Несколько вопросов по топологии

[Munin]

Padawan
Не мучьте человека, а скажите, что не так. Он не со зла, ему надо быстро освоиться с базовыми понятиями для другой задачи.

[Bulinator]

Padawan в сообщении #380089 писал(а):

Почему не нравится пара отображений $f$ и $g$ которые я указывал в сообщении #380014?

Формула Ales не нравится. В том смысле, что она для любого значения $t$ сопостовляет моногообразию $R^2\backslash\{0\}$ то же многообразие. И при $t=1$ как-то сразу превращается в $S^1$. Как бы это не называть, но непрерывным стягиванием точно не назовешь.

[Padawan]

Bulinator
Непрерывное стягивание и есть. Функция от двух переменных $x\in\mathbb R^2\setminus\{0\}$ и $t\in [0,1]$, непрерывна по обеим переменным.
Munin
Мне не нравится, когда понятие подменяют чем-то более наглядным и скорее всего ошибочным. Как определение есть, так его и надо понимать. Буквально. А понимание естественности придет только после чтения доказательств теорем.

[Bulinator]

Padawan в сообщении #380107 писал(а):

Bulinator
Непрерывное стягивание и есть. Функция от двух переменных $x\in\mathbb R^2\setminus\{0\}$ и $t\in [0,1]$, непрерывна по обеим переменным.

Ну с таким же успехом можно взять
$(r,\varphi)\mapsto (1+(t-1)r, 1+(t-1)\varphi)$

Функция то же будет непрерывной по всем координатам но при $t=1$ стянется в точку. Тогда получается $R^2\setminus\{0\}$ гомотопно точке.

Что не так??

[Ales]

Bulinator в сообщении #380119 писал(а):

Padawan в сообщении #380107 писал(а):

Bulinator
Непрерывное стягивание и есть. Функция от двух переменных $x\in\mathbb R^2\setminus\{0\}$ и $t\in [0,1]$, непрерывна по обеим переменным.

Ну с таким же успехом можно взять
$(r,\varphi)\mapsto ((t-1)r,(t-1)\varphi)$

Функция то же будет непрерывной по всем координатам но при $t=1$ стянется в точку. Тогда получается $R^2\setminus\{0\}$ гомотопно точке.

Что не так??

Ваш пример не непрерывная функция, ведь это полярные координаты и угол в $2\pi $ должен попасть туда же куда и ноль.

Для гомотопии не требуется равномерной непрерывности.
На компакте непрерывная функция равномерно непрерывна и стягивание наглядно.
А бесконечную плоскость наверное нельзя равномерно непрерывно стянуть в точку.

[Munin]

(Padawan)

Padawan в сообщении #380107 писал(а):

Мне не нравится, когда понятие подменяют чем-то более наглядным и скорее всего ошибочным.

Очень жаль. В физике постоянно так приходится делать. Я пытался это объяснить ещё одному джентльмену с принципиальной позицией, но не преуспел.

К кому тогда обращаться за помощью по математическим вопросам, если все такие принципиальные?

[Bulinator]

Ales в сообщении #380125 писал(а):

Ваш пример не непрерывная функция, ведь это полярные координаты и угол в $2\pi $ должен попасть туда же куда и ноль.

Тогда $(x,y)\mapsto(1+(t-1)x,1+(t-1)y)$.

Ales в сообщении #380125 писал(а):

А бесконечную плоскость наверное нельзя равномерно непрерывно стянуть в точку.

Так ведь $ \arctan$ же стягивает. Что не так? (См. пост выше)

[Ales]

Bulinator в сообщении #380146 писал(а):

Ales в сообщении #380125 писал(а):

Ваш пример не непрерывная функция, ведь это полярные координаты и угол в $2\pi $ должен попасть туда же куда и ноль.

Тогда $(x,y)\mapsto(1+(t-1)x,1+(t-1)y)$.

Ales в сообщении #380125 писал(а):

А бесконечную плоскость наверное нельзя равномерно непрерывно стянуть в точку.

Так ведь $ \arctan$ же стягивает. Что не так? (См. пост выше)

Чтобы сделать гомотопию, надо начать с тождественного отображения плоскости в себя и непрерывно перейти к отображению плоскости в окружность. А Вы с помощью арктангенса сразу перескочили из бесконечности в конечную область.

Ваш пример должен доказать, что плоскость с дыркой стягивается в точку?
Напрасно стараетесь: это не так. Каждый такой пример будет содержать ошибку.
Здесь точка с координатами (1,1) при $t=0$ попадает в ноль.

[Munin]

Ales в сообщении #380168 писал(а):

Ваш пример должен доказать, что плоскость с дыркой стягивается в точку? Напрасно стараетесь: это не так. Каждый такой пример будет содержать ошибку.

$(r,\phi) \to (r(1-t),\phi), t \in [0,1]$
Я не утверждаю, что здесь нет ошибки, я хочу посмотреть, как вы будете её указывать.

[Bulinator]

Ales в сообщении #380168 писал(а):

Чтобы сделать гомотопию, надо начать с тождественного отображения плоскости в себя и непрерывно перейти к отображению плоскости в окружность.

Вопрос:
Является ли диффеоморфизм многообразий частным случаем гомотопии?? Всмысле, если существует диффеоморфизм из $A$ в $B$ и, соответственно, обратно, можно сказать, что $A$ и $B$ гомотопически эквивалентны?

(Оффтоп)

(Блин, какой я умный:))))), по башке бы мне)

[Ales]

Bulinator в сообщении #380215 писал(а):

Ales в сообщении #380168 писал(а):

Чтобы сделать гомотопию, надо начать с тождественного отображения плоскости в себя и непрерывно перейти к отображению плоскости в окружность.

Вопрос:
Является ли диффеоморфизм многообразий частным случаем гомотопии?? Всмысле, если существует диффеоморфизм из $A$ в $B$ и, соответственно, обратно, можно сказать, что $A$ и $B$ гомотопически эквивалентны?

(Оффтоп)

(Блин, какой я умный:))))), по башке бы мне)

Конечно да. Смотрите определение эквивалентности: $g=f^{-1}$, $f^ {-1} \circ f =id$.
А Вы прочитали про гомотопию функций для начала?

[Bulinator]

Ales в сообщении #380223 писал(а):

А Вы выучили гомотопию функций для начала?

Ну как выучили? Я ее прочел. Именно на ней я основывался, когда писал свой пример.

Ales в сообщении #380223 писал(а):

Конечно да.

Тогда кольцо без границы диффеоморфно плоскости без точки. Следовательно, оно ему гомотопно. Тогда получается, что пример с арктангенсом правильный. Действительно, ведь если плоскость без точки гомотопно кольцу а кольцо гомотопно окружности, то и плоскость гомотопна окружности.
Точно! Ведь, согласно определению, если $A$ гомотопно $B$ а $B$ гомотопно $C$ то и $A$ гомотопно $C$.

Да, кстати, я все таки не понял чем неправильно мое определение гомотопии? Разве я его неправильно пересказал?

Bulinator в сообщении #380057 писал(а):

Берем многообразие $C\supset B$. Далее, отображаем поточечно $A$ в $C$ с помощью отображения $g$ зависящего от некоторого параметра $t\in[0,1]$. Далее, Если можно нарисовать такое обратимое $g(t)$, что $\lim\limits_{t\mapsto 1} g(t)A=B$, то скажем, что $A$ и $B$ гомотопны.

Опять же, воспользуемся определением из Википедии:

Цитата:

Given two spaces X and Y, we say they are homotopy equivalent or of the same homotopy type if there exist continuous maps f : X → Y and g : Y → X such that g ∘ f is homotopic to the identity map idX and f ∘ g is homotopic to idY.

Что такое g ∘ f is homotopic to the identity map?
Воспользуемся определением гомотопии функций:

Цитата:

Formally, a homotopy between two continuous functions f and g from a topological space X to a topological space Y is defined to be a continuous function H : X × [0,1] → Y from the product of the space X with the unit interval [0,1] to Y such that, if x ∈ X then H(x,0) = f(x) and H(x,1) = g(x).

Это значит, что существует семейство функций $h_t(x):\quad h_0(x)=f\circ g$, такое, что $\lim\limits_{t\mapsto 1}h_t(x)=id_X$.
Тут надо оговориться, что это семейство непрерывно по параметру $t$. Что значит непрерывное семейство, думаю, интуитивно понятно.

Теперь, это семейство, у меня арктангенс(У него есть единственное обратное преобразование). Что не так-то?

[Ales]

Munin в сообщении #380185 писал(а):

Ales в сообщении #380168 писал(а):

Ваш пример должен доказать, что плоскость с дыркой стягивается в точку? Напрасно стараетесь: это не так. Каждый такой пример будет содержать ошибку.

$(r,\phi) \to (r(1-t),\phi), t \in [0,1]$
Я не утверждаю, что здесь нет ошибки, я хочу посмотреть, как вы будете её указывать.

Если формально, то радиус не должен быть равен нулю.
А не строго - стянули в точку которая выколота, нельзя.

-- Чт ноя 25, 2010 11:00:56 --

Bulinator в сообщении #380225 писал(а):

Что значит непрерывное семейство, думаю, интуитивно понятно.

Как раз не верно. Есть просто непрерывность по двум переменным и есть равномерная непрерывность.
Для гомотопии нужно первое, а Вы пытаетесь добавить более сильное условие равномерной непрерывности (сходимости).

[Bulinator]

Ales в сообщении #380226 писал(а):

Для гомотопии нужно первое, а Вы пытаетесь добавить более сильное условие равномерной непрерывности (сходимости).

Не верю!(Но и не утверждаю обратного.) Отображения должны быть гомотопны единичному. Т.е. если взять кривую, она должна равномерно стянуться в точку. А в Вашем примере кривая(прямая) $\varphi=1$ остается прямой для $\forall t\neq 1$ а потом, хлоп!! и переходит в точку.

[Ales]

Bulinator в сообщении #380232 писал(а):

Ales в сообщении #380226 писал(а):

Для гомотопии нужно первое, а Вы пытаетесь добавить более сильное условие равномерной непрерывности (сходимости).

Не верю!(Но и не утверждаю обратного.) Отображения должны быть гомотопны единичному. Т.е. если взять кривую, она должна равномерно схлопнуться в точку. А в Вашем примере кривая(прямая) $\varphi=1$ остается прямой для $\forall t\neq 1$ а потом, хлоп!! и переходит в точку.

Тем не менее, определение не содержит требование равномерной непрерывности.
Вы же сами его привели. Где там равномерная непрерывность?

Ваш пример со стягиванием открытого колечка в окружность: почему Вас не смущает исчезновение границы колечка при переходе к тождественному отображению? это топологически то же самое.