Что такое дифференциал?

[indonata]

Lia в сообщении #1014239 писал(а):

indonata
В теме нет студентов. Это обсуждение, в основном, профессиональных математиков и/или преподавателей о востребованности понятия.

Просьба в будущем воздержаться от вторжения в архивные темы без осознания истинного предмета и нюансов их обсуждения.

Уважаемый модератор, я закончила мат-мех СПбГУ, и прекрасно осознаю "истинный предмет и нюансы обсуждения".
В посте топикстартера был конкретный вопрос - как решаются 2 задачи и корректно ли они поставлены. Я в своем посте ответила, что они поставлены корректно и решаются абсолютно элементарно.

Надеюсь, в ваших глазах это повысит ценность моего ответа.

[kp9r4d]

Я как тупой студент, не закончивший мат-мех, а уж тем более СпбГУ, отпишусь в подобной теме уже $n$-ый раз. Из всех подобных тем я для себя вынес одно: дифференциал - это такая буковка $d$, что $dy= y'dx$ тогда, когда это имеет смысл (что такое второй дифференциал - понимаю хуже). А если серьезно, то не являются ли такое множество тем показателем того, что понятие дифференциала формализовано крайне неудачно? Ведь даже в современных учебниках по анализу дифференциал под интегралом вводят просто как часть символа интеграла, можно вспомнить про дифференциальные формы, но там вообще второй дифференциал тождественно ноль, а он-то не ноль. Плохо всё у меня, в общем.

[indonata]

kp9r4d в сообщении #1014251 писал(а):

Я как тупой студент, не закончивший мат-мех, а уж тем более СпбГУ, отпишусь в подобной теме уже $n$-ый раз. Из всех подобных тем я для себя вынес одно: дифференциал - это такая буковка $d$, что $dy= y'dx$ тогда, когда это имеет смысл (что такое второй дифференциал - понимаю хуже). А если серьезно, то не являются ли такое множество тем показателем того, что понятие дифференциала формализовано крайне неудачно? Плохо всё у меня, в общем.

Ну я могу сказать, что эта проблема закономерна, многие на мат-мехе после курса анализа не могут ответить что такое дифференциал. Я считаю, что проблема формализации есть, и ноги растут с самых простых вещей. Например, в российской литературе, на уроках и везде, операцию взятие производной именуют дифференцированием, внося в головы несчастных путаницу. Это две разные операции, взятие производной и взятие дифференциала, и ,к примеру, во французской литературе этим операциям соответствуют разные термины: derivation и differentiation. Начинать стоит хотя-бы с этого, устранить эту путаницу.

В итоге у студентов складывается впечатление, что это все где-то там промежду, и примерно одно: производная и дифференциал.

Второе, что мне кажется затруднительным (по своему опыту) - это наличие 3 разных систем обозначений (Лейбниц, Лагранж, Коши) одного и того же понятия. Да, я думаю, это не последнюю роль играет в проблемах восприятия дифференциального исчисления.

И для того, чтобы все хорошо понять, мне кажется нужно начать с функции одной переменной, понять, что и производная и дифференциал - это равноправные самостоятельные функции; дифференциал - это функция от приращения аргумента нашей исходной функции, это, если хотите, приближение нашей какой-то непонятной кривой функции линейной функцией (если таковое существует), а производная - это пресловутая "скорость изменения" нашей исходной функции.

P.S. часто сама история установления понятия помогает разобраться. Сейчас принято учить, что производная стоит во главе угла, это базовое понятие, отталкиваясь от которого обычно выводят и понятие дифференциала. Но для того же Лейбница наоборот, понятие дифференциала было основным. Стоит просто прочитать определение производной и определение дифференциала, и уяснить, что они не определяются "друг через друга", что однако не отменяет существования взаимной связи этих понятий (что известной формулой и выражается).

[g______d]

kp9r4d в сообщении #1014251 писал(а):

можно вспомнить про дифференциальные формы, но там вообще второй дифференциал тождественно ноль, а он-то не ноль. Плохо всё у меня, в общем.

Да нет, всё там в порядке. Я уже несколько раз про это писал в разных темах, но конкретно в этой это уже написано.

paha в сообщении #386783 писал(а):

Стыкуется. Просто надо всё делать аккуратно. Если $f:M\to\mathbb{R}$ -- функция, то $df:TM\to\mathbb{R}$. Модуль над $C^\infty(M)$ $Hom(TM,\mathbb{R})$ канонически изоморфен модулю сечений $\Gamma(T^*M)=\{M\to T^*M\}$ кокасательного расслоения.
На сечениях кососимметрических степеней $\wedge^n(T^*M)$ этого расслоения определяется новая операция $d:\wedge^n(T^*M)\to \wedge^{n+1}(T^*M)$, квадрат которой нулевой (и, конечно, $\wedge^0(T^*M)$=основная алгебра $C^{\infty}(M)$).

Но никто не мешает вычислять $d(df):T(TM)\to\mathbb{R}$ руками как

$$ d(df)Z=\frac{\partial^2}{\partial t \partial s}\right|f(\gamma(s,t)), $$

где $Z=(\gamma,\partial\gamma/\partial s$ -- поле вдоль кривой (элемент $T(TM)$)

-- Вт, 12 май 2015 17:33:20 --

indonata в сообщении #1014258 писал(а):

многие на мат-мехе после курса анализа не могут ответить что такое дифференциал

Потому что, действительно, не на всех потоках мат-меха учат, что в современной математике определение дифференциала уже лет 70 как зафиксировано, оно одно и абсолютно конкретное. А разночтения возникают только в курсах для будущих инженеров или программистов, которым боятся произносить слова "многообразие", "касательный вектор", "векторное поле", "касательное отображение", и т. п.

-- Вт, 12 май 2015 17:39:58 --

kp9r4d в сообщении #1014251 писал(а):

А если серьезно, то не являются ли такое множество тем показателем того, что понятие дифференциала формализовано крайне неудачно?

По-моему, вполне удачно. Ну т. е. может показаться, что определений два: внешний дифференциал $p$-формы или дифференциал отображения многообразий как отображение между касательными пространствами. Но если применить оба определения к функции $f\colon M\to \mathbb R$, то они в точности совпадут, даже на формальном уровне:

$df$ в смысле форм -- это $1$-форма, которая является (в каждой точке) функционалом на касательных векторах, т. е. отображением, которое сопоставляет касательному вектору к $M$ число.

$df$ в смысле касательного отображения -- это нечто, что сопоставляет касательному вектору к $M$ элемент касательного пространства к $\mathbb R$. Ну хорошо, нужно ещё отождествить $\mathbb R$ со своим касательным, но это делается канонически.

[Brukvalub]

В ответе g______d все плохо хорошо, но одно плохо: дифференциал является и должен быть одним из первичных, предметно-образующих понятий мат.анализа, поэтому он должен излагаться и быть понятным тем, кто только начинает учить мат.анализ. А g______d вслед за paha предлагает определять дифференциал в таких терминах, которые требуют солидной предварительной подготовки: нужны гладкие многообразия, касательные пространства, теория категорий, градуированные алгебры, кососимметрические тензорные поля, внешнее дифференцирование и еще пол-математики. Более того, нужно как-то вывернуться и определить гладкость многих используемых объектов заранее, ничего не говоря при этом о дифференциале, то есть иметь гибкость спины просто необычайную...!
"Эдак и я могу! А что тебе сыграть? Мурку!" А как же тебе определить дифференциал? Так, чтобы и строгость соблюсти, и чтобы несмышленыш первокур все понял!
Не зря известный специалист-педагог кафедры мат.анализа мехмата МГУ Ирина Андреевна Виноградова нередко говорит (шутя), что про первый дифференциал правильно знает не более половины студентов-второкурсников, а второй дифференциал - вещь настолько загадочная, что про него не все знают и некоторые преподы.

[Xaositect]

Для первого курса это все надо определять для функций $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, там все проще. Нужную линейную алгебру они уже к тому времени должны знать. Кстати, по-моему, получается значительно более прозрачно: по сути это то же самое, что сейчас, но различие пространств не дает запутаться
1. Для каждой точки $x_0$ можно определить касательное линейное пространство $T_{x_0}$ (для того, чтобы не путать людей словом "касательное", можно назвать его пространством приращений): это пространство состоит из направленных отрезков с началом в $x_0$, с очевидным сложением и умножением. Элементы этого пространства можно задавать действительными числами: вектору $\vec{x_0x}$ соответствует число $x - x_0$. Интуитивно - это возможные приращения величины, имеющей значение $x_0$.
2. Любая функция $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, которая переводит точку $x_0$ в точку $y_0$, порождает также функцию, отображающую приращения из $T_{x_0}$ в приращения из $T_{y_0}$: Обозначим ее $\Delta f$: в числах $\Delta f{(x - x_0) = y - y_0$. Именно эта функция интересна нам, если нам не важны конкретные значения $x_0$ и $y_0$, а только то, как функция себя в этой точке ведет: возрастает она или убывает, и с какой скоростью. В терминах графика функции это соответствует переносу начала координат в $(x_0, y_0)$.
3. Если функция $\Delta f$ для малых значений $x - x_0$ ведет себя почти линейно, то есть существует линейное отображение $df: T_{x_0}\to T_{y_0}$ такое, что $\Delta f(x - x_0) - df(x - x_0) = o(x - x_0)$, то функция называется дифференцируемой, а $df$ - ее дифференциалом.

Можно сразу же это все определить для $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$, на самом деле.

[Pphantom]

Brukvalub в сообщении #1014300 писал(а):

В ответе g______d все плохо хорошо, но одно плохо: дифференциал является и должен быть одним из первичных, предметно-образующих понятий мат.анализа, поэтому он должен излагаться и быть понятным тем, кто только начинает учить мат.анализ. А g______d вслед за paha предлагает определять дифференциал в таких терминах, которые требуют солидной предварительной подготовки: нужны гладкие многообразия, касательные пространства, теория категорий, градуированные алгебры, кососимметрические тензорные поля, внешнее дифференцирование и еще пол-математики.

Более того, очень многим, кому нужно понятие дифференциала, все или почти все перечисленное далее вообще не нужно, поэтому введение понятия дифференциала таким образом откровенно вредно.

[g______d]

Pphantom в сообщении #1014352 писал(а):

введение понятия дифференциала таким образом откровенно вредно

Можно вводить как Xaositect. Это является частным случаем общего определения.

Я вообще не собирался здесь кого-то учить как что преподавать. Я просто обратил внимание на то, что исчерпывающий ответ на вопрос "что такое дифференциал" однозначно даётся в курсе дифференциальной геометрии, и призывал по возможности не игнорировать этот факт.

Pphantom в сообщении #1014352 писал(а):

очень многим, кому нужно понятие дифференциала, все или почти все перечисленное далее вообще не нужно

Им и строгое определение обычно не нужно.

Brukvalub в сообщении #1014300 писал(а):

дифференциал является и должен быть одним из первичных, предметно-образующих понятий мат.анализа

Рудин как-то без него обходится, и курс у него замечательный. Существует довольно много других хороших курсов, в которых тоже обходятся без него. Узнать о дифференциалах на 2 курсе не смертельно.

[Munin]

indonata в сообщении #1014236 писал(а):

Поэтому нагло предлагаю мои ответы.
Задача 2): "Чему равно $dx^3$, если $x=1$, $dx=2$ ?". Мой ответ: 6

Господа, кто-нибудь объяснит мне, как здесь получилось 6?

-- 13.05.2015 16:56:04 --

indonata в сообщении #1014258 писал(а):

Второе, что мне кажется затруднительным (по своему опыту) - это наличие 3 разных систем обозначений (Лейбниц, Лагранж, Коши) одного и того же понятия.

Нельзя ли ссылочку? (Мне были известны 2 системы обозначений, и другого авторства.)

-- 13.05.2015 17:06:15 --

g______d в сообщении #1014264 писал(а):

Потому что, действительно, не на всех потоках мат-меха учат, что в современной математике определение дифференциала уже лет 70 как зафиксировано, оно одно и абсолютно конкретное. А разночтения возникают только в курсах для будущих инженеров или программистов, которым боятся произносить слова "многообразие", "касательный вектор", "векторное поле", "касательное отображение", и т. п.

Всё бы хорошо, но как быть бедным несчастным физикам, которым на каждом шагу приходится пользоваться такими вещами, как $dV,dm,dq,$ которые в это одно определение не вписывается? Можно не бояться произносить "векторное поле", но как это поможет с пониманием формулы $L=\dfrac{d^2\Phi}{d\Omega\,dA\cos\theta},$ $dS=\delta Q/T$ или например, объяснит, почему иногда пишут $dV,$ а иногда $d^3V$?

Не надо делать вид, что всё хорошо. Если вы расчистили от буераков себе полянку, это значит всего лишь, что вы перенесли проблемы в другое место.

-- 13.05.2015 17:09:49 --

Xaositect в сообщении #1014311 писал(а):

В терминах графика функции это соответствует переносу начала координат в $(x_0, y_0)$.

Вот это неудачный пункт: он верен, но как раз приводит к путанице между пространствами. В физике (и в геометрии) учат, что пространству всё равно, где и как в нём задана система координат. А здесь вы переносите начало координат, и тем самым переходите к другому пространству (касательному = приращений). Некрасиво.

[Brukvalub]

g______d в сообщении #1014370 писал(а):

Рудин как-то без него обходится, и курс у него замечательный.

Вы невнимательно читали замечательный курс Рудина. Открываем русский перевод курса Рудина 1966 г. и находим на стр. 227, последняя строка: ...называют полной производной отображения $f$ в точке $x$, или дифференциалом отображения $f$ в точке $x$.

[kp9r4d]

Munin в сообщении #1014471 писал(а):

Всё бы хорошо, но как быть бедным несчастным физикам, которым на каждом шагу приходится пользоваться такими вещами, как $dV,dm,dq,$ которые в это одно определение не вписывается? Можно не бояться произносить "векторное поле", но как это поможет с пониманием формулы $L=\dfrac{d^2\Phi}{d\Omega\,dA\cos\theta},$ $dS=\delta Q/T$ или например, объяснит, почему иногда пишут $dV,$ а иногда $d^3V$?

Ну так физики-то и не особо заморачиваются строгими определениями и аксиоматическим методом, в частности я не видел учебника общей физики (хотя, признаюсь честно, просмотрел оных довольно мало) где штуки вроде, например, "объема" вводились бы в терминах меры. Это ни к тому, что физики нехорошие, а к тому что методология другая, и странно как-то претензии к определению предъявлять лишь на почве того, что физики иногда что-то по-другому пишут.
Brukvalub
В курсе Дьедонне, вроде, нету дифференциалов. Ну, тобишь, дифференциалы-то есть, как отображение, ставящее каждой точки области определения функции некоторый линейный оператор действующий из области определения в область значений, но нету нотации Лейбница позволяющей писать равенства вроде $\frac{df}{dx} dx = df$. Даже в случае одной переменной. Хотя то не совсем и курс.

[Munin]

kp9r4d в сообщении #1014503 писал(а):

Это ни к тому, что физики нехорошие, а к тому что методология другая, и странно как-то претензии к определению предъявлять лишь на почве того, что физики иногда что-то по-другому пишут.

Нет, вопрос в том, что то, что физики пишут, - в терминах этого определения вообще никак не интерпретируется.

[g______d]

Brukvalub в сообщении #1014482 писал(а):

Вы невнимательно читали замечательный курс Рудина. Открываем русский перевод курса Рудина 1966 г. и находим на стр. 227, последняя строка: ...называют полной производной отображения $f$ в точке $x$, или дифференциалом отображения $f$ в точке $x$.

Ну так у него сразу "правильное" определение, в смысле касательного отображения/матрицы Якоби (этих слов он в тот момент не произносит, поскольку отождествляет $\mathbb R^m$ со своим касательным). Не очень вяжется с

Brukvalub в сообщении #1014300 писал(а):

дифференциал является и должен быть одним из первичных, предметно-образующих понятий мат.анализа, поэтому он должен излагаться и быть понятным тем, кто только начинает учить мат.анализ

[upgrade]

Munin в сообщении #1014471 писал(а):

indonata в сообщении #1014236 писал(а):

Поэтому нагло предлагаю мои ответы.
Задача 2): "Чему равно $dx^3$, если $x=1$, $dx=2$ ?". Мой ответ: 6

Господа, кто-нибудь объяснит мне, как здесь получилось 6?

предполагаю, что так:
$dx^3=dx\cdot dx\cdot dx=2\cdot 2\cdot 2=8$

[g______d]

Munin в сообщении #1014471 писал(а):

почему иногда пишут $dV,$ а иногда $d^3V$?

Математики тоже иногда так пишут, понимая под этим форму объёма (и сказав об этом в начале текста).

Munin в сообщении #1014471 писал(а):

как это поможет с пониманием формулы $L=\dfrac{d^2\Phi}{d\Omega\,dA\cos\theta},$ $dS=\delta Q/T$

Физики в своих курсах довольно долго объясняют, что эти формулы значат. Математики делают точно так же: когда вводят новое обозначение (например, $\delta Q$), объясняют его определение. Пониманию написанных вами формул не сильно поможет представление о дифференциале только как о малом приращении, потому что нужно объяснять, что можно делать с этими формулами, а что нельзя.

А вообще, мне казалось, что классическая термодинамика была переведена на язык дифференциальных форм. Вот, например. Но я не знаю, какой канонический источник.

-- Ср, 13 май 2015 09:04:06 --

Munin в сообщении #1014471 писал(а):

Господа, кто-нибудь объяснит мне, как здесь получилось 6?

$d(x^3)=3x^2 dx$, а потом формальная подстановка цифр из условия задачи.