2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 13  След.
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение14.11.2010, 18:32 


20/12/09
1527
Мне кажется, что дифференциал надо рассматривать вкупе с интегралом: $\int dx=\Delta x$
И полезно знать внешние формы - именно там эта операция (взятие дифференциала) рулит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение14.11.2010, 23:18 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ales в сообщении #375110 писал(а):
Мне кажется, что дифференциал надо рассматривать вкупе с интегралом: И полезно знать внешние формы

Бесполезно абсолютно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение14.11.2010, 23:23 


20/12/09
1527
ewert в сообщении #375247 писал(а):
Ales в сообщении #375110 писал(а):
Мне кажется, что дифференциал надо рассматривать вкупе с интегралом: И полезно знать внешние формы

Бесполезно абсолютно.

Почему же? Как раз внешние формы это ловкий инструмент, который позволяет привыкнуть к использованию оператора $d$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение14.11.2010, 23:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ales в сообщении #375251 писал(а):
Как раз внешние формы это ловкий инструмент,

Он, может, и ловкий, но абсолютно бесполезен для понимания дифференциала как такового. Поскольку второе -- гораздо более грубый математический факт, чем первое.

(Оффтоп)

(да чего ж это постоянно всё дублируется-то, чего ж постоянно-то всё тормозит...)

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение13.12.2010, 01:59 
Заслуженный участник


14/12/06
881
Padawan в сообщении #361674 писал(а):
$df\operatorname{=}\limits^{\text{опр}}f'\Delta x$

Неверно.
Правильно будет так:
$df\stackrel{\text{\tiny def}}{=}f'dx$

Щас у некоторых будет взрыв мозга -- предупреждаю.

Cо вторым дифференциалом тоже не всё так просто.
$\frac{d^2f}{dx^2}$ -- не просто так тут $dx^2$.
Дифференцируем предыдущее:
$ddf=f''dxdx+f'ddx$
Так вот $d^2x$ в данном случае равен нулю (в отличие от $d^2f$).
Нулю равен $d^2x$ тут потому, что $x$ -- тут независимая переменная; дифференциал независимой переменной есть константа, а дифференциал константы равен нулю.
Но, если $x$ зависит, скажем, от $t$, то уже будет совсем иначе:
$d^2f=f''dx^2+f'd^2x$, так как $x$ теперь зависимая переменная и дифференциал её уже не константа и второй дифференциал нулю не равен.
Говорят, что вид первого дифференциала не зависит от того, независимы или зависимы переменные, а вид высших дифференциалов от того зависит (в $df=f'dx$ не важно, зависит или нет $x$ от какого-нибудь $t$).

Всё выше перечисленное -- лишь пересказ учебника по матанализу.
Лишь, тот учебник... хмм... уже слегка староват в 21-м веке будет...

Понятие дифференциала нуждается в понятии величины.
Если мы функцией называем отображение, а не зависимую величину (как математики называли функцию ещё сравнительно недавно), то и дифференциал -- это отображение (а, если на древне-математическом языке, то дифференциал функции -- это функция дифференциала независимого переменного).
В 21-м веке проще всего считать (как, в общем-то, и принято делать), что $dx$ -- это линейный функционал на касательном пространстве.
Проблемы возникают, когда мы интуитивно обозначаем через $dx$ не сам этот функционал, а его значение (число) на касательном векторе, а тот вектор не фиксируем.
Тогда мы этим неявно возвращаемся к старым-добрым переменным свободным и зависимым, и тогда нужно иметь ввиду вышесказанный вынос мозга.

А есть дифференциал в физике, а не дифференциал в математике.
Это, ну, совершенно другая вещь -- ничего общего не прослеживается.
Опять же, в хороших учебниках по общей физике про это всё говорится.
В моём рейтинге учебников по данной теме лидирует Сивухин -- очень ясное изложение у него именно подобных вещей.
Физики дифференциалом называют физически бесконечно малое приращение.
Говорить, что физики конечное приращение дифференциалом называют неправильно: именно физически бесконечно малое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение13.12.2010, 09:04 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
zbl в сообщении #386733 писал(а):
В 21-м веке проще всего считать (как, в общем-то, и принято делать), что $dx$ -- это линейный функционал на касательном пространстве.

Ну тогда уж не функционал, а оператор. Но тогда понятия "дифференциал" и "производная" попросту дублируют друг друга, а зачем -- непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение13.12.2010, 11:43 


20/12/09
1527
zbl в сообщении #386733 писал(а):
Cо вторым дифференциалом тоже не всё так просто.

А если вспомнить, что для внешнего дифференцирования всегда $ddf =0$?
Второй дифференциал не стыкуется с современной математикой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение13.12.2010, 12:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Ales в сообщении #386777 писал(а):
А если вспомнить, что для внешнего дифференцирования всегда $ddf =0$?
Второй дифференциал не стыкуется с современной математикой.

Стыкуется. Просто надо всё делать аккуратно. Если $f:M\to\mathbb{R}$ -- функция, то $df:TM\to\mathbb{R}$. Модуль над $C^\infty(M)$ $Hom(TM,\mathbb{R})$ канонически изоморфен модулю сечений $\Gamma(T^*M)=\{M\to T^*M\}$ кокасательного расслоения.
На сечениях кососимметрических степеней $\wedge^n(T^*M)$ этого расслоения определяется новая операция $d:\wedge^n(T^*M)\to \wedge^{n+1}(T^*M)$, квадрат которой нулевой (и, конечно, $\wedge^0(T^*M)$=основная алгебра $C^{\infty}(M)$).

Но никто не мешает вычислять $d(df):T(TM)\to\mathbb{R}$ руками как
$$
d(df)Z=\frac{\partial^2}{\partial t \partial s}\right|f(\gamma(s,t)),
$$
где $Z=(\gamma,\partial\gamma/\partial s$ -- поле вдоль кривой (элемент $T(TM)$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение13.12.2010, 13:19 


20/12/09
1527
paha в сообщении #386783 писал(а):
Стыкуется.

Нет, все равно не хорошо.
Тем более, что от второго дифференциала никакого толку, а дифференциальные формы наоборот очень полезны.
Такая математика только путает и усложняет простое, вместо того чтобы прояснять сложное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение13.12.2010, 13:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ales в сообщении #386800 писал(а):
Тем более, что от второго дифференциала никакого толку,

ага, доже экстремумы толком не поизучаешь

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение13.12.2010, 13:23 


20/12/09
1527
Чтобы понимать как работают дифференциалы и линейные функционалы надо работать хотя бы с двумя переменными на плоскости, сразу изучать анализ многих переменных. Изучать интегрирование одновременно с дифференцированием.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение13.12.2010, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
zbl в сообщении #386733 писал(а):
Физики дифференциалом называют физически бесконечно малое приращение.Говорить, что физики конечное приращение дифференциалом называют неправильно: именно физически бесконечно малое.

Говорить, что физики называют чем-то "физически бесконечно малое" приращение, неправильно: в физике не бывает бесконечно малого, поскольку это не математика. Физики говорят о пренебрежимо малых величинах, а бесконечно малые - только в рамках математических моделей.

ewert в сообщении #386751 писал(а):
Но тогда понятия "дифференциал" и "производная" попросту дублируют друг друга, а зачем -- непонятно.

Исторически сложилось. На самом деле, "дифференциал" - не тождественно то же самое, что "производная", а только одна из производных, то есть более узкое понятие. Видов производных несколько, и только один из них отождествляется с дифференциалом. Остальные всего лишь вычисляются через дифференциалы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение13.12.2010, 16:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #386863 писал(а):
Физики говорят о пренебрежимо малых величинах, а бесконечно малые -

-- это ровно то же самое, только другими словами. Что в лоб, что по лбу. Если "пренебрежимая малость" используется для обоснования перехода к производным, но тогда правильнее говорить просто о "малых величинах". Поскольку "пренебрежимость" в основном зарезервирована за неучитываемыми (в силу малости) эффектами, и к дифференцированию это отношения не имеет.

Munin в сообщении #386863 писал(а):
Видов производных несколько, и только один из них отождествляется с дифференциалом. Остальные всего лишь вычисляются через дифференциалы.

Если производная "вычисляется через дифференциал", то она либо тождественно совпадает с дифференциалом, либо не совпадает, в зависимости от выбора определения тем или иным автором. Если же речь о производной в каком-либо обобщённом смысле, то она с дифференциалами непосредственно формально не связана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение13.12.2010, 18:57 
Заслуженный участник


14/12/06
881
ewert в сообщении #386751 писал(а):
zbl в сообщении #386733 писал(а):
В 21-м веке проще всего считать (как, в общем-то, и принято делать), что $dx$ -- это линейный функционал на касательном пространстве.

Ну тогда уж не функционал, а оператор.

Я говорил только про $dx$, то есть -- про дифференциал координаты.
Дифференциал функции (дифференциал отображения) -- это уже будет линейное отображение касательных пространств -- оператор, если хотите.
Проблема в том, что $dx$ и $df$ -- разные вещи, на что уже было указано, но не сказано: $df\stackrel{\text{\tiny def}}{=}f'dx$ -- сам через себя ж не определение.

ewert в сообщении #386751 писал(а):
Но тогда понятия "дифференциал" и "производная" попросту дублируют друг друга, а зачем -- непонятно.

Дифференциал через производную определён, а производная определена через предел -- они таким образом разные вещи.
Но зачем одно, если есть другое, вот это уже вопрос.

Так; опустимся в глубь веков ещё на две сотни лет.
Дифференциал придумал Лейбниц.
Причём, придумал он бесконечно малую константу, а не бесконечно малую переменную, как я только что цитировал из старого учебника.
Тогда производная по Лейбницу -- это отношение бесконечно малых констант, и определяется через дифференциалы, а не наоборот.
Взял Лейбниц свой дифференциал непосредственно из физики -- там уже физически бесконечно малые (три последних слова разрывать нельзя) в общем и целом уже присутствовали на тот момент.

Но увы, интуитивно ясно понимаемое понятие предела в такой системе понятий (с бесконечно малыми константами) сформулировать не удалось -- не было в матанализе определения предела до 19-го века.
Коши просто-напросто отбросил определение бесконечно малой константы (но оставил бесконечно малые переменные) и сформулировал определение предела.
Сразу всем математикам тогда сделалось счастье и производную стали определять через предел, а дифференциал -- через производную.
Хочу подчеркнуть, что физики чхали на всё это и, как пользовались своими физически бесконечно малыми (константами), так и пользуются по сей день.
Они иначе никак не могут и никогда иначе не будет: физвеличины существуют независимо от их желания, а все приборы патологически классичны.

Вопрос нужен или не нужен по-моему всегда одинаково решается методом Чингачгука из того анекдота: не хочешь -- не ешь.
Нужен -- используй; не нужен -- не используй; лишь бы не вводить в заблуждение читателя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение13.12.2010, 19:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #386873 писал(а):
-- это ровно то же самое, только другими словами. Что в лоб, что по лбу.

И это говорит человек, молящийся на букву определения. Нет, ничего подобного. Это совсем другое.

ewert в сообщении #386873 писал(а):
Если "пренебрежимая малость" используется для обоснования перехода к производным

Нет, не для этого.

ewert в сообщении #386873 писал(а):
Если производная "вычисляется через дифференциал", то она либо тождественно совпадает с дифференциалом, либо не совпадает, в зависимости от выбора определения тем или иным автором.

В зависимости от того, о какой производной говорят. Напомню, что бывает полная производная (градиент), частная производная, производная по направлению.

ewert в сообщении #386873 писал(а):
Если же речь о производной в каком-либо обобщённом смысле, то она с дифференциалами непосредственно формально не связана.

В Математической энциклопедии встречаются прямые формулировки определений "производная, или дифференциал".

zbl в сообщении #386951 писал(а):
Взял Лейбниц свой дифференциал непосредственно из физики -- там уже физически бесконечно малые (три последних слова разрывать нельзя) в общем и целом уже присутствовали на тот момент.

Во времена Лейбница терминология вообще, и в физике в частности, была несовременной. Достаточно сказать, что Ньютон использовал слово "масса" в смысле современного "тело". Так что неважно, как это называлось во времена Лейбница, сегодня это называется пренебрежимо малыми величинами.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 182 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 13  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group