Несколько вопросов по топологии

[paha]

Bulinator в сообщении #384730 писал(а):

Вопрос. Пусть отображение $f:X\mapsto X$ такое, что для любых $s_1,s_2:I^n\mapsto X$, $s_1(\partial I^n)=b_1, s_2(\partial I^n)=b_2, где $b_1, b_2 \in X$ точки, выполняются следующие условия:
$s_1\sim s_2\Rightarrow f\circ s_1\sim f\circ s_2$ и $s_1\nsim s_2\Rightarrow f\circ s_1\nsim f\circ s_2$.
Можно ли доказать, что $f\sim id_X$?

Первая импликация выполнена всегда

Вторая означает, что такое отображение индуцирует мономорфизм гомотопических групп.

Таковым является, например, отображение $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, заданное формулой $f(x)=-x$... оно не гомотопно тождественному:)

[Bulinator]

Гомотопическая эквивалентность - это изоморфизм гомотопических групп и кое-что еще!
Bulinator, 8 декабря 2010

[paha]

Bulinator в сообщении #385064 писал(а):

Гомотопическая эквивалентность - это изоморфизм гомотопических групп индуцированный некоторым отображением и кое-что еще!

[Bulinator]

paha в сообщении #385068 писал(а):

Bulinator в сообщении #385064 писал(а):

Гомотопическая эквивалентность - это изоморфизм гомотопических групп индуцированный некоторым отображением и кое-что еще!

Ну да, да!

Пространства $X$ и $Y$ назовем гомотопически эквивалентными если существуют отображения $f:X\mapsto Y$ и $g:Y\mapsto X$ такие, что для любой хрени $Z$ и ее отображений $s:Z\mapsto X, q:Z\mapsto Y$, выполняется
$ f\circ g\circ q\sim q$ и $g\circ f\circ s\sim s$.

Вывод:
не всякая хрень может быть построена из кубиков $I^n$.

Правильно??

[paha]

Bulinator в сообщении #385076 писал(а):

Вывод:
не всякая хрень может быть построена из кубиков $I^n$.

Правильно??

Бога нет.

Вывод: всё позволено!

-- Ср дек 08, 2010 23:07:51 --

вот если "хрень" заменить на "топологическое пространство", а "построена" на "гомотопически эквивалентно", то таки да

[Bulinator]

Назрел, так сказать, философский вопрос.
Топология- сложная наука. Сложность заключается в том, что наша интуиция работает только для $\mathbb{R}^3$ и вложенные пространства. Поэтому, исследуя всевозможные топологические пространства мы вынуждены пользоваться "зондами". Это похоже на то, как слепой ощупывает лицо собеседника руками, чтобы представить себе его. Как такие зонды, можно взять хулахупы($s(\partial I)=$точке), воздушные шарики($s(\partial I^2)=$точке) и.т.д.
Учитывая предыдущие сообщения в этом топике, можно ли сказать, что вот этих зондов недостаточно, чтобы получить о топологическом пространстве всю ниформацию, какая нам нужна?

[paha]

Bulinator в сообщении #385114 писал(а):

Учитывая предыдущие сообщения в этом топике, можно ли сказать, что вот этих зондов недостаточно, чтобы получить о топологическом пространстве всю ниформацию, какая нам нужна?

эти "зонды" называются гомотопическими инвариантами
помимо групп гомотопий к ним относятся (ко)гомологии, категория Люстерника-Шнирельмана и т.д.

есть еще инварианты гомеоморфизма (топологическая размерность, например)

Нафига нам вся информация? Вся не нужна... нужна какая-то, определяемая нашими целями

В конце концов полный инвариант объекта в данной категории -- его изоморфный тип, но уж не знаю, где, кроме конечных групп, конечномерных векторных пространств и т.д. мы можем добиться таких успехов

-- Чт дек 09, 2010 00:14:56 --

(Оффтоп)

Bulinator в сообщении #385114 писал(а):

ниформацию

получение ВСЕЙ информации сродни нимфомании, это Вы правильно описались

но если для Вашей задачи нет "зонда" -- придумайте его (с)

[Bulinator]

paha
Вы поняли откуда возник вопрос? Вот смотрите, если в приведенном мною выше определении гомотопической эквивалентности, вместо $Z$ рассматривать только $I^n$, то это определение только для достаточно хороших пространств. Т.е. получается, что кубиков недостаточно. Следовательно, гомотопическая эквивалентность в общем случае эта то свойство, что построенные с помощью любых "зондов" гомотопические классы изоморфны. Притом, этот изоморфизм индуцируется непрерывными отображениями.

Да кстати, еще один вопрос. До когомологий, отличных от де рамовских я на врядли дойду( во всяком случае в ближайшем будущем). Просто интересно. Пусть два пространства настолько плохи, что гомотопически эквивалентны слабо но неэквивалентны в обычном смысле. Могут ли для них существовать какие-то группы когомологий?

[paha]

Bulinator в сообщении #385126 писал(а):

Пусть два пространства настолько плохи, что гомотопически эквивалентны слабо но неэквивалентны в обычном смысле. Могут ли для них существовать какие-то группы когомологий?

(ко)гомологии определены для любых топологических пространств

-- Чт дек 09, 2010 00:50:06 --

Bulinator в сообщении #385126 писал(а):

Т.е. получается, что кубиков недостаточно.

недостаточно для чего?

[Bulinator]

paha в сообщении #385134 писал(а):

недостаточно для чего?

для гомотопической эквивалентности. Я подправил предыдущее сообщение.

[paha]

Bulinator в сообщении #385135 писал(а):

для гомотопической эквивалентности. Я подправил предыдущее сообщение

ну, не заморачивайтесь))) Вряд ли в жизни встретятся пространства, не допускающие клеточной структуры

то самое определение гомотопической эквивалентности, которое Вам так не нравится, намного проще "слабой гомотопической эквивалентности"... и естественней

[Bulinator]

paha в сообщении #385139 писал(а):

то самое определение гомотопической эквивалентности, которое Вам так не нравится, намного проще "слабой гомотопической эквивалентности"... и естественней

Так ведь весь ужас в том, что эту слабую эквивалентность я "вижу" а обычную нет. А вот, если учесть и последние рассуждения, теперь "вижу" и общую. И такое определение становится естественным.

-- Чт дек 09, 2010 03:14:40 --

Если быть честным, слабую гомотопичсекую эквивалентность для себя я перевел так.

1. Отождествляем все гомотопные кубики.
2. Раскладываем их в ящики(разбиваем на гомотопические классы)
3. Если во втором пространстве есть достаточное количество ящиков, чтобы разместить эти классы. то... это только хорошо(пока)
4. Если во втором пространстве проделать то же самое и окажется, что все классы умещаются в ящиках первого пространства, тогда мы скажем, что эти два пространства гомотопически эквивалентны(слабо).

В общем случае, берем не кубики а что хотим- $Z$. Так вот, если у нас есть 2 "что хотим" разложенные по своим ящикам в одном из пространств, то в другом обязательно должны найтись ящики для них.

[Munin]

(Оффтоп)

Bulinator в сообщении #385114 писал(а):

...наша интуиция работает только для $\mathbb{R}^3$...

Физик должен по крайней мере $\mathbb{R}^4$ интуичить.

[paha]

Bulinator в сообщении #385114 писал(а):

что наша интуиция работает только для $\mathbb{R}^3$

она и на плоскости не всегда работает (озера Вады, кривые постоянной ширины и т.д.)

[Bulinator]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #385154 писал(а):

Физик должен по крайней мере $\mathbb{R}^4$ интуичить.

Вы, очевидно, имели ввиду не $\mathbb{R}^4$ а $\mathbb{R}^{1,3}$.