Об использовании математических понятий в физике

[Munin]

Bulinator в сообщении #375207 писал(а):

Сомневаться в определении?? Я напрмер не сомневаюсь, что то, что я сейчас жую назывется яблоком.

Ну, это вы зря. Вы же претендуете быть физиком? Вот и подумайте об определении, например, электрона. Сначала были катодные лучи. Потом бета-лучи. Это эксперимент. Одновременно была теоретическая идея, что во всех атомах всех веществ есть какая-то загадочная заряженная субстанция, обуславливающая электростатику, проводимость и магнетизм, судя по электрохимии - "квантованная", а по смелым идеям - ещё и механически колеблющаяся. Потом был фотоэффект, ионизация газов, и ещё много-много всякого, что привело в конечном счёте к "определению", что электрон - это такая лёгкая заряженная частичка. Однако с его ролью в атоме всё равно были непонятки, и через пару десятилетий определение сменилось: электрон - это уже квантовая частичка. Очень скоро на это определение навесили спин, статистику, потом позитроны, и наконец, получилось, что электрон - это квант дираковского поля. Причём это определение уже весьма теоретическое, а экспериментаторам оно по барабану, для них электрон - это то, что можно извлечь из катода нагревом или освещением, а потом играть с ним в вакууме по определённым правилам, а при больших энергиях - и сквозь вещество пропускать, наконец улавливая тем или иным детектором. Но и потом прогресс не стоял на месте, для слабых взаимодействий электрон - это правая половинка электрона и левая половинка электрона, и вообще член мультиплета по поколениям.

Разве можно всё это считать следованием одному раз и навсегда наперёд заданному определению?

-- 14.11.2010 21:50:07 --

Bulinator в сообщении #375213 писал(а):

$\frac{\partial A^i}{\partial x^i}$ называется дивергенцией.

Сталбыть, если координат нет, дивергенции тоже нет? А если координат бесконечно много, и сумму определить математика не позволяет? А если $A^i$ не гладкая, например, на заряженном листке?

[Bulinator]

Alex-Yu в сообщении #375217 писал(а):

Как раз наоборот здесь трактор называется трактором а не механизмом.

Alex-Yu
Можете сформулировать теорему Гаусса Остроградского? Словами.

-- Вс ноя 14, 2010 22:52:29 --

Munin в сообщении #375219 писал(а):

А если $A^i$ не гладкая, например, на заряженном листке?

Тогда скажем, что дивергенции не существует. Можно говорить только о потоке или о чем-нибудь еще. Но не о дивергенции.

-- Вс ноя 14, 2010 22:58:14 --

Munin в сообщении #375219 писал(а):

Вот и подумайте об определении, например, электрона.

Электрон, это не понятие введенное человеком. Он есть, независимо от того, изучаем мы его или нет.Мы предполагаем, что все электроны одинаковые. Отчего и можем называть их электронами. Строго говоря, это может быть и не так. Тогда мы введем понятие электрон первого типа, второго и.т.д. Чтобы разговаривая понимали друг друга.
А понятие дивергенция была введена человеком и оно однозначно.

[Alex-Yu]

Bulinator в сообщении #375224 писал(а):

Можете сформулировать теорему Гаусса остроградского? Словами.

Запросто. Поток вектора через поверхность большого объема равен сумме потоков через поверхости малых объемов, на которые большой объем разбивается. Даже не теорема, а нечто самоочевидное т.к. внутренние поверхности считаются по два раза но с разным знаком Причем, заметьте, я обошелся без дивергенции.

[Bulinator]

Alex-Yu в сообщении #375236 писал(а):

Поток вектора через поверхность большого объема равен сумме потоков через поверхости малых объемов, на которые большой объем разбивается.

Это не теорема ГУ. Это, как Вы правильно выразились

Alex-Yu в сообщении #375236 писал(а):

Даже не теорема, а нечто самоочевидное т.к. внутренние поверхности считаются по два раза но с разным знаком:-)

[Alex-Yu]

Bulinator в сообщении #375224 писал(а):

А понятие дивергенция была введена человеком и оно однозначно.

А задумайтесь над некой проблемой (очень старой проблемой). Опеределить можно только слово через другие слова. А те, в свою очередь, через другие слова опять же. А где-то эта цепочка оборвется, или мы вынуждены ничего не знать до бесконечности?

-- Пн ноя 15, 2010 02:11:15 --

Bulinator в сообщении #375238 писал(а):

Это не теорема ГУ.

В содержательной части это в точности она. Остальное -- игра словами и символами.

-- Пн ноя 15, 2010 02:20:48 --

Bulinator в сообщении #375224 писал(а):

А понятие дивергенция была введена человеком и оно однозначно.

Тогда Вы математик

[Munin]

Bulinator в сообщении #375224 писал(а):

Тогда скажем, что дивергенции не существует.

Вы скажете. Тогда вы не физик, как правильно заметил Alex-Yu.

Bulinator в сообщении #375224 писал(а):

Электрон, это не понятие введенное человеком. Он есть, независимо от того, изучаем мы его или нет.

Это слишком самоуверенно. В конечном счёте оказалось, что есть независимо - только поле. А электрон - это всё-таки понятие, введённое человеком :-)

Bulinator в сообщении #375224 писал(а):

Мы предполагаем, что все электроны одинаковые. Отчего и можем называть их электронами.

Не-а. Биологи знают, что все жуки неодинаковые, но могут называть их жуками.

Bulinator в сообщении #375224 писал(а):

А понятие дивергенция была введена человеком и оно однозначно.

Если бы всё было так идеально, как вы описываете, жизнь была бы идеальной!.. и застывшей как в янтаре. Дивергенция - непростая вещь, посмотрите лучше на понятие производной. Оно было введено аж двумя людьми независимо, потом уточнялось и доопределялось - какая тут однозначность?

[ewert]

Munin в сообщении #375112 писал(а):

Что они будут маскировать - это отдельный вопрос, откладываемый на более поздние исследования.

Вовсе нет. Прежде чем чего-то там посчитать -- полезно подумать, а имеют ли хоть какой-то смысл ваши считания. Ну т.е. обладаете ли вы хоть минимальной математической культурой.

Засим отрубаюсь. "Вы ездиетя быстрее, чем я бегаю". В смысле мне за всеми накопившимися постами -- не уследить.

[Munin]

ewert в сообщении #375254 писал(а):

Вовсе нет. Прежде чем чего-то там посчитать -- полезно подумать, а имеют ли хоть какой-то смысл ваши считания. Ну т.е. обладаете ли вы хоть минимальной математической культурой.

Вовсе нет. В физике сначала считают, а потом по результатам уже смотрят, имеют ли хоть какой-то смысл эти считания. И если оказывается, что имеют, даже если по мнению математиков не имеют - значит, просто математики чего-то не доработали. Никаких претензий к математической культуре друг друга физики в таких ситуациях не выдвигают, а напротив, поздравляют с успехом.

Может, вам слегка с физикой познакомиться, хотя бы узнаете, сколько раз такое было? Векторный анализ, кстати, частный случай: его физик Хевисайд слепил для физических надобностей, потому что наличествовавшие на тот момент кватернионы его не устраивали. И придал уравнениям Максвелла современный вид (трёхмерный).

ewert в сообщении #375254 писал(а):

Засим отрубаюсь. "Вы ездиетя быстрее, чем я бегаю". В смысле мне за всеми накопившимися постами -- не уследить.

Ну, там накопившиеся посты немного в другую сторону заехали.

[nestoklon]

Bulinator в сообщении #375150 писал(а):

Эффект Ааронова-Бома- это выколотая из $R^2$ точка. Если интересно даже покажу как это делается.

Мне интересно. Особенно интересно, чем такое извращение лучше "классического" рассмотрения. И есть ли у него какой-нибудь физический смысл.

[Munin]

А мне интересно, чем оно не совпадает с "классическим" рассмотрением.

[Alex-Yu]

Bulinator в сообщении #375150 писал(а):

Тогда Гаусc-Остроградский-Стокс не работает и такое определение не совсем корректно.

Кстати весьма занятный пассаж. А я так всегда думал что теоремы основываются на определениях. Мол если определить так-то, то будет такая-то теорема. А вот чтобы наоборот... ИМХО это телега впереди лошади. Впрочем, мы, физики, народ непревередливый. Хоть спереди телега, хоть сзади, лишь бы содержательные и при этом не очевидно неправильные результаты были (с доказательствами разберемся, эксперимент поставим, другими способами посчитаем, может и "в математическом стиле" докажем, были бы). Вот только с последним-то у формалистов обычно как раз и "напряженка".

(Оффтоп)

З.Ы. Накал дискуссии достиг такого градуса, что сайт вырубился где-то на час, во всяком случае у меня. С этим же связан мой "двойной" пост (в последнем абзаце удвоение). Исправить уже не могу.

[Ales]

Bulinator в сообщении #375213 писал(а):

$\frac{\partial A^i}{\partial x^i}$ называется дивергенцией.

Верно, но если Вы заранее не знаете Теорему Гаусса-Остроградского, то непонятно зачем вводится такое определение и зачем эта дивергенция вообще нужна.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #375266 писал(а):

Кстати весьма занятный пассаж. А я так всегда думал что теоремы основываются на определениях. Мол если определить так-то, то будет такая-то теорема. А вот чтобы наоборот... ИМХО это телега впереди лошади.

А мне, так, нравится. Определение само по себе вещь произвольная: как хотим Буратину, так его и выстругаем. А теорема - это некоторое занятное свойство объекта, интересное и/или полезное. Так что вполне логично, чтобы определения подгонялись под теоремы.

[ewert]

Ales в сообщении #375270 писал(а):

непонятно зачем вводится такое определение и зачем эта дивергенция вообще нужна.

Затем, чтоб была инвариантность относительно поворотов. Есть ровно три естественных и напрашивающихся варианта инвариантных дифоператоров: градиент, дивергенция и ротор. Непонятно, как могут физики игнорировать соображения инвариантности.

[worm2]

Munin писал(а):

Так что вполне логично, чтобы определения подгонялись под теоремы.

Сразу подумалось про энергию