Об использовании математических понятий в физике

[Bulinator]

Alex-Yu в сообщении #375382 писал(а):

Просто предел отношения, по определению.

Очень напоминает

Золотой теленок писал(а):

-- А вдруг они не золотые? - спросил любимый сын
лейтенанта, которому очень хотелось, чтобы Паниковский возможно
скорее развеял его сомнения.
-- А какие ж они, по-вашему? -- иронически спросил
нарушитель конвенции.

[Ales]

ewert в сообщении #375367 писал(а):

кстати, ротор не вполне инвариантен,

Это почему же? Что значит "не вполне"?
Может Вы имеете в виду "с точностью до умножения на -1".
Инвариантен при движении, сохраняющем ориентацию.


Что до дивергенции, то я не могу понять Вашу позицию.

[ewert]

Ales в сообщении #375413 писал(а):

Инвариантен при движении, сохраняющем ориентацию.

Ну тут возможны недоразумения с терминологиеё. Движениями в математике называют ортогональные преобразования вообще, т.е. не только повороты. но и отражения.

Ales в сообщении #375413 писал(а):

Что до дивергенции, то я не могу понять Вашу позицию.

Очень простая позиция. Дивергенцию нельзя изначально определять как отношение. Поскольку к поверхностному интегралу (в отличие от тройного) неприменимы соображения непрерывности -- подынтегральная функция меняется вдоль замкнутой поверхности не мало при сколь угодно малых размерах области. Потом, после теоремы Остроградского-Гаусса -- ради бога, можно и переопределить. А до тех пор -- нельзя, и кто этого не понимает -- тот пытается что-то определять, не приходя в сознание.

[Ales]

ewert в сообщении #375418 писал(а):

Очень простая позиция. Дивергенцию нельзя изначально определять как отношение. Поскольку к поверхностному интегралу (в отличие от тройного) неприменимы соображения непрерывности -- подынтегральная функция меняется вдоль замкнутой поверхности не мало при сколь угодно малых размерах области. Потом, после теоремы Остроградского-Гаусса -- ради бога, можно и переопределить. А до тех пор -- нельзя, и кто этого не понимает -- тот пытается что-то определять, не приходя в сознание.

Согласен.

Но на мой взгляд, надо сначала выучить теорему Гаусса-Остроградского, применить ее к потоку и то что получилось под интегралом назвать дивергенцией.
Дивергенция - расхождение.
Если же у Вас по программе векторный анализ впереди теоремы Гаусса-Остроградского (Стокса), то будут проблемы с пониманием и мотивацией. В таком случае ничего не остается, как давать формальные определения через операции с вектором Гамильтона.

-- Пн ноя 15, 2010 16:20:19 --

ewert в сообщении #375418 писал(а):

не только повороты. но и отражения.

Я, честно, забыл про отражения: привык к ориентированным движениям.

[ewert]

Ales в сообщении #375430 писал(а):

Если же у Вас по программе векторный анализ впереди теоремы Гаусса-Остроградского (Стокса), то будут проблемы с пониманием и мотивацией.

Дивергенция и ротор идут в любом варианте программы перед теоремами Остроградского-Гаусса и Стокса -- иначе эти теоремы просто не сформулируешь. Только по каким-то нелепым причинам сохраняется традиция не называть в этом месте дивергенцию с ротором по имени, а использовать PQR-обозначения. И вот тогда действительно не будет ни мотивации, ни понимания. Если с дивергенцией ситуация ещё сравнительно мягкая (там и запись короче, и доказательство достаточно напрашивающееся, только непонятно зачем всё это), то формула Стокса в развёрнутом виде выглядит сплошной абракадаброй.

[Munin]

ewert в сообщении #375353 писал(а):

При этом дифференцирование -- операция гораздо более простая с любой точки зрения, чем интегрирование.

Протестую, как и уже протестовал. Дифференцирование сложнее. Ваши заявления про "любые точки зрения" начинают надоедать: перестаньте приписывать всему окружающему миру свойства своей колокольни.

ewert в сообщении #375353 писал(а):

Потому, что переход от дифференциальных соотношений к интегральным проще, чем наоборот

Вот тут не спорю, и считаю, что именно это и подтверждает, что интегрирование проще, чем дифференцирование.

ewert в сообщении #375380 писал(а):

Не умеете. Вы не отдаёте себе отчёта в смысле своих формальных манипуляций, и даже не отдаёте отчёта в том, что не отдаёте.

Всё дело в том, что наши манипуляции, в отличие от ваших - не формальны. Они содержательны. Есть такая вещь, как вода, и можно заметить, что сколько её втекает (скажем, через соломинку), столько и вытекает (через поверхность, окружающую кончик соломинки). Есть такая вещь, как заряд, и такая вещь, как напряжённость поля (тоже, вообще говоря, условно есть, померять мы можем, например, разность потенциалов). И так далее. То, что они связаны между собой какими-то численными соотношениями - заслуга физиков, а не математиков. А математики тут выступают чуть ли не в дурной роли философов: объясняют другим людям, что же это другие люди на самом деле делают.

ewert в сообщении #375388 писал(а):

Изначально же существование предела для поверхностного интеграла неочевидно совершенно.

Так это и не проблема, как вам уже было неоднократно сказано. Пускай он не существует. Тогда в тех случаях, когда он существует, мы будем говорить про дивергенцию, а когда не существует - про что-то другое. У нас задача такая: сказать что-то содержательное при любом раскладе.

ewert в сообщении #375388 писал(а):

топология не имеет отношения к предмету разговора, ибо подразумевается?

Простите, заявлять, что топология подразумевается, примерно столь же наивно, как, глядя на набор экспериментальных точек, заявлять, что тут априорно подразумевается непрерывная гладкая функция. Я думал, мы это с вами уже проходили.

ewert в сообщении #375418 писал(а):

Дивергенцию нельзя изначально определять как отношение. Поскольку к поверхностному интегралу (в отличие от тройного) неприменимы соображения непрерывности -- подынтегральная функция меняется вдоль замкнутой поверхности не мало при сколь угодно малых размерах области.

Так вот в чём, оказывается, была проблема! Так я вам скажу, что мало меняется. Выражение $(\mathbf{E}-\mathbf{E}_0)\mathbf{n},$ где $\mathbf{E}_0$ - величина векторного поля в точке, к которой стягивается поверхность, а $\mathbf{n}$ - единичный вектор от этой точки к точке поверхности. Так сгодится?

[Ales]

ewert в сообщении #375438 писал(а):

Ales в сообщении #375430 писал(а):

Если же у Вас по программе векторный анализ впереди теоремы Гаусса-Остроградского (Стокса), то будут проблемы с пониманием и мотивацией.

Дивергенция и ротор идут в любом варианте программы перед теоремами Остроградского-Гаусса и Стокса -- иначе эти теоремы просто не сформулируешь. Только по каким-то нелепым причинам сохраняется традиция не называть в этом месте дивергенцию с ротором по имени, а использовать PQR-обозначения. И вот тогда действительно не будет ни мотивации, ни понимания. Если с дивергенцией ситуация ещё сравнительно мягкая (там и запись короче, и доказательство достаточно напрашивающееся, только непонятно зачем всё это), то формула Стокса в развёрнутом виде выглядит сплошной абракадаброй.

Это потому что не учат внешние формы. С внешними формами все легко получается.
Но зато к самим внешним формам надо сперва привыкнуть.
Я сам, когда мехмат закончил, про внешние формы ничего не знал - не пользовались ими, хотя в программе они были.
Запомнил только то, что меня удивило, что теорема Стокса $\int_{\delta S} \omega=\int_S d\omega$доказывается в несколько строк.
Потом, прочитал книгу В.И. Арнольда "Математические методы теоретической механики" и научился пользоваться формами.

[Munin]

ewert в сообщении #375438 писал(а):

Дивергенция и ротор идут в любом варианте программы перед теоремами Остроградского-Гаусса и Стокса -- иначе эти теоремы просто не сформулируешь.

Вы, совершенно случайно, не путаете математические теоремы Гаусса и Стокса с одноимёнными физическими? Математические формулируются в терминах дивергенции и ротора, физические - в терминах заряда и тока.

[Ales]

Munin в сообщении #375443 писал(а):

Протестую, как и уже протестовал. Дифференцирование сложнее.

Дифференцирование тривиально алгебраически.
Интегрирование - нахождение прообраза, решается в общем случае только через степенные ряды.

Может быть есть точки зрения, с которой интегрирование проще, но только не с точки зрения алгебраиста.

[Munin]

Ales в сообщении #375451 писал(а):

Может быть есть точки зрения, с которой интегрирование проще, но только не с точки зрения алгебраиста.

Вот в этом и проблема, что физики - совсем не алгебраисты. Кстати, ближе всего они, как мне кажется, к геометрам.

P. S. Свой взгляд на интеграл и интегрирование я изложил в post372682.html#p372682 и в окрестностях, с этого, по сути, начался ожесточённый спор, породивший данную тему :-)

[ewert]

Munin в сообщении #375443 писал(а):

Тогда в тех случаях, когда он существует, мы будем говорить про дивергенцию, а когда не существует - про что-то другое.

Плохо. Это вводит ненужную классификацию полей и тем самым затуманивает дело, посколько дивергенция существует во всех гладких случаях.

Munin в сообщении #375443 писал(а):

Простите, заявлять, что топология подразумевается, примерно столь же наивно,

Топология в рассматриваемом вопросе по определению евклидова, и заводить про неё речь нелепо.

Munin в сообщении #375443 писал(а):

Так я вам скажу, что мало меняется. Выражение $(\mathbf{E}-\mathbf{E}_0)\mathbf{n},$ где $\mathbf{E}_0$ - величина векторного поля в точке, к которой стягивается поверхность, а $\mathbf{n}$ - единичный вектор от этой точки к точке поверхности. Так сгодится?

Не сгодится: нормаль (а с ней и скалярное произведение) сильно меняется вдоль поверхности, причём принципиально сильно. Тут размахиванием руками не отделаешься.

А-а, я не сразу обратил внимание. Вы, оказывается, пытаетесь обосновать возможность замены вектора напряжённости на предельный. Ну это совсем никуда не годится, просто-напросто результат неверный выйдет. У Вас любая дивергенция окажется равной нулю.

Munin в сообщении #375446 писал(а):

Вы, совершенно случайно, не путаете математические теоремы Гаусса и Стокса с одноимёнными физическими?

Не путаю -- это не имеет значения.

Ales в сообщении #375445 писал(а):

Это потому что не учат внешние формы. С внешними формами все легко получается.

Всех всему не научишь. Для курса общей физики внешние формы не нужны. И в любом случае не с них надо начинать.

Ales в сообщении #375451 писал(а):

Дифференцирование тривиально алгебраически. Интегрирование - нахождение прообраза, решается в общем случае только через степенные ряды.

Почему именно через ряды, много как решается. Но речь не об этом (не о конкретных вычислениях). Понятие интеграла логически сложнее.

[Munin]

ewert в сообщении #375497 писал(а):

Плохо. Это вводит ненужную классификацию полей и тем самым затуманивает дело, посколько дивергенция существует во всех гладких случаях.

Это для вас такая классификация может быть "ненужной". В физике она, напротив, остро необходима. Насчёт затуманивания - тоже, опять ваша личная колокольня. Ну постарайтесь хоть немного от неё абстрагироваться, хотя бы примириться с существованием чужих колоколен.

ewert в сообщении #375497 писал(а):

Топология в рассматриваемом вопросе по определению евклидова, и заводить про неё речь нелепо.

Я сильно надеюсь, что вы не перепутали топологию с метрикой. Как раз здесь имеет место ситуация, которую, боюсь, ни один математик, кроме очень воспитанных, смелых, и готовых к восприятию нового, проглотить не сумеет: наше пространство евклидово, но не имеет ничего похожего на топологию $E^3.$ "Евклидово" оно только в том смысле, что выполняется теорема Пифагора, связывающая расстояние между точками с разностями их координат. А никакой непрерывности, полноты, гладкости множества точек нет и в помине - и физикам оно и не нужно.

ewert в сообщении #375497 писал(а):

Не сгодится: нормаль (а с ней и скалярное произведение) сильно меняется вдоль поверхности, причём принципиально сильно. Тут размахиванием руками не отделаешься.А-а, я не сразу обратил внимание. Вы, оказывается, пытаетесь обосновать возможность замены вектора напряжённости на предельный. Ну это совсем никуда не годится, просто-напросто результат неверный выйдет. У Вас любая дивергенция окажется равной нулю.

Не заметили вы другого. $\mathbf{n}$ - не нормаль к поверхности, это направление из точки стягивания. А заменять я ничего не предлагаю, я предлагаю только малую величину, как вы и просили. Когда она разделится на другую малую величину (диаметр), дивергенция окажется не нулевой.

ewert в сообщении #375497 писал(а):

Не путаю -- это не имеет значения.

Ну вот! А что же имеет значение? Они как раз и отличаются тем, что в одной версии фигурирует объект, к существованию которого вы предъявляете претензии (дивергенция), а в другой - просто скалярная функция.

ewert в сообщении #375497 писал(а):

Для курса общей физики внешние формы не нужны.

Это вы заявляете как большой специалист по составлению программы курса общей физики? То, что его излагают через векторы, а не через формы - всего лишь традиция, и ряд неглупых людей как раз пытается эту традицию сломать.

ewert в сообщении #375497 писал(а):

И в любом случае не с них надо начинать.

Снова ваша личная колокольня.

ewert в сообщении #375497 писал(а):

Но речь не об этом (не о конкретных вычислениях).

В физике всегда речь о конкретных вычислениях.

[Alex-Yu]

ewert в сообщении #375497 писал(а):

Плохо. Это вводит ненужную классификацию полей и тем самым затуманивает дело, посколько дивергенция существует во всех гладких случаях.

И что из того? В физике обычно подразумевается бесконечная дифференцируемость, причем не в точке, а в окрестности. Все такие поля "дивергируемы". Доказывается так просто, что и обсуждать не хочется.

-- Пн ноя 15, 2010 23:11:11 --

ewert в сообщении #375497 писал(а):

Топология в рассматриваемом вопросе по определению евклидова

Вообще-то речь шла о топологии на множестве функций

-- Пн ноя 15, 2010 23:19:16 --

Munin в сообщении #375477 писал(а):

Вот в этом и проблема, что физики - совсем не алгебраисты.

Думаю, физик должен уметь мыслить по разному. И так и эдак. Хотя вот я скорее склонен к алгебре, но обычно вынужден рассуждать геометрически.

[Munin]

ewert в сообщении #375497 писал(а):

Понятие интеграла логически сложнее.

Лично мне, например, понятие произведения цепи на коцепь проще, чем взятие кограницы от коцепи. Собственно, второе иногда и определяется через первое :-)

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #375443 писал(а):

А математики тут выступают чуть ли не в дурной роли философов: объясняют другим людям, что же это другие люди на самом деле делают.

Если бы математики ставили своей цель ОБЪЯСНЕНИЕ... Меня вот весьма беспокоит то, что я точно знаю, что все функции не дифференциремые ни разу и даже не непрерывны. Тем не менее, считаю их вообще аналитическими и при этом все получается. Почему? Я объяснения хочу, а не "надменной позиции перста указующего". Впрочем я сам догадываюсь почему... А что же делать, если математикам вообще недоступен (обычно) вопрос "почему"...