Что такое дифференциал?

[Ales]

Мне кажется, что дифференциал надо рассматривать вкупе с интегралом: $\int dx=\Delta x$
И полезно знать внешние формы - именно там эта операция (взятие дифференциала) рулит.

[ewert]

Ales в сообщении #375110 писал(а):

Мне кажется, что дифференциал надо рассматривать вкупе с интегралом: И полезно знать внешние формы

Бесполезно абсолютно.

[Ales]

ewert в сообщении #375247 писал(а):

Ales в сообщении #375110 писал(а):

Мне кажется, что дифференциал надо рассматривать вкупе с интегралом: И полезно знать внешние формы

Бесполезно абсолютно.

Почему же? Как раз внешние формы это ловкий инструмент, который позволяет привыкнуть к использованию оператора $d$.

[ewert]

Ales в сообщении #375251 писал(а):

Как раз внешние формы это ловкий инструмент,

Он, может, и ловкий, но абсолютно бесполезен для понимания дифференциала как такового. Поскольку второе -- гораздо более грубый математический факт, чем первое.

(Оффтоп)

(да чего ж это постоянно всё дублируется-то, чего ж постоянно-то всё тормозит...)

[zbl]

Padawan в сообщении #361674 писал(а):

$df\operatorname{=}\limits^{\text{опр}}f'\Delta x$

Неверно.
Правильно будет так:
$df\stackrel{\text{\tiny def}}{=}f'dx$

Щас у некоторых будет взрыв мозга -- предупреждаю.

Cо вторым дифференциалом тоже не всё так просто.
$\frac{d^2f}{dx^2}$ -- не просто так тут $dx^2$.
Дифференцируем предыдущее:
$ddf=f''dxdx+f'ddx$
Так вот $d^2x$ в данном случае равен нулю (в отличие от $d^2f$).
Нулю равен $d^2x$ тут потому, что $x$ -- тут независимая переменная; дифференциал независимой переменной есть константа, а дифференциал константы равен нулю.
Но, если $x$ зависит, скажем, от $t$, то уже будет совсем иначе:
$d^2f=f''dx^2+f'd^2x$, так как $x$ теперь зависимая переменная и дифференциал её уже не константа и второй дифференциал нулю не равен.
Говорят, что вид первого дифференциала не зависит от того, независимы или зависимы переменные, а вид высших дифференциалов от того зависит (в $df=f'dx$ не важно, зависит или нет $x$ от какого-нибудь $t$).

Всё выше перечисленное -- лишь пересказ учебника по матанализу.
Лишь, тот учебник... хмм... уже слегка староват в 21-м веке будет...

Понятие дифференциала нуждается в понятии величины.
Если мы функцией называем отображение, а не зависимую величину (как математики называли функцию ещё сравнительно недавно), то и дифференциал -- это отображение (а, если на древне-математическом языке, то дифференциал функции -- это функция дифференциала независимого переменного).
В 21-м веке проще всего считать (как, в общем-то, и принято делать), что $dx$ -- это линейный функционал на касательном пространстве.
Проблемы возникают, когда мы интуитивно обозначаем через $dx$ не сам этот функционал, а его значение (число) на касательном векторе, а тот вектор не фиксируем.
Тогда мы этим неявно возвращаемся к старым-добрым переменным свободным и зависимым, и тогда нужно иметь ввиду вышесказанный вынос мозга.

А есть дифференциал в физике, а не дифференциал в математике.
Это, ну, совершенно другая вещь -- ничего общего не прослеживается.
Опять же, в хороших учебниках по общей физике про это всё говорится.
В моём рейтинге учебников по данной теме лидирует Сивухин -- очень ясное изложение у него именно подобных вещей.
Физики дифференциалом называют физически бесконечно малое приращение.
Говорить, что физики конечное приращение дифференциалом называют неправильно: именно физически бесконечно малое.

[ewert]

zbl в сообщении #386733 писал(а):

В 21-м веке проще всего считать (как, в общем-то, и принято делать), что $dx$ -- это линейный функционал на касательном пространстве.

Ну тогда уж не функционал, а оператор. Но тогда понятия "дифференциал" и "производная" попросту дублируют друг друга, а зачем -- непонятно.

[Ales]

zbl в сообщении #386733 писал(а):

Cо вторым дифференциалом тоже не всё так просто.

А если вспомнить, что для внешнего дифференцирования всегда $ddf =0$?
Второй дифференциал не стыкуется с современной математикой.

[paha]

Ales в сообщении #386777 писал(а):

А если вспомнить, что для внешнего дифференцирования всегда $ddf =0$?
Второй дифференциал не стыкуется с современной математикой.

Стыкуется. Просто надо всё делать аккуратно. Если $f:M\to\mathbb{R}$ -- функция, то $df:TM\to\mathbb{R}$. Модуль над $C^\infty(M)$ $Hom(TM,\mathbb{R})$ канонически изоморфен модулю сечений $\Gamma(T^*M)=\{M\to T^*M\}$ кокасательного расслоения.
На сечениях кососимметрических степеней $\wedge^n(T^*M)$ этого расслоения определяется новая операция $d:\wedge^n(T^*M)\to \wedge^{n+1}(T^*M)$, квадрат которой нулевой (и, конечно, $\wedge^0(T^*M)$=основная алгебра $C^{\infty}(M)$).

Но никто не мешает вычислять $d(df):T(TM)\to\mathbb{R}$ руками как

$$ d(df)Z=\frac{\partial^2}{\partial t \partial s}\right|f(\gamma(s,t)), $$

где $Z=(\gamma,\partial\gamma/\partial s$ -- поле вдоль кривой (элемент $T(TM)$)

[Ales]

paha в сообщении #386783 писал(а):

Стыкуется.

Нет, все равно не хорошо.
Тем более, что от второго дифференциала никакого толку, а дифференциальные формы наоборот очень полезны.
Такая математика только путает и усложняет простое, вместо того чтобы прояснять сложное.

[ewert]

Ales в сообщении #386800 писал(а):

Тем более, что от второго дифференциала никакого толку,

ага, доже экстремумы толком не поизучаешь

[Ales]

Чтобы понимать как работают дифференциалы и линейные функционалы надо работать хотя бы с двумя переменными на плоскости, сразу изучать анализ многих переменных. Изучать интегрирование одновременно с дифференцированием.

[Munin]

zbl в сообщении #386733 писал(а):

Физики дифференциалом называют физически бесконечно малое приращение.Говорить, что физики конечное приращение дифференциалом называют неправильно: именно физически бесконечно малое.

Говорить, что физики называют чем-то "физически бесконечно малое" приращение, неправильно: в физике не бывает бесконечно малого, поскольку это не математика. Физики говорят о пренебрежимо малых величинах, а бесконечно малые - только в рамках математических моделей.

ewert в сообщении #386751 писал(а):

Но тогда понятия "дифференциал" и "производная" попросту дублируют друг друга, а зачем -- непонятно.

Исторически сложилось. На самом деле, "дифференциал" - не тождественно то же самое, что "производная", а только одна из производных, то есть более узкое понятие. Видов производных несколько, и только один из них отождествляется с дифференциалом. Остальные всего лишь вычисляются через дифференциалы.

[ewert]

Munin в сообщении #386863 писал(а):

Физики говорят о пренебрежимо малых величинах, а бесконечно малые -

-- это ровно то же самое, только другими словами. Что в лоб, что по лбу. Если "пренебрежимая малость" используется для обоснования перехода к производным, но тогда правильнее говорить просто о "малых величинах". Поскольку "пренебрежимость" в основном зарезервирована за неучитываемыми (в силу малости) эффектами, и к дифференцированию это отношения не имеет.

Munin в сообщении #386863 писал(а):

Видов производных несколько, и только один из них отождествляется с дифференциалом. Остальные всего лишь вычисляются через дифференциалы.

Если производная "вычисляется через дифференциал", то она либо тождественно совпадает с дифференциалом, либо не совпадает, в зависимости от выбора определения тем или иным автором. Если же речь о производной в каком-либо обобщённом смысле, то она с дифференциалами непосредственно формально не связана.

[zbl]

ewert в сообщении #386751 писал(а):

zbl в сообщении #386733 писал(а):

В 21-м веке проще всего считать (как, в общем-то, и принято делать), что $dx$ -- это линейный функционал на касательном пространстве.

Ну тогда уж не функционал, а оператор.

Я говорил только про $dx$, то есть -- про дифференциал координаты.
Дифференциал функции (дифференциал отображения) -- это уже будет линейное отображение касательных пространств -- оператор, если хотите.
Проблема в том, что $dx$ и $df$ -- разные вещи, на что уже было указано, но не сказано: $df\stackrel{\text{\tiny def}}{=}f'dx$ -- сам через себя ж не определение.

ewert в сообщении #386751 писал(а):

Но тогда понятия "дифференциал" и "производная" попросту дублируют друг друга, а зачем -- непонятно.

Дифференциал через производную определён, а производная определена через предел -- они таким образом разные вещи.
Но зачем одно, если есть другое, вот это уже вопрос.

Так; опустимся в глубь веков ещё на две сотни лет.
Дифференциал придумал Лейбниц.
Причём, придумал он бесконечно малую константу, а не бесконечно малую переменную, как я только что цитировал из старого учебника.
Тогда производная по Лейбницу -- это отношение бесконечно малых констант, и определяется через дифференциалы, а не наоборот.
Взял Лейбниц свой дифференциал непосредственно из физики -- там уже физически бесконечно малые (три последних слова разрывать нельзя) в общем и целом уже присутствовали на тот момент.

Но увы, интуитивно ясно понимаемое понятие предела в такой системе понятий (с бесконечно малыми константами) сформулировать не удалось -- не было в матанализе определения предела до 19-го века.
Коши просто-напросто отбросил определение бесконечно малой константы (но оставил бесконечно малые переменные) и сформулировал определение предела.
Сразу всем математикам тогда сделалось счастье и производную стали определять через предел, а дифференциал -- через производную.
Хочу подчеркнуть, что физики чхали на всё это и, как пользовались своими физически бесконечно малыми (константами), так и пользуются по сей день.
Они иначе никак не могут и никогда иначе не будет: физвеличины существуют независимо от их желания, а все приборы патологически классичны.

Вопрос нужен или не нужен по-моему всегда одинаково решается методом Чингачгука из того анекдота: не хочешь -- не ешь.
Нужен -- используй; не нужен -- не используй; лишь бы не вводить в заблуждение читателя.

[Munin]

ewert в сообщении #386873 писал(а):

-- это ровно то же самое, только другими словами. Что в лоб, что по лбу.

И это говорит человек, молящийся на букву определения. Нет, ничего подобного. Это совсем другое.

ewert в сообщении #386873 писал(а):

Если "пренебрежимая малость" используется для обоснования перехода к производным

Нет, не для этого.

ewert в сообщении #386873 писал(а):

Если производная "вычисляется через дифференциал", то она либо тождественно совпадает с дифференциалом, либо не совпадает, в зависимости от выбора определения тем или иным автором.

В зависимости от того, о какой производной говорят. Напомню, что бывает полная производная (градиент), частная производная, производная по направлению.

ewert в сообщении #386873 писал(а):

Если же речь о производной в каком-либо обобщённом смысле, то она с дифференциалами непосредственно формально не связана.

В Математической энциклопедии встречаются прямые формулировки определений "производная, или дифференциал".

zbl в сообщении #386951 писал(а):

Взял Лейбниц свой дифференциал непосредственно из физики -- там уже физически бесконечно малые (три последних слова разрывать нельзя) в общем и целом уже присутствовали на тот момент.

Во времена Лейбница терминология вообще, и в физике в частности, была несовременной. Достаточно сказать, что Ньютон использовал слово "масса" в смысле современного "тело". Так что неважно, как это называлось во времена Лейбница, сегодня это называется пренебрежимо малыми величинами.