Неверно.
Правильно будет так:
Щас у некоторых будет взрыв мозга -- предупреждаю.
Cо вторым дифференциалом тоже не всё так просто.
-- не просто так тут
.
Дифференцируем предыдущее:
Так вот
в данном случае равен нулю (в отличие от
).
Нулю равен
тут потому, что
-- тут независимая переменная; дифференциал независимой переменной есть константа, а дифференциал константы равен нулю.
Но, если
зависит, скажем, от
, то уже будет совсем иначе:
, так как
теперь зависимая переменная и дифференциал её уже не константа и второй дифференциал нулю не равен.
Говорят, что вид первого дифференциала не зависит от того, независимы или зависимы переменные, а вид высших дифференциалов от того зависит (в
не важно, зависит или нет
от какого-нибудь
).
Всё выше перечисленное -- лишь пересказ учебника по матанализу.
Лишь, тот учебник... хмм... уже слегка староват в 21-м веке будет...
Понятие дифференциала нуждается в понятии величины.
Если мы функцией называем отображение, а не
зависимую величину (как математики называли функцию ещё сравнительно недавно), то и дифференциал -- это отображение (а, если на
древне-математическом языке, то дифференциал функции -- это функция дифференциала независимого переменного).
В 21-м веке проще всего считать (как, в общем-то, и принято делать), что
-- это линейный функционал на касательном пространстве.
Проблемы возникают, когда мы интуитивно обозначаем через
не сам этот функционал, а его значение (число) на касательном векторе, а тот вектор не фиксируем.
Тогда мы этим неявно возвращаемся к старым-добрым переменным свободным и зависимым, и тогда нужно иметь ввиду вышесказанный вынос мозга.
А есть дифференциал в физике, а не дифференциал в математике.
Это, ну, совершенно другая вещь -- ничего общего не прослеживается.
Опять же, в хороших учебниках по общей физике про это всё говорится.
В моём рейтинге учебников по данной теме лидирует Сивухин -- очень ясное изложение у него именно подобных вещей.
Физики дифференциалом называют
физически бесконечно малое приращение.
Говорить, что физики конечное приращение дифференциалом называют неправильно: именно физически бесконечно малое.