Является ли диффеоморфизм многообразий частным случаем гомотопии?? Всмысле, если существует диффеоморфизм из
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
в
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
и, соответственно, обратно, можно сказать, что
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
и
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
гомотопически эквивалентны?
нет. да.
Гомотопия и диффеоморфизм -- отображения с разной областью определения
(первое
![$A\times I\to A$ $A\times I\to A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/e/aeedfa7fcd89b76ae5f47c20b109ecd882.png)
, второе
![$A\to B$ $A\to B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/d/6edc8a876728a5e3fcd408de719f28fc82.png)
)
Диффеоморфные многообразия
![$f:A\to B$ $f:A\to B$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/7/f374516a47150b8e198fe376670e40ac82.png)
гомотопически эквивалентны по тривиальной причине:
![$f\circ f^{-1}\equiv id_A$ $f\circ f^{-1}\equiv id_A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/c/17ce28e4e473b1d138db3cef9f4c4fb082.png)
В определении гомотопии функций/отображений.
В определении нужна
совместная непрерывность, т.е. непрерывность
![$A\times I\to A$ $A\times I\to A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/e/aeedfa7fcd89b76ae5f47c20b109ecd882.png)
(непрерывность по каждоу аргуенту по отдельности не подойдет)
Теперь, пусть для многообразий
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
и
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
заданы функции
![$f:A\mapsto B$ $f:A\mapsto B$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/8/7b8a048fd3d9800c4cfab5c0cc25619082.png)
и
![$g:B\mapsto A$ $g:B\mapsto A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/c/dccbf2e9af3de034a8dfe7f66bb23ec982.png)
. Рассмотрим композиции
![$f\circ g:B\mapsto B$ $f\circ g:B\mapsto B$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/0/890a1aff474673dbc671660ee6ab9b8782.png)
и
![$g\circ f:A\mapsto A$ $g\circ f:A\mapsto A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/3/2c389d3419c0fa9782a2caacc4bb8e0982.png)
.
Далее, чтобы
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
и
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
были гомотопными, необходимо, чтобы существовали
![$h^A_t:A \mapsto A,\quad h^A_0=g\circ f,\quad h^A_1=id_A$ $h^A_t:A \mapsto A,\quad h^A_0=g\circ f,\quad h^A_1=id_A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/3/2e31033e2282f7e8d81791c2a7a9996782.png)
и
![$h^B_t:B \mapsto B,\quad h^B_0=g\circ f,\quad h^B_1=id_B$ $h^B_t:B \mapsto B,\quad h^B_0=g\circ f,\quad h^B_1=id_B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/2/2429cac9ee6287040912fb99123d91e782.png)
.
Объясните мне, пожалуйста, где в Вашем примере
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
, где
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
и где собственно
![$h^A_t$ $h^A_t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/d/ccdfebd1305644f8acdebf5c7555423982.png)
и
![$ h^B_t$ $ h^B_t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/e/05e00f24fe0c6a475f9ec6e889ae52bd82.png)
?
Я понимаю так:
![$A=R^2\setminus\{0\},\quad B=S^1$ $A=R^2\setminus\{0\},\quad B=S^1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/8/658ad4f0f72fab1705873f0df286493d82.png)
А дальше уже все перемешивается: Преобразованием
Ales в сообщении #379828 писал(а):
![$(r,\phi) \to (t+r(1-t),\phi), t \in [0,1]$ $(r,\phi) \to (t+r(1-t),\phi), t \in [0,1]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/6/796ff1329a08983747fca2e8732dc93082.png)
.
Вы отображаете плоскость без точки на себя. Это вроде как
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
. А дальше? Где
![$S^1$ $S^1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/d/6dd9b3fd1c1d48a66a2d49f156a1233882.png)
?
Вам указали саму гомотопию...
Подробно:
![$f(x)=x/\|x\|$ $f(x)=x/\|x\|$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/d/8bdc2547add448df713da444931e491482.png)
(считаем, что окружность сидит в плоскости)
![$g(x)=x$ $g(x)=x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/0/450a9cc75347d7051992c5a1fe3b006e82.png)
![$f\circ g=id_{S^1}$ $f\circ g=id_{S^1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/e/a6ec2ed4cf5029346003133399c3598382.png)
![$g\circ f(x)=x/\|x\|$ $g\circ f(x)=x/\|x\|$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/2/9b2c26ebb7fe3faa60f0a8af43015a9282.png)
и вот она, гомотопия:
![$$
h(t,x)=\frac{x}{t+(1-t)\|x\|}
$$ $$
h(t,x)=\frac{x}{t+(1-t)\|x\|}
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/6/bb6cf5e0eb2a0638b5ea68970954fc8c82.png)
![$h(0,x)=g\circ f(x)$ $h(0,x)=g\circ f(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/2/7a29edee435cb572d88dadfd63a3670282.png)
,
-- Чт ноя 25, 2010 14:25:38 --точнее, Вам указали гомотопию
![$$
h(t,x)=\frac{tx}{\|x\|}+(1-t)x
$$ $$
h(t,x)=\frac{tx}{\|x\|}+(1-t)x
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/d/30de961a57b18d9428718d462129dd8c82.png)
тоже сойдет:)))