

Munin в сообщении #386985 писал(а):

Физикам и $\mathbb{R}$-то много, зачем им ещё $\mathbb{R}^*.$

Это иллюзия, что им рациональных чисел достаточно: абстракции -- это только слова для обозначения общих свойств реальных вещей.
Не вся математика нужна физикам только потому, что математика не только физреальность описывает, а старается любую реальность отражать (максимально точным образом).
Но и физика развивается, расширяя свой предмет: было время, когда казалось, что некоммутативные алгебры не нужны физикам, а поди ж ты -- как в квантовой физике пригодились они.

-- 13 дек 2010 23:20 --

paha в сообщении #387001 писал(а):

симметрическая билинейная форма на касательном пространстве

А не подскажите литературу по симметрическим дифференциальным формам?
А то из Wikipedia, похоже, даже определение их изъяли -- утаить, видно, хотят от общественности, что они существуют-то.

[Munin]

zbl в сообщении #387035 писал(а):

Есть ещё малое по сравнению с чем-то

Не ещё, а только. В физике всё малое - только по сравнению с чем-то. Пренебрежимо малое - это малое по сравнению с тем, с чем мы можем пренебречь. Даже о малости безразмерных величин можно говорить только по сравнению с чем-то.

zbl в сообщении #387035 писал(а):

Модели бывают разные: есть математические, а есть и физические, и даже экспериментальные.

Под словом "модель" принято понимать именно матмодель, кроме довольно узкоспециальных областей, где исследуют обтекание маленькой фиговинки в масштабно уменьшенной аэродинамической трубе. Захотите о них поговорить - оговорим другую терминологию.

zbl в сообщении #387035 писал(а):

В матмодели живёт дифференциал математический; в физике же дифференциал -- это физвеличина (физически бесконечно малая).

Не бывает "в физике". Бывает "в физике в реальности" и "в физике в матмодели". Причём в физике в реальности дифференциалов нет вообще. Там есть амперметры, спектрометры, усилители, ПЗС, и т. п. Ни один из них "дифференциала" не измеряет (разность измерять могут).

zbl в сообщении #387035 писал(а):

Если так рассуждать, то либо позитивизм получится, либо операционализм.

Получится всего лишь изгнание мистики из мозгов. Позитивизм - это немного другое, более сильное (и поэтому ошибочное) заявление, говорящее не о возможном, а об уже достигнутом измерении.

zbl в сообщении #387035 писал(а):

Объект сам по себе без субъекта не существует: яблоко не знает, что оно яблоко.

Это всего лишь значит, что имя объекта без субъекта не существует. А яблоко существует, даже если никто не назвал его яблоком. Это в мистических учениях допустимо воображать, что как только вы глаза закрываете, мир исчезает, а в физике - нет.

zbl в сообщении #387035 писал(а):

Так и тут: выделить карандаш как физобъект -- это значит уметь теперь отличить всё, что не карандаш от карандаша; длина карандаша тогда тоже вещь совершенно конкретная.

Она конкретная не совершенно, а ровно настолько, насколько вы умеете отличать не карандаш от карандаша. И насколько вы продумали дефиницию этого умения. Обычно дефиниции, придуманные априорно, работают довольно хреново, так что их приходится подправлять апостериорно, после фактического исследования карандаша.

zbl в сообщении #387035 писал(а):

Тут всё, длина карандаша потеряла смысл: на практике просто точность измерения перестанет расти, а даже начнёт уменьшаться в этом месте (потому что новые случайные факторы добавляются).

Вымышленная субъективная величина "длина карандаша" потеряла смысл, но реальные длины и реальный карандаш - отнюдь не потеряли. Точность измерения перестанет расти, только если цепляться за плоды собственной глупости и устаревшее переставшее быть адекватным определение. А если захотеть измерять именно то, что есть в реальности, точность можно повышать и повышать. От факторов избавляться - вот это действительно основная и единственная проблема, однако отнюдь не непреодолимая, экспериментаторы это ежедневно делают.

zbl в сообщении #387035 писал(а):

Умозрительно можно и до абсолютного нуля заморозить, а начнёшь делать, так сразу сталкиваешься с тем, что ничерта не выходит.

Ну, при наличии кривых рук ни черта не выходит, но экспериментаторы люди ушлые и целеустремлённые, они из сопли на коленке такое скрутят, что всё выйдет. Зачем нам абсолютный ноль? А до 1 К заморозить карандаш не проблема. Может быть, и до 1 мК, и до 1 мкК можно.

zbl в сообщении #387035 писал(а):

У Сивухина целый параграф про смысл производной и интеграла, и есть ещё очень важный абзац ближе к началу о границе между физикой и математикой.

О, надо будет почитать. Сивухин - не Ландау...

zbl в сообщении #387035 писал(а):

Прикол, кстати, даже в том, что сами дифуравнения описывают природу криво: там из-за погрешностей измерений по теореме Котельникова всё дискретно и надо было бы разностные уравнения-то писать, а не дифференциальные.

Прикол как раз в том, что несмотря на эти проблемы, дифуравнения описывают природу не криво, а прямо. То есть природа подчиняется дифуравнениям лучше, чем мы её можем проверить. Каждый раз, повышая точность измерений и расчётов, мы убеждаемся, что только приблизились к точному аналитическому решению дифуравнения, а не отдалились от него.

zbl в сообщении #387035 писал(а):

Просто математики и физики разные задачи решают... Знание границы между науками помогает не ошибиться...

С этими фразами согласен, а вот раскрыть их вам не удалось...

zbl в сообщении #387035 писал(а):

Какого сорта доказательства?Зайдите в лабораторию к физикам... На учебник уже сослался выше.

Понятно. Сами вы в лабораторию не заходили, а на какой-то отдельный учебник молитесь как на непререкаемую истину.

zbl в сообщении #387035 писал(а):

Это иллюзия, что им рациональных чисел достаточно

А я где-то говорил, что им рациональных чисел достаточно?

[ewert]

Munin в сообщении #387069 писал(а):

А я где-то говорил, что им рациональных чисел достаточно?

Было дело. Поскольку Вы же сказали, что им и вещественных многовато. Или Вы намекали, что физикам важны все эти конструктивистские заморочки?... Не верю.

[Mitrius_Math]

Если не использовать понятие дифференциала, то как же тогда быть с определёнными интегралами? Писать $\int^{b}_{a} f(x) \Delta x $?

[zbl]

Munin в сообщении #387069 писал(а):

В физике всё малое - только по сравнению с чем-то.

Это даже можно усилить до общефилософского: любые свойства объектов познаются лишь в отношениях между ними.
Если согласны с этим, то вот вопрос на засыпку: относительно чего тяготеющие тела искривляют вокруг себя пространство-время? (кривым что-то может же быть лишь по отношению к чему-то прямому).

Munin в сообщении #387069 писал(а):

Не бывает "в физике". Бывает "в физике в реальности" и "в физике в матмодели". Причём в физике в реальности дифференциалов нет вообще.

Вы так физику изничтожите как науку, а психологию какую-нибудь, которая матмоделей не использует, сведёте до уровня описательной дисциплины.
Физика не состоит из одних матмоделей и сравнения их с экспериментом (как в основном представляют в разновидностях позитивизма).
Математика в физике -- только инструмент, а не содержание.

Munin в сообщении #387069 писал(а):

Получится всего лишь изгнание мистики из мозгов.

Вот, пожалуй, ещё Кант предупреждал, что, если изгнать эту "мистику", то мы изгоним и реальность: будем оперировать не отражением реальности, а отражением своего собственного сознания (то бишь, получим как раз мистику в прямом смысле).
"Мистика" (неточность, неформальность) от того только получается в физике, что наше сознание сразу во всей полноте отразить реальность не может.
Не надо изгонять непонятное -- нужно стремиться его понять, хотя до конца никогда не удастся.

Munin в сообщении #387069 писал(а):

zbl в сообщении #387035 писал(а):

Объект сам по себе без субъекта не существует: яблоко не знает, что оно яблоко.

Это всего лишь значит, что имя объекта без субъекта не существует. А яблоко существует, даже если никто не назвал его яблоком.

Но как же проверить тогда, что оно действительно существует?
Верить же на слово нельзя -- не научный подход.

Munin в сообщении #387069 писал(а):

zbl в сообщении #387035 писал(а):

У Сивухина целый параграф про смысл производной и интеграла, и есть ещё очень важный абзац ближе к началу о границе между физикой и математикой.

О, надо будет почитать. Сивухин - не Ландау...

Да и Ландау не надо верить: не существует ни человека, ни учебника который бы был носителем общепринятой точки зрения.
Только мы все вместе и каждый в отдельности являемся носителями общепринятой точки зрения -- элемент коллективного сознания нельзя свести к элементам индивидуального сознания.
Я сослался на учебник, по которому учился сам, только затем, чтобы сказать, что это всё далеко не я придумал.

Munin в сообщении #387069 писал(а):

Каждый раз, повышая точность измерений и расчётов, мы убеждаемся, что только приблизились к точному аналитическому решению дифуравнения, а не отдалились от него.

На самом деле происходит ровно наоборот: достаточно повысив точность, мы убеждаемся наконец, что уравнение мы вообще не то написали, кучу факторов не учли.

Munin в сообщении #387069 писал(а):

zbl в сообщении #387035 писал(а):

Какого сорта доказательства?Зайдите в лабораторию к физикам... На учебник уже сослался выше.

Понятно. Сами вы в лабораторию не заходили, а на какой-то отдельный учебник молитесь как на непререкаемую истину.

Ну зачем так, в разделе для преподов, а не детей? (а я тут на своём месте, ибо 10 лет педстажа).
Как раз из научной физлаборатории и вещаю, между прочим.
Но, опять же, если где-то в другой лаборатории или ВУЗе думают иначе, так это ж прекрасно: есть с чем сравнивать, а сравнение точек зрения их взаимообогащает.

-- 14 дек 2010 00:20 --

Mitrius_Math в сообщении #387097 писал(а):

Если не использовать понятие дифференциала, то как же тогда быть с определёнными интегралами? Писать $\int^{b}_{a} f(x) \Delta x $?

Они уже пишут $\int\omega$ для интегралов от внешних дифформ.
Так, что уже-ужо...
Кстати, знак интеграла тоже Лейбниц придумал.

[Ales]

zbl в сообщении #387035 писал(а):

А не подскажите литературу по симметрическим дифференциальным формам?

Тут имелась в виду просто квадратичная форма, не дифференциальная внешняя форма.

Мне это как раз и не нравится: одинаковые термины и обозначения используются для разных приемов,
возникает непонимание и путаница.

-- Вт дек 14, 2010 00:32:42 --

Mitrius_Math в сообщении #387097 писал(а):

Если не использовать понятие дифференциала, то как же тогда быть с определёнными интегралами? Писать $\int^{b}_{a} f(x) \Delta x $?

Тогда уж так: $\Sigma^{b}_{a} f(x) \Delta x $.

[Munin]

ewert в сообщении #387088 писал(а):

Было дело. Поскольку Вы же сказали, что им и вещественных многовато.

Интересно, вы не знаете никаких множеств чисел, кроме рациональных и вещественных? Не ожидал от вас подобного.

ewert в сообщении #387088 писал(а):

Или Вы намекали, что физикам важны все эти конструктивистские заморочки?... Не верю.

Не важны, но когда их по этим заморочкам спрашивают - у них простая и очевидная позиция. Ни один вольтметр никогда не покажет на индикаторе числа пи со всеми знаками.

Mitrius_Math в сообщении #387097 писал(а):

Если не использовать понятие дифференциала, то как же тогда быть с определёнными интегралами?

Можно пользоваться понятием площади :-)

zbl в сообщении #387114 писал(а):

Я сослался на учебник, по которому учился сам, только затем, чтобы сказать, что это всё далеко не я придумал.

О нет, как оказалось, именно вы это придумали. Посмотрел я Сивухина (1 том 1 главу), и оказалось, что он излагает картину намного более внятную, чем у вас:

Цитата:

Чем меньше $\Delta t,$ тем больше погрешность, с которой мы вычисляем отношение $\frac{\Delta x}{\Delta t}.$
...
Оптимальное значение времени $\Delta t,$ при котором точность вычисления истинной скорости максимальна, определяется конкретными условиями. Малые, но конечные приращения $\Delta x$ и $\Delta t,$ отношение которых с достаточной точностью аппроксимирует производную $\dot{x},$ физик называет бесконечно малым или, полнее, физически бесконечно малыми величинами.

Отсюда видно, что "бесконечно малой величиной" (по Сивухину) называется не "предельно малая длина, которую, ещё кое-как можно прочувствовать", а как раз наоборот, достаточно большая длина, чтобы не возникало ухудшения точности из-за её уменьшения.

Таким образом, ту бессвязицу, которую вы нагородили, именно вы придумали. Сваливать её на других нехорошо.

zbl в сообщении #387114 писал(а):

Если согласны с этим, то вот вопрос на засыпку: относительно чего тяготеющие тела искривляют вокруг себя пространство-время? (кривым что-то может же быть лишь по отношению к чему-то прямому).

Ответ на засыпку: кривым что-то может быть абсолютно, а не по отношению к чему-то прямому. Это изучают в разделе дифференциальной геометрии, который называется "внутренняя дифференциальная геометрия", в отличие от "внешней".

В теории тяготения можно ввести плоский фон, относительно которого искривлено пространство-время, но этот фон в ОТО оказывается ненаблюдаемым, как калибровка.

zbl в сообщении #387114 писал(а):

Физика не состоит из одних матмоделей и сравнения их с экспериментом (как в основном представляют в разновидностях позитивизма).

Если бы вы назвали, из чего ещё, это звучало бы более веско.

zbl в сообщении #387114 писал(а):

Математика в физике -- только инструмент, а не содержание.

Так сплеча именно вы уничтожите физику как науку, объявляя математическое описание бессодержательным. К счастью, к такому мнению с начала 20 века не прислушиваются.

zbl в сообщении #387114 писал(а):

Вот, пожалуй, ещё Кант предупреждал, что, если изгнать эту "мистику", то мы изгоним и реальность

Мало ли какие глупости были выдуманы Кантом или кем-нибудь ещё. Мистика действует отравляюще на мышление, а если её изгнать, реальность вполне остаётся, что было неоднократно проверено.

zbl в сообщении #387114 писал(а):

"Мистика" (неточность, неформальность)

Ну нет. Не ведите себя как форменный демагог, не подменяйте понятий. Мистика - это одно, неточность - совсем другое, неформальность - третье. Неточность и неформальность занимают в физике своё законное место. Отнюдь не главное, надо сказать.

zbl в сообщении #387114 писал(а):

Но как же проверить тогда, что оно действительно существует?Верить же на слово нельзя -- не научный подход.

По последствиям. Например, можно включить киноаппарат, и закрыть глаза. Вы открываете глаза, и просматриваете отснятую плёнку - яблоко есть.

zbl в сообщении #387114 писал(а):

На самом деле происходит ровно наоборот: достаточно повысив точность, мы убеждаемся наконец, что уравнение мы вообще не то написали, кучу факторов не учли.

Да, переход от одного уравнения к другому происходит. Но внимание: не происходит перехода от дифуравнения к чему-то другому. Новое описание снова является дифуравнением с тем же дифференцированием по действительно-числовым параметрам.

zbl в сообщении #387114 писал(а):

Ну зачем так, в разделе для преподов, а не детей?

Погорячился, приношу извинения.

[paha]

zbl в сообщении #387035 писал(а):

paha в сообщении #387001 писал(а):
симметрическая билинейная форма на касательном пространстве

А не подскажите литературу по симметрическим дифференциальным формам?

я говорил про билинейную форму на конкретном касательном пространстве -- это не дифференциальная форма:)) Хотя есть и такие: метрический тензор называется

а литературы -- море, от брошюры Ефимов Н.В, Введение в теорию внешних форм, 1977 (не читал, но пролистывал) до Гриффитс Ф., Внешние дифференциальные формы и вариационное исчисление, 1986

[ewert]

Munin в сообщении #387179 писал(а):

Можно пользоваться понятием площади

Нельзя. В порядке эксперимента -- посчитайте работу в квадратных апельсинах, и посмотрите, что из этого выйдет.

Munin в сообщении #387179 писал(а):

Интересно, вы не знаете никаких множеств чисел, кроме рациональных и вещественных? Не ожидал от вас подобного.

Как физик (а я иногда хоть чуть-чуть, но физик) -- нет, не знаю. Для меня в таких случаях важно одно -- чтоб та или иная конструкция мышей ловила. Рациональная -- не ловит. Вещественная -- ловит. Остальные -- делают вид.

Munin в сообщении #387179 писал(а):

Не важны, но когда их по этим заморочкам спрашивают - у них простая и очевидная позиция.

Вот именно. Вот ровно такая, как сказано выше.

[Munin]

ewert в сообщении #387224 писал(а):

Нельзя.

Провокация удалась.

ewert в сообщении #387224 писал(а):

Как физик (а я иногда хоть чуть-чуть, но физик) -- нет, не знаю. Для меня в таких случаях важно одно -- чтоб та или иная конструкция мышей ловила. Рациональная -- не ловит. Вещественная -- ловит. Остальные -- делают вид.

К такой формулировке претензий нет.

[paha]

zbl в сообщении #387035 писал(а):

А не подскажите литературу по симметрическим дифференциальным формам?

я заглянул в АКартана... и мне вспомнилась моя давняя мечта... которую я пытался воплотить на третий (sic!) год преподавания, да и еще на неподходящем потоке...

уже начал переводить в буквы... вот начало под оффтопом

(Оффтоп)

\section{Производные отображений аффинных пространств}
Пусть $A$ и $B$ -- аффинные пространства с ассоциированными {\it нормированными} пространствами $V$ и $W$.

Отображение $f:A\to B$ называется {\it дифференцируемым} в точке $a\in A$, если найдется такое линейное отображение $G(a,f):V\to W$, зависящее от $a$ и $f$, что

$$ \|f(a+v)-f(a)-Gv\|_W=o(\|v\|_V). $$

Нетрудно видеть, что такое отображение {\it единственно}, что видно из оценки

$$ \|(G-H)(v)\|_W\le \|f(a+v)-f(a)-Gv\|_W+\|f(a+v)-f(a)-Hv\|_W. $$

Если $f$ имеет производную во всех точках $a\in A$, то
{\it производным отображением} для $f$ мы называем отображение $\tau f: A\to {\rm End}(V,W)$, определяемое формулой\footnote{если множеством значений отображения $Map:X\to Y$ является функциональное пространство $Y\subset {\rm Fun}(Z,T)$, мы пользуемся следующим соглашением для обозначений: $Map_x[z]\in T$} $\tau f_a[v]=G(a,f)v$.

Второе производное отображение для $f:A\to B$ -- это отображение

$$ \tau^2f:A\to {\rm End}(V,{\rm End}(V,W))\simeq {\rm End}(V\times V,W) $$

(здесь использована каноническая структура аффинного пространства на векторном).

[zbl]

Munin в сообщении #387179 писал(а):

zbl в сообщении #387114 писал(а):

Я сослался на учебник, по которому учился сам, только затем, чтобы сказать, что это всё далеко не я придумал.

О нет, как оказалось, именно вы это придумали. Посмотрел я Сивухина (1 том 1 главу), и оказалось, что он излагает картину намного более внятную, чем у вас:

Цитата:

Чем меньше $\Delta t,$ тем больше погрешность, с которой мы вычисляем отношение $\frac{\Delta x}{\Delta t}.$
...
Оптимальное значение времени $\Delta t,$ при котором точность вычисления истинной скорости максимальна, определяется конкретными условиями. Малые, но конечные приращения $\Delta x$ и $\Delta t,$ отношение которых с достаточной точностью аппроксимирует производную $\dot{x},$ физик называет бесконечно малым или, полнее, физически бесконечно малыми величинами.

Отсюда видно, что "бесконечно малой величиной" (по Сивухину) называется не "предельно малая длина, которую, ещё кое-как можно прочувствовать", а как раз наоборот, достаточно большая длина, чтобы не возникало ухудшения точности из-за её уменьшения.

Таким образом, ту бессвязицу, которую вы нагородили, именно вы придумали. Сваливать её на других нехорошо.

Думаете, Ваше прочтение учебника другим покажется не таким же бессвязным?
Цитата верная: "Оптимальное значение времени $\Delta t,$ при котором точность вычисления истинной скорости максимальна, определяется конкретными условиями." -- тем, что именно движется, определяется предельная точность измерения времени.
Проводить измерения времени с большей точностью для данной системы бессмысленно -- время с большей точностью для неё не существует как физвеличина.
Вот это предельно малое время, которое ещё как-то можно измерять, обозначают через $dt$.

Ну, я не знаю, возьмите поверхностное натяжение, что ли.
Жидкость ж испаряется -- с любой точностью никак не измеришь, какой точный датчик не возьми.
А заморозить нельзя: изучается именно эта жидкость, именно при этих температуре и давлении, именно так испарающаяся.
И с любой физвеличиной так будет: всегда существует предел точности её измерения, природой исследуемой системы определяемый.

Munin в сообщении #387179 писал(а):

Ответ на засыпку: кривым что-то может быть абсолютно, а не по отношению к чему-то прямому.

Ясно.
Не могу эту тему продолжить, так как она к дифференциалам не имеет отношения, да и лень.

Munin в сообщении #387179 писал(а):

В теории тяготения можно ввести плоский фон, относительно которого искривлено пространство-время, но этот фон в ОТО оказывается ненаблюдаемым, как калибровка.

Вот Логунов говорил, что таки наблюдаемо, но я не интересовался его обоснованиями этого...
Тоже уже очень далеко мы от дифференциалов-то уехали.

Munin в сообщении #387179 писал(а):

zbl в сообщении #387114 писал(а):

Физика не состоит из одних матмоделей и сравнения их с экспериментом (как в основном представляют в разновидностях позитивизма).

Если бы вы назвали, из чего ещё, это звучало бы более веско.

Нужно открывать ветку "Что такое модель и моделирование?".
Если время найду, поучаствую обязательно.
Я выше привёл контрпример: вот в психологии какой-нибудь матмоделей пока нет совсем -- что ж теперь она лишь описательная дисциплина что ли? (как натуралистика по сравнению с биологией, в которой, кстати, тоже с матмоделями туговато).

Munin в сообщении #387179 писал(а):

zbl в сообщении #387114 писал(а):

Математика в физике -- только инструмент, а не содержание.

Так сплеча именно вы уничтожите физику как науку, объявляя математическое описание бессодержательным. К счастью, к такому мнению с начала 20 века не прислушиваются.

Отчего ж бессодержательно описание? -- куда бы оно было тогда нужно?
Описание должно быть максимально точным.
Физику лишь интересует в основном не способ описания, а то, что описывается.
В самых общих словах тут вот какая проблема: сознание отражает реальность, но оно само есть кусок реальности и может отражать и само себя; тогда возникает проблема уметь отличать те образы сознания, которые отражают реальность от тех, что отражают лишь способ описания той реальности -- эх, и велика проблема эта, между прочим...

Munin в сообщении #387179 писал(а):

Мистика - это одно, неточность - совсем другое, неформальность - третье.

Если мы возьмём определение мистики из словаря, то и Ваши, и мои слова совсем потеряют смысл.
Физики раздражают математиков тем, что рассуждают очень не строго и используют понятия, которые сами редко умеют даже сформулировать, куда уж там определить.
Я то хотел сказать, что физики иначе не могут делать по простой причине.

Munin в сообщении #387179 писал(а):

zbl в сообщении #387114 писал(а):

Но как же проверить тогда, что оно действительно существует?Верить же на слово нельзя -- не научный подход.

По последствиям. Например, можно включить киноаппарат, и закрыть глаза. Вы открываете глаза, и просматриваете отснятую плёнку - яблоко есть.

Да и плёнку не надо использовать: в глаза ж тоже свет не мгновенно попадает.
"Последствия" и есть измерения; органами чувств они проведены или приборами -- большой разницы нет.
Тут есть кусок реальности, который мы в во всей его полноте никак не можем познать.
Мы можем лишь пощупать его, схватывая отдельные его свойства.
Как только мы навострились его пощупать, так появился объект познания, а уж назвать ли его яблоком или трансцедентальной аперцепцией -- это дело десятое.
До тех пор, пока мы не навострились, объекта познания не существовало, но кусок реальности -- был.
Некоторые понятия относятся только к куску реальности, а некоторые -- только к объекту познания.
Конечно, мы можем выбрать объект как хотим, но, раз выбрав его, уже весь произвол сразу теряем.

Munin в сообщении #387179 писал(а):

Новое описание снова является дифуравнением с тем же дифференцированием по действительно-числовым параметрам.

Ой, да нет же.
Ну, уменьшайте мысленно размер системы, повышая точность измерения длины: на атомном уровне все классические дифуры улетучатся как дым.
Они ещё много раньше улетучатся: там мезоскопическая физика такая есть (совсем не разработанная, правда, наука такая).

Munin в сообщении #387179 писал(а):

zbl в сообщении #387114 писал(а):

Ну зачем так, в разделе для преподов, а не детей?

Погорячился, приношу извинения.

Принято.
Я тоже больно нежный стал.

-- 15 дек 2010 23:51 --

paha в сообщении #387195 писал(а):

zbl в сообщении #387035 писал(а):

paha в сообщении #387001 писал(а):
симметрическая билинейная форма на касательном пространстве

А не подскажите литературу по симметрическим дифференциальным формам?

я говорил про билинейную форму на конкретном касательном пространстве -- это не дифференциальная форма:)) Хотя есть и такие: метрический тензор называется

Я понял, что не про дифформы была речь, а спросил именно про дифформы типа метрического тензора.

paha в сообщении #387195 писал(а):

а литературы -- море

Вот и тонем, когда надо мелочь какую-нибудь найти.

-- 16 дек 2010 00:07 --

paha в сообщении #387451 писал(а):

уже начал переводить в буквы... вот начало под оффтопом

А чё оффтопом-то?
Это ближе к теме, чем дифференциал в физике.
Правда, мы так тут, похоже, и не определились: существенная разница между дифференциалом и производной есть или нет? дифференциал нужен или не нужен и какой (внешний или абсолютный)?
Научным работникам принцип Чингачгука, может, и подходит, но для преподов он не приемлем.