Об использовании математических понятий в физике

[nestoklon]

ewert в сообщении #375344 писал(а):

Непонятно, как могут физики игнорировать соображения инвариантности.

Физики игнорируют не инвариантность, а весьма нетривиальное понятие "дифоператор".
Большинство законов в интегральном виде нагляднее чем в дифференциальном. Благодаря Гауссу-Остроградскому с точки зрения математики разницы никакой. Почему с точки зрения математиков разница есть -- мне непонятно.

[ewert]

nestoklon в сообщении #375350 писал(а):

весьма нетривиальное понятие "дифоператор"

Боитесь слов "дифференциальный оператор" -- используйте "дифференциальное выражение", всего-то и делов, в даннном контексте это одно и то же. При этом дифференцирование -- операция гораздо более простая с любой точки зрения, чем интегрирование.

nestoklon в сообщении #375350 писал(а):

Почему с точки зрения математиков разница есть -- мне непонятно.

Потому, что переход от дифференциальных соотношений к интегральным проще, чем наоборот, и уж во всяком случае не требует маловразумительных размахиваний руками. Вот тут, к примеру, никто так толком и не объяснил, почему определение дивергенции через поток вообще осмысленно. По крайней мере на моей памяти.

[Ales]

ewert в сообщении #375344 писал(а):

Ales в сообщении #375270 писал(а):

непонятно зачем вводится такое определение и зачем эта дивергенция вообще нужна.

Затем, чтоб была инвариантность относительно поворотов. Есть ровно три естественных и напрашивающихся варианта инвариантных дифоператоров: градиент, дивергенция и ротор. Непонятно, как могут физики игнорировать соображения инвариантности.

В начале были поток и циркуляция, а потом уже появились дивергенция и ротор.
Если вводить понятия в обратном порядке то пропадает естественная мотивировка.
Мотивировка что де эти операции вводятся по причине их инвариантности относительно поворота не честная,
они как раз вводятся совсем по другой причине - ради физики, а не ради алгебры.

Операция взятия дивергенции инвариантна относительно группы преобразований сохраняющих объем, а не только относительно поворотов. Операции ротора и градиента инвариантны только при движениях.

-- Пн ноя 15, 2010 12:44:08 --

Дивергенция - способ расчета потока.
Поэтому единственно разумный способ введения этого понятия - через поток.
А вычислить в точке ее можно по формуле $\nabla v$.

[Alex-Yu]

ewert в сообщении #375353 писал(а):

Боитесь слов "дифференциальный оператор"

Во-первых физики не боятся ничего. Даже пространств комплексной размерности

-- Пн ноя 15, 2010 16:59:07 --

ewert в сообщении #375353 писал(а):

Потому, что переход от дифференциальных соотношений к интегральным проще,

Во-вторых какая разница что проще??? Проще всего вообще ничего не делать Важно что более содержательно, а что менее содержательно. У чего есть ясный физический смысл, а у чего этого смысла нет. Кстати, у строгой математической дивергенции, если уж быть пуристом, физического смысла вообще нет. Потому что сколь угодно малые растояния это вообще бессмыслица физически. Но физики умеют такие проблемы обходить.

-- Пн ноя 15, 2010 17:05:43 --

ewert в сообщении #375353 писал(а):

Вот тут, к примеру, никто так толком и не объяснил, почему определение дивергенции через поток вообще осмысленно. По крайней мере на моей памяти.

Осмысленно с позиции довольно произвольных правил, выдуманных математиками? Да нам, физикам это вообще по барабану, в извесной мере Хотя мы этим и интересуемся для общего развития. Вдруг пригодится когда-нибудь зачем-нибудь Вот только трудно припомнить чтобы действительно пригодилось хоть когда-нибудь

[ewert]

Ales в сообщении #375355 писал(а):

Операции ротора и градиента инвариантны только при движениях.

Этого и достаточно (кстати, ротор не вполне инвариантен, но и это и естественно, и достаточно).

Ales в сообщении #375355 писал(а):

В начале были поток и циркуляция, а потом уже появились дивергенция и ротор.

Мало ли что когда было. Вы вновь стеснительно размахиваете руками вместо чтоб чётко сказать, почему Ваше определение дивергенции осмысленно. И как потом из него вытянуть дифференциальное выражение.

[Alex-Yu]

ewert в сообщении #375367 писал(а):

вместо чтоб чётко сказать,

Командовать будете в своей науке, в математике. Ничего такого мы говорить не будем, для НАШИХ целей это не надо. Я, естественно, несколько утрирую.

[ewert]

Alex-Yu в сообщении #375369 писал(а):

для НАШИХ целей это не надо

Тогда зачем Вы вообще ввязались в этот разговор? Только для того, чтобы сказать: "для НАШИХ целей чёткого понимания не нужно, мы мыслим исключительно смутными предчувствиями, но вам тайну сих предчувствий раскрывать не станем?"...

[Alex-Yu]

ewert в сообщении #375373 писал(а):

Тогда зачем Вы вообще ввязались в этот разговор?

Это не я ввязался, это Вы ввязались. Когда я объяснял молодому человеку как получить уравнение теплопроводности. Вообще физикам от математиков, по большому счету, ничего не надо. Вообще. Мы и сами умеем строить нужный нам (квази)математический аппарат.

-- Пн ноя 15, 2010 17:29:56 --

ewert в сообщении #375373 писал(а):

но вам тайну сих предчувствий раскрывать не станем?"...

Ну почему же "не станем" Я Вам говорил: "отложите в сторонку все, чему Вы учились в математике, и начните изучать физику". Тогда тайна перестанет быть тайной. На сколько это вообще возможно при изучении РЕАЛЬНОГО (а не придуманного) мира. Не хотите откладывпать -- воля Ваша. Но тогда о физике вообще не рассуждайте, обратитесь к бурбакизму. А рассуждать о том что нужно для физики, что ненужно, при этом не зная физику практически вообще, это просто смешно, уж извините.

[worm2]

Придумал тест: "Кто Вы — математик или физик?". Из одного вопроса.

Таблично задана (измерена) функция y=f(x):
x y
----
1 1
2 2
3 3
Известно, что погрешность y = 0.5.
Оцените производную функции f в точке 2.

Типичные ответы математика: не знаю; не хватает данных; задача некорректна (возможно приведение некоторых корректных формулировок).
Типичные ответы физика: 1; около единицы; 0.5—1.5 (возможна меньшая оценка погрешности, но конкретные цифры всегда будут).

[ewert]

Alex-Yu в сообщении #375375 писал(а):

Мы и сами умеем строить нужный нам (квази)математический аппарат.

Не умеете. Вы не отдаёте себе отчёта в смысле своих формальных манипуляций, и даже не отдаёте отчёта в том, что не отдаёте.

Хорошо, объясню, что с вами происходит. Вы прекрасно знаете, что такое дивергенция, и что такое теорема Остроградского-Гаусса, и что на основании этой теоремы дивергенция есть предел отношения потока к объёму. После чего у вас происходит логический заскок и вы начинаете думать, что именно так дивергенцию можно определить. То, что этот предел как исходное определение нукуда не годится в силу своей изначальной бессмысленности -- вам просто не приходит в голову. Что для физиков вполне естественно: поскольку их предмет деятельности -- не математика, им, в общем, достаточно набора ранее вызубренных фактов и не очень важна внутренняя логика их появления. Для вас как уже сложившихся профессионалов это вполне безобидно. Но детей-то зачем сбивать с толку?... Зачем впаривать им совершенно извращённую логику и приучать мыслить нечёткими и бессознательными категориями?...

[nestoklon]

ewert в сообщении #375353 писал(а):

Боитесь слов "дифференциальный оператор"

Да нет, не боюсь. Просто "а зачем?"... Вам проще. Кому-то сложнее. Кому что проще из двух эквивалентных рассмотрений -- это вопрос вкуса. Вы утверждаете, что ваша точка зрения -- истина в последней инстанции. Это не так.

ewert в сообщении #375353 писал(а):

Потому, что переход от дифференциальных соотношений к интегральным проще, чем наоборот,

Чем проще?

(Оффтоп)

Чем наоборот? (с)

[Alex-Yu]

worm2 в сообщении #375377 писал(а):

но конкретные цифры всегда будут).

Как однажды писал Фейнман, "если Вы не получили число, то Вы не получили вообще ничего". По памяти, потому дословную точность цитаты не гарантирую.

-- Пн ноя 15, 2010 17:47:14 --

ewert в сообщении #375380 писал(а):

Хорошо, объясню, что с вами происходит. Вы прекрасно знаете, что такое дивергенция, и что такое теорема Остроградского-Гаусса, и что на основании этой теоремы дивергенция есть предел отношения потока к объёму.

Ну с какой такой радости "на основании теоремы"??? Просто предел отношения, по определению. И не надо мне расказывать, что предел может быть или не быть. Я и сам знаю. Даже могу Вас "подначить": а в какой топологии предел? В дискрентной топологии так вообще все сходится всегда. Сейчас вы мне начнете расказывать про Хаусдорфа... Не надо, я и сам знаю

-- Пн ноя 15, 2010 17:48:53 --

ewert в сообщении #375380 писал(а):

вам просто не приходит в голову.

А Вы мне в голову заглядывали чтоли? Эк какие вы наивные, господа математики...

-- Пн ноя 15, 2010 17:52:03 --

ewert в сообщении #375380 писал(а):

То, что этот предел как исходное определение нукуда не годится в силу своей изначальной бессмысленности

Во как! А в производной передел не подразумевается наверное... Я знаю, что можно и алгебраически, без предела, но кто как не Вы меня грузили этим самым пределом в производной???

[nestoklon]

ewert в сообщении #375380 писал(а):

им, в общем, достаточно набора ранее вызубренных фактов

Проблема в том, что недостаточно. Математики, к сожалению, редко выдумывают что-то, что прямо в таком виде можно использовать. Как правило, то, что придумывают математики, никому на фиг не нужно. Зачем это ещё и зубрить? Хотя математики ценны тем, что могут формализовать некоторые нетривиальные идеи, найти в них подводные камни, объяснить (хотя с этим бывают сложности), что с этой хренью лучше не делать и почему. Но чтоб математики сами придумали что-то, что достойно заучивать -- я вас умоляю.

[ewert]

nestoklon в сообщении #375387 писал(а):

Как правило, то, что придумывают математики, никому на фиг не нужно. Зачем это ещё и зубрить? Хотя математики ценны тем, что могут формализовать некоторые нетривиальные идеи,

Да никто не заставляет вас зубрить формальные доказательства. Если есть теорема О.-Г., то тогда существование предела интуитивно очевидно, и заморачиваться с формальным доказательством этого факта особого смысла действительно нет. Но -- только тогда. Изначально же существование предела для поверхностного интеграла неочевидно совершенно. А если кому-то кажется очевидным -- то он просто не понимает, о чём говорит.

Alex-Yu в сообщении #375382 писал(а):

в производной передел не подразумевается наверное...

Вы снова не в ладах с логикой. В производной предел существует просто по определению дифференцируемой функции. Вот если бы Вы начали аналогично со слов типа: "назовём векторное поле дивергируемым, если для него существует предел отношения поверхностного интеграла к объёму..." -- то к Вам формально никто бы не смог придраться. Но посмотрел бы на Вас странно...

Alex-Yu в сообщении #375382 писал(а):

Я и сам знаю. Даже могу Вас "подначить": а в какой топологии предел? В дискрентной топологии так вообще все сходится всегда. Сейчас вы мне начнете расказывать про Хаусдорфа... Не надо, я и сам знаю

Что Вы знаете? -- если даже не понимаете, что топология не имеет отношения к предмету разговора, ибо подразумевается?

[Alex-Yu]

ewert в сообщении #375388 писал(а):

что топология не имеет отношения к предмету разговора, ибо подразумевается?

Подразумевается но при этом не имеет отношения. Все, мне достаточно. Такая "логика" мне не нужна.

-- Пн ноя 15, 2010 18:48:59 --

ewert в сообщении #375380 писал(а):

Но детей-то зачем сбивать с толку?...

Зачем? Затем, чтобы самолеты летали, автомобили ездили и т.д. И чтобы интрнет форумы работали в том числе. А на этих форумах математики-пуристы могли бы разглогольствовать о вещах, ненужных никому, кроме их самих.