Ну значит, и синусов в физике нет, и косинусов. И каких-нибудь бесселей.
Вот я про это и говорил раньше, что вы "жульничаете". Сначала даёте поиграть с синусами, косинусами и бесселями, а потом обратно забираете. Нет уж, мы ими будем пользоваться, даже если вы не будете (для себя) их такими названиями называть.
Так вот: если какая-нибудь спецфункция задана таблично, то и дифференцировать её придётся разностно, и никуда не денешься, будь ты хоть трижды физиком. Кроме того, матмоделирование в физике, насколько мне известно, пока ещё никто не отменял, а там результаты счёта получаются обычно именно в табличной форме.
Ну да. И что. А ещё в физике никто теоретических моделей и расчётов не отменял. А решение уравнения теплопроводности, например, в изоляции вокруг круглого провода, описывается именно функциями Бесселя. Это можно записать и без численного моделирования, что сильно сэкономит машинное время, машинное масло и прочие народохозяйственные ресурсы (хотя затраты грифеля возрастут).
Не существует понятия "касательной" как точного, если она не определена через производную (не важно, в каких конкретно терминах).
Нет, это просто вы для себя решили, что одно понятие для вас "точное", а другие - "неточные". Из каких-то своих соображений решили, причём неабсолютных даже в рамках чистой математики. А для других те же оценки могут быть расставлены совсем иначе.
Т.е. можно дать чисто геометрическое определение для частного случая выпуклости, но это -- совсем не то, что требуется в физике.
Ну откуда вы-то знаете, что требуется в физике? :-) В физике требуется и то и другое. И чтобы линейку к графику можно было приложить, и чтобы, поиграв с буковками, аналитический ответ получить. И самое интересное - некоторые убедительные слова о том, что принципиально это одно и то же. Примерно как фон Нейман объединял квантовую механику Гейзенберга и Шрёдингера, так и два дифференциальных исчисления - графическое и символьное - тоже должны быть объединены в явном виде.
Существуют разные уровни строгости одного и того же определения.
Ну вот. Сдаёте позиции. Так не интересно спорить :-) В математике существует один уровень строгости: строгое. Всё остальное - это просто уже не в математике. По крайней мере, не в той математике, которую вы тут перед нами защищали: очищенной от смыслов и мотиваций, от любой семантики, кроме заданной определением.
Определения производной как отношения бесконечно маленьких приращений для физических целей вполне достаточно. Если, конечно, сознавать, что за этим стоит понятие предела
Вы знаете, Ньютон не сознавал, что за этим стоит понятие предела. Он и понятия-то предела не знал. Оно было несколько позже развито (не в последнюю очередь
на основе понятия производной). Проникнитесь, пожалуйста, этим фактом, и тем, что он нисколько не потерял в физике своей актуальности.
Если, конечно, сознавать... что этому понятию можно при необходимости придать формально точный смысл... Если же нет -- начинается бессознательная игра в буковки, чреватая фактическими ошибками.
Нет. Это для математиков началась бы бессознательная игра в буковки. Вам про это уже говорили: математикам нечем проверить свой результат, кроме подглядывания в ответы в конце задачника. А для физиков это было бы реальными вычислениями, невзирая на то, что у них может и не быть формально точного смысла. Да, чреватыми ошибками. Но ошибки можно потом найти и вычистить (например, экспериментом), а потом научиться делать это же без ошибок. Я понимаю ваше нежелание смириться с этим, у меня тоже где-то что-то внутри восстаёт, но в то же время я знаком слишком со многими примерами, когда физический успех вычислений наступал гораздо раньше, чем их математическая формализация. Пускай мы не знаем формально точного смысла этих наших вычислений, нас воодушевляет то, что существует физически точный смысл, который не требуется изобретать математикам - он заложен в природе (некоторые говорят - богом), и то, что мы не знаем одного (и тупо пользуемся некоторыми правилами), ничуть не хуже, чем когда мы не знаем другого.
Т.е. для Вас производная -- это именно отношение приращений, поскольку не является отношением приращений. Ну да ладно. Хуже другое. По разным парам эта "производная" будет скакать, и скакать неадекватно сильно.
Не хуже. Это-то как раз нормально. Сами экспериментальные точки тоже скачут. Тут нельзя сказать "неадекватно": уж такие они, какие есть, других нам не дано. "Не адекватно" чему? Природе? Мы с ней как-нибудь договоримся, поставим проверочный эксперимент, тут она нам и покажет. Если ткнёт носом в лужу, значит, она ведёт себя не в соответствии с производной (в нашем понимании), а как-то ещё. Будем дальше выяснять, как.
Причём эти скачки будут маскировать фактическую нелинейность зависимости (если она есть, а она обычно есть, даже если и слабая).
Что они будут маскировать - это отдельный вопрос, откладываемый на более поздние исследования. Сначала нам бы хотя бы простейшую зависимость получить, а потом уже только в ней нелинейности вылавливать. Это как раз нормально, иметь несколько разных приближений к реальности, даже первые самые грубые приближения уже могут быть полезны, позволяют качественно сориентироваться в явлениях, найти приближённые решения, даже предположить некоторые объяснения и механизмы, и т. д.