Несколько вопросов по топологии

[Bulinator]

paha в сообщении #382321 писал(а):

отображения куда?

$f,g:X\mapsto X$

-- Ср дек 01, 2010 14:36:07 --

Пример:
на $S^1$ есть особенность(гадость), ибо существует отображение
$\varphi \mapsto 2\pi-\varphi$, которое негомотопно тождественному отображению $\varphi\mapsto \varphi$.

-- Ср дек 01, 2010 14:40:42 --

Пример 2:
На $R^2\setminus\{0\}$ есть отображения $(x,y)\mapsto \frac{(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}$ и $(x,y)\mapsto \frac{(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}+(10,10)$, которые, очевидно, негомотопны.

[paha]

Bulinator в сообщении #382318 писал(а):

Определение Скажем, что на пространстве $X$ есть гадость, если существуют два негомотопных отображения $f$ и $g$, таких, что образ $f(X)$ диффеоморфен $g(X)$.

Bulinator в сообщении #382322 писал(а):

$f,g:X\mapsto X$

При таком определении все сферы имеют гадость... да и любое ориентируемое многообразие -- даже прямая: $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x$, $g(x)=-x$
(образы совпадают, отображения негомотопны)

Мне даже в голову не приходит пример нестягиваемого пространства "без гадостей"... В частности, группа диффеоморфизмов такого пространства на себя должна быть линейно связной.

[Bulinator]

Ну как то же люди пришли к понятию гомотопоической эквивалентности? Не взяли же сразу это определение? Оно ведь совсем неочевидно. Я уверен, небывает бессмысленных определений.

-- Ср дек 01, 2010 15:12:50 --

paha в сообщении #382336 писал(а):

При таком определении все сферы имеют гадость...

Так ведь это ж хорошо. Ведь $S^n\sim R^{n+1}\setminus \{0\}$

[Padawan]

paha в сообщении #382136 писал(а):

Тогда так: пространства гомотопически эквивалентны, если они гомеоморфны деформационным ретрактам некоторого пространства

Понятно, что это достаточное условие для гомотопической эквивалентности. Будет ли оно необходимым? Как доказать?

-- Ср дек 01, 2010 15:19:17 --

Bulinator в сообщении #382339 писал(а):

Ну как то же люди пришли к понятию гомотопоической эквивалентности? Не взяли же сразу это определение? Оно ведь совсем неочевидно. Я уверен, небывает бессмысленных определений.

Топологические пространства вместе с классами гомотопных отображений между ними образуют категории. Изоморфные объекты этой категории -- как раз гомотопически эквивалентные пространства.

[Bulinator]

Padawan в сообщении #382342 писал(а):

Топологические пространства вместе с классами гомотопных отображений между ними образуют категории. Изоморфные объекты этой категории -- как раз гомотопически эквивалентные пространства.

Ого. А что такое категория для $S^1$ и $R^2\setminus\{0\}$. И как тут увидеть изоморфизм?

[paha]

Композиция путей в топологическом пространстве неассоциативна. Композиция их гомотопических классов уже таки да.

Сначала Пуанкаре придумал гомотопические группы (как инварианты топологического пространства). Эти группы ведут себя естественно по отношению к отображениям пространств: любое непрерывное отображение $f:X\to Y$ индуцирует гомоморфизм $f_*:\pi_k(X,x_0)\to\pi_k(Y,f(y_0))$ гомотопических групп, причем гомотопные отображения индуцируют одинаковые гомоморфизмы.

Таким образом гомотопическая эквивалентность -- очевидное достаточное условие совпадения гомотопических групп (для клеточных пространств "почти верно" обратное).


Ну, или посмотрите Фукса и Фоменко "Курс гомотопической топологии" -- там приведено ТРИ определения гомотопической эквивалентности и доказана их равносильность.

-- Ср дек 01, 2010 13:28:28 --

Bulinator в сообщении #382344 писал(а):

Ого. А что такое категория для $S^1$ и $R^2\setminus\{0\}$. И как тут увидеть изоморфизм?

вот, ту книгу смотрите

[Padawan]

http://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_category_of_topological_spaces

[Bulinator]

Ладно. Я понял, что кавалерийским наскоком эту теорию не осилить. Пошел читать книгу.
Спасибо всем огромное.

[paha]

Padawan в сообщении #382342 писал(а):

Понятно, что это достаточное условие для гомотопической эквивалентности. Будет ли оно необходимым? Как доказать?

Будет. Надо сообразить как.

[Munin]

(Оффтоп)

Цитата:

Ненавижу Вас :-)

Классические отношения Ученика и Учителя...

-- 01.12.2010 15:42:49 --

(Оффтоп)

Bulinator в сообщении #382356 писал(а):

Я понял, что кавалерийским наскоком эту теорию не осилить.

Тут вам уже две теории задели, категории - это отдельная песня, к топологии прямого отношения не имеющая, а используемая как язык.

[Padawan]

paha в сообщении #382361 писал(а):

Padawan в сообщении #382342 писал(а):

Понятно, что это достаточное условие для гомотопической эквивалентности. Будет ли оно необходимым? Как доказать?

Будет. Надо сообразить как.

ВЫ сообразите? Или я и сам смогу?

[paha]

Padawan в сообщении #382393 писал(а):

ВЫ сообразите? Или я и сам смогу?

ну, я придумал такое пространство $M$ в котором гомеоморфный образ $Y$ лежит как деформационный ретракт и имеется гомеоморфизм на образ $\psi: X\to M$, являющийся гомотопической эквивалентностью... осталось придумать почему $\psi(X)$ -- деформационный ретракт:)

-- Ср дек 01, 2010 16:30:21 --

Ну, придумал (по крайней мере для клеточных пространств)

Утверждение. Если $X$ и $Y$ гомотопически эквивалентны, то существует такое пространство $Z$ и гомеоморфизмы на образ $a:X\to Z$, $b:Y\to Z$, что $a(X)$ и $b(Y)$ -- деформационные ретракты $Z$.

Доказательство. Возьмем в качестве $Z$ цилиндр $C_f$ отображения $f$.
$Y$ живет гомеоморфно в нижнем основании цилиндра ($b:Y\to C_f$). $X$ живет гомеоморфно в верхнем основании и включение $a:X\to C_f$ является гомотопической эквивалентностью в силу $a$ гомотопно $b\circ f$. Пара $(C_f,a(X))$ является парой Борсука (отображение $a$ можно считать клеточным), поэтому гомотопия $h_t:X\to X$ $h_0(x)=x$, $h_1(x)=g(f(x))$ продолжается до гомотопии $H_t: C_f\to X$, которая и является искомой ретракцией.

-- Ср дек 01, 2010 16:31:14 --

конечно, это утверждение давно известно... упоминается в вики

[Bulinator]

Господа, еще одна попытка:

Будем рассматривать только связные пространства. Если пространство не связно, то все изложенное ниже повторяется отдельно для каждой компоненты связности.

Возмьем на пространстве $X$ две точки. И будем рассматривать классы гомотопных кривых соединяющих эти точки. Кол-во этих классов назовем ... не знаю как $n_1(X)$.
Далее, берем контур, натягиваем на него поверхность и рассматриваем кол-во классов гомотопно эквивалентных поверхностей $n_2(X)$. И.т.д...
Можно сказать, что гомотопическая эквивалентность, это равенство вот этих $n_i(X)=n_i(Y)$?

-- Сб дек 04, 2010 02:20:34 --

Притом, наверное если $n_i(X)=1$ а $n_i(Y)$ не существует, то равенство можно считать выполненным.

[paha]

Bulinator в сообщении #383325 писал(а):

Можно сказать, что гомотопическая эквивалентность, это равенство вот этих $n_i(X)=n_i(Y)$?

это называется "слабая гомотопическая эквивалентность" -- смотрите учебники... теорема Уитни о слабой гомотопической эквивалентности

[Bulinator]

Ура ура....
Приближаюсь!!! Еще немного и до сильной эквивалентности доползу...

(Оффтоп)

paha в сообщении #383326 писал(а):

смотрите учебники... теорема Уитни о слабой гомотопической эквивалентности

paha
мне это все нужно для задачи по физике. Я смотрю на все эти кирпичи(Д.Н.Ф., Парсалов, Фукс, Шварц) и понимаю, что это надо читать параллельно с решением задачи. Т.е. по мере возникновения проблем. А то можно умереть от скуки. Или впасть в депрессию и уйти из науки