Несколько вопросов по топологии

[Bulinator]

paha в сообщении #384361 писал(а):

разумеется, обычная...

Вот это-то и плохо. Ибо если бы сперва появилась слабая, то обычную можно было бы расценивать как какое-то математическое извращение и не париться больше.
А сейчас остается какое-то неприятное чувство недопонимания. Видимо, люди заметили какое-то свойство, которое я не вижу и которое в каком-то частном случае случайно связано с тем, что я мало-мальски себе представил.

[paha]

Bulinator в сообщении #384367 писал(а):

Вот это-то и плохо.

ну... давайте так... пусть $[X,Y]$ -- множество классов гомотопных отображений $X\to Y$

Если $f:Z\to X$ -- непрерывное отображение, то возникает отображение $f_\ast:[X,Y]\to [Z,Y]$ по правилу $f_\ast([F])=[F\circ f]$ (квадратные скобки означают класс отображения)

Аналогично, если $f:Y\to Z$ -- непрерывное отображение, то возникает отображение $f^\ast:[X,Y]\to [X,Z]$ по правилу $f^\ast([F])=[f\circ F]$

Так вот $X$ и $X'$ гомотопически эквивалентны, если для любого $Y$ имеется взаимнооднозначное соответствие $[X,Y]\to [X',Y]$ (можно и по второму аргументу -- равносильно)

-- Пн дек 06, 2010 21:26:13 --

Можно и так: $X$ и $X'$ гомоторически эквивалентны, если существует отображение $f:X\to X'$, для которого $f_*$ -- биекция

[Padawan]

paha в сообщении #384333 писал(а):

В проколотой плоскости $\mathbb{R}^2\setminus O$ рисуем кривые $r=2\varphi/\pi$ (в полярных координатах при $\varphi\in [2\pi;5\pi]$), $y=\pm\sqrt{49-(x+3)^2}$ -- они негомотопны и соединяют точки $(-10,0)$ и $(4,0)$

Вот ведь! Спасибо. Очередной мне урок того, что верить надо только доказанному. Никаких "вроде".

[Bulinator]

Цитата:

Definition
$\hrule$

In the $n$-sphere $S^n$ we choose a base point $a$. For a space $X$ with base point $b$, we define $\pi_n(X)$ to be the set of homotopy classes of maps

$$f : S^n \mapsto X$$

that map the base point a to the base point b. In particular, the equivalence classes are given by homotopies that are constant on the basepoint of the sphere. Equivalently, we can define $\pi_n(X)$ to be the group of homotopy classes of maps $g : [0,1]^n \mapsto X $ from the $n$-cube to $X$ that take the boundary of the $n$-cube to $b$.$)^1$

For $n \geq 1$, the homotopy classes form a group. To define the group operation, recall that in the fundamental group, the product $f * g$ of two loops $f$ and $g$ is defined by setting $(f * g)(t) = f(2t)$ if $t$ is in $[0,1/2] $and $(f * g)(t) = g(2t-1)$ if $t$ is in $[1/2,1]$. The idea of composition in the fundamental group is that of following the first path and the second in succession, or, equivalently, setting their two domains together. The concept of composition that we want for the $n$-th homotopy group is the same, except that now the domains that we stick together are cubes, and we must glue them along a face. We therefore define the sum of maps $f, g : [0,1]^n \mapsto X$ by the formula $(f + g)(t_1, t_2, ... t_n) = f(2t_1, t_2, ... t_n)$ for $t_1 \in [0,1/2]$ and $(f + g)(t_1, t_2, ... t_n) = g(2t_1-1, t_2, ... t_n)$ for $t_1 \in [1/2,1]$. $)^2$ For the corresponding definition in terms of spheres, define the sum $f + g$ of maps$ f, g : S^n \mapsto X$ to be $\Psi$ composed with $h$, where $\Psi$ is the map from $S^n$ to the wedge sum of two $n$-spheres that collapses the equator and $h$ is the map from the wedge sum of two $n$-spheres to $X$ that is defined to be $f$ on the first sphere and $g$ on the second.$)^3$

If $n \geq 2$, then $\pi_n$ is abelian. (For a proof of this, note that in two dimensions or greater, two homotopies can be "rotated" around each other. See Eckmann-Hilton argument)

1. Надо понимать, что мы берем что-то типа капли. Да?
2. Получается что-то типа капель имеющих одно и то же основание. Правильно?
3. Муть с сферами пропускаю. Too many errors...

paha в сообщении #384372 писал(а):

пусть $[X,Y]$ -- множество классов гомотопных отображений $X\to Y$

Т.е. любые два гомотопных отображения мы отождествляем.

paha в сообщении #384372 писал(а):

Если $f:Z\to X$ -- непрерывное отображение, то возникает отображение $f_\ast:[X,Y]\to [Z,Y]$ по правилу $f_\ast([F])=[F\circ f]$ (квадратные скобки означают класс отображения)

Это я понимаю так. Пусть $s_1, s_2:X\mapsto Y$ какие-то отображения. Рассматриваем отображения $s_1\circ f, s_2\circ f:Z\mapsto Y$.
Если $s_1$ и $s_2$ пренадлежат одному классу,то очевидно $s_1\circ f, s_2\circ f$ тоже принадлежат одному классу(уже среди классов $[Z,Y]$). Обратное, вообще говоря, неверно. Таким образом $f_*$ определяет гомоморфизм классов эквивалентности $[X,Y]$ на $[Z,Y]$(или его подмножества).

paha в сообщении #384372 писал(а):

Аналогично, если $f:Y\to Z$ -- непрерывное отображение, то возникает отображение $f^\ast:[X,Y]\to [X,Z]$ по правилу $f^\ast([F])=[f\circ F]$

См. выше. Т.е. построили гомоморфизм классов эквивалентности $[X,Y]$ на $[X,Z]$.

paha в сообщении #384372 писал(а):

Так вот $X$ и $X'$ гомотопически эквивалентны, если для любого $Y$ имеется взаимнооднозначное соответствие $[X,Y]\to [X',Y]$ (можно и по второму аргументу -- равносильно)

Т.е. берем какое-то третье пространство $Y$, рассматриваем всевозможные отображения $X\mapsto Y$ и $X^\prime\mapsto Y$ и разбиваем их на классы эквивалентности. Если для всех $Y$ у нас будут получатся изморфные классы, тогда $X$ и $X^\prime$ будут гомотопически эквивалентны. Правильно?
А причем тут предыдущие 2 предложения про $f_*$ и $f^*$?

[paha]

Bulinator в сообщении #384429 писал(а):

$f_*$ определяет гомоморфизм классов эквивалентности $[X,Y]$ на $[Z,Y]$

не гомоморфизм... просто отображение

Bulinator в сообщении #384429 писал(а):

А причем тут предыдущие 2 предложения про $f_*$ и $f^*$?

это они -- взаимно-однозначные соответствия

[Bulinator]

paha в сообщении #384472 писал(а):

это они -- взаимно-однозначные соответствия

А нельзя их опустить? Всмысле сказать "если можно построить взаимно-однозначное соответствие..."?

[paha]

Bulinator в сообщении #384429 писал(а):

# Надо понимать, что мы берем что-то типа капли. Да?
# Получается что-то типа капель имеющих одно и то же основание. Правильно?
# Муть с сферами пропускаю. Too many errors...

не вижу капель))) я на доске обычно картинки рисую... кубики -- кубики наглядней:)
ну, это не муть, просто изложение нелитературное

-- Вт дек 07, 2010 01:20:56 --

Bulinator в сообщении #384475 писал(а):

А нельзя их опустить? Всмысле сказать "если можно построить взаимно-однозначное соответствие..."?

можно... только функториальность должна выполняться

[Bulinator]

paha в сообщении #384476 писал(а):

можно... только функториальность должна выполняться

Ура ура!!!
paha
Вам гигантское спасибо. Гигантскее не бывает.

Видимо, когда Пуанкаре это определение придумывал, он про мерзкие пространства(немногообразия) думал.
Кстати, можете привести пример двух пространств, которые гомотопически эквивалентны в слабом, но неэквивалентны в обычном смысле?

[paha]

Bulinator в сообщении #384480 писал(а):

Видимо, когда Пуанкаре это определение придумывал, он про мерзкие пространства(немногообразия) думал.

Пуанкаре думал ислючительно о многообразиях:)

Bulinator в сообщении #384480 писал(а):

Кстати, можете привести пример двух пространств, которые гомотопически эквивалентны в слабом, но неэквивалентны в обычном смысле?

не могу... это никогда мне не было нужно -- но можете загуглить:)

[Bulinator]

Да кстати, $f\circ g\sim id_Y$ из определения википедии значит, что перетаскивая класс из $Y$ в $X$ и обратно в $Y$ мы его не теряем. Правильно??

[Munin]

Кстати, а какие бывают мерзкие пространства-немногообразия? Не углубляясь в экзотические топологии, а чего-нибудь локально-$R^n$-ное.

Я вычитал, что симплициальный комплекс является псевдомногообразием, если:
- однородный - я так понимаю, весь $n$-мерный, не имеет частей разной размерности, типа шарика с верёвочкой
- неразветвлённый - то есть его $n$-мерные лоскуты стыкуются только попарно, не возникает "книжек" из многих листов. правда, я не уловил, разрешена ли ситуация, когда много листов сколоты в одной точке булавкой - там говорилось только о $n-1$-мерных гранях
- сильно связный - вообще что-то типа 0-связности, малоинтересно.
Правильно ли я понимаю, что немногообразия получаются нарушением этих правил, то есть содержат всякие точки, линии и листы ветвления, и части разной размерности? А чего-то более мерзкого от них можно не ждать?

[paha]

Bulinator в сообщении #384491 писал(а):

Да кстати, $f\circ g\sim id_Y$ из определения википедии значит, что перетаскивая класс из $Y$ в $X$ и обратно в $Y$ мы его не теряем. Правильно??

Разумеется... из этого следует, что $F,G:X\to Z$ гомотопны если и только если $F\circ g,G\circ g: Y\to Z$ гомотопны

-- Вт дек 07, 2010 10:27:18 --

Munin в сообщении #384494 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что немногообразия получаются нарушением этих правил, то есть содержат всякие точки, линии и листы ветвления, и части разной размерности?

но это еще не страшно, клеточная структура все равно имеется (по крайней мере в локально конечном случае)

мне сейчас в голову никакого примера не приходит... Вот разве что: для любого топологического пространства $X$ существует клеточное пространство $Y$ и слабая гомотопическая эквивалентность $X\to Y$. Если само $X$ не допускает клеточной структуры, то оно не является гомотопически эквивалентным $Y$... как-то так пример искать можно

[Munin]

А ковёр Серпинского допускает клеточную структуру?

[paha]

Munin в сообщении #384637 писал(а):

А ковёр Серпинского допускает клеточную структуру?

вроде, да http://www.mat.uniroma2.it/~isola/research/preprints/CGIs01.pdf

[Bulinator]

Вопрос. Пусть отображение $f:X\mapsto X$ такое, что для любых $s_1,s_2:I^n\mapsto X$, $s_1(\partial I^n)=b_1, s_2(\partial I^n)=b_2, где $b_1, b_2 \in X$ точки, выполняются следующие условия:
$s_1\sim s_2\Rightarrow f\circ s_1\sim f\circ s_2$ и $s_1\nsim s_2\Rightarrow f\circ s_1\nsim f\circ s_2$.
Можно ли доказать, что $f\sim id_X$?