Об использовании математических понятий в физике

[Munin]

ewert в сообщении #374231 писал(а):

Потому и не люблю, когда мозги пудрят.

Получается, что это именно вы несчастным инженерам мозги пудрите, мол, математика бессмысленна... Для инженеров как раз жизненно важно, чтобы математика не была игрой в буковки, чтобы операция дифференцирования формулы, конечно, выполнялась на автоматизме, но при этом не забывалось бы, что формула - это функция, что вместо формулы бывает функция, заданная таблично или графиком, и с ней тоже можно дифференцирование проделывать, хотя все эпсилон-дельта-определения в такой ситуации рассыпаются, как колода карт у Кэролла.

[ewert]

Munin в сообщении #374267 писал(а):

Получается, что это именно вы несчастным инженерам мозги пудрите, мол, математика бессмысленна...

Нет, как-то обычно не получается. Как-то обычно получается, что я им вдалбливаю, что по существу, а что -- лишь бантики.

[Munin]

Ну вот смысл дивергенции, который они должны понимать, чтобы грамотно применять её в своей деятельности, у вас "бантики", получается? Немного с этим можно наработать. В смысле, решать типовые задачи ещё можно, а свои составлять - уже нет. Не говоря уже о том, чтобы составлять свои ДУЧП, с чего началась, собственно, ещё изначальная тема.

[moscwicz]

Ales в сообщении #373574 писал(а):

Если рассуждать строго, то дивергенция векторного поля - отношение дифференциала 2-формы, которая получается из поля тензорным умножение на форму объема, к форме объема.

а как у Вас в результате тензорного умножения векторного поля на форму получается 2-форма? результат этого тензорного умножения это вообще не дифференциальная форма, это тензор у которого верхний индекс имеется
,это во-первых, а во-вторых, как Вы собираетесь делить на дифференциальную форму?

[Ales]

moscwicz в сообщении #374571 писал(а):

Ales в сообщении #373574 писал(а):

Если рассуждать строго, то дивергенция векторного поля - отношение дифференциала 2-формы, которая получается из поля тензорным умножение на форму объема, к форме объема.

а как у Вас в результате тензорного умножения векторного поля на форму получается 2-форма? результат этого тензорного умножения это тензор у которого верхний индекс имеется
,это во-первых, а во-вторых, как Вы собираетесь делить на дифференциальную форму?

Подловили - ошибся, не просто тензорное умножение. Еще надо свертывать.
Пусть есть форма объема $\omega$ и поле $v$: форма $\omega (v,.,.)$ будет искомой.
Делить на форму объема можно: все формы такого порядка отличаются с точностью до умножения на скаляр.

[Профессор Снэйп]

Munin в сообщении #374267 писал(а):

вместо формулы бывает функция, заданная таблично или графиком, и с ней тоже можно дифференцирование проделывать, хотя все эпсилон-дельта-определения в такой ситуации рассыпаются, как колода карт у Кэролла.

Почему рассыпаются? Отнюдь не рассыпаются.

[ewert]

Munin в сообщении #374267 писал(а):

вместо формулы бывает функция, заданная таблично или графиком, и с ней тоже можно дифференцирование проделывать, хотя все эпсилон-дельта-определения в такой ситуации рассыпаются,

Про график сказать что-то трудно -- линейкой и штангенциркулем производные давно уже никто не меряет. А вот пример с таблично заданной функцией довольно характерен. Тогда производную можно оценить, грубо говоря, как отношение приращений. Только это иллюзия -- думать, что эпсилон-дельты при этом куда-то исчезают. Дельта просто принимает некоторое фиксированное значение. И эпсилон тоже, но (это принципиально) явно не контролируемое. Если пользователь этого не сознает, а просто говорит себе: "а вот дай-ка поделю, авось чего и выйдет" -- то он не осознаёт также, насколько достоверны получаемые им результаты. Он просто не понимает, что они заведомо не точны, и потому даже не может поставить перед собой вопрос о том, существенна эта неточность или нет.

Даже странно как-то напоминать физику о том, что в приличном обществе погрешности принято оценивать.

[Alex-Yu]

ewert в сообщении #374876 писал(а):

Про график сказать что-то трудно -- линейкой и штангенциркулем производные давно уже никто не меряет.

Так уж прямо и никто.... Я не согласен считаться никем, я регулярно меряю производные штангенциркулем Господа математики, вы может и очень крутые математики, но чего ж вы дуром лезете в область, где вы ничегошеньки не понимаете? Успокойтесь, никто на вашу любимую математику не посягает, в физике не математика, в физике квазиматематика. Соответственно квазипроизводные, квазиинтегралы и т.д.

Тут я почитал соседнюю ветку про физику на мехмате. Гадают, гадают а как же математикам разобраться в физике... Да это очень просто, хотя и долго: для начала надо забыть ВСЕ, к чему вы долгое время приучались в математике. Ну не то чтобы вообще забыть, в сторонку отложить, усвоить, что к физике это все вообще не относится. И начать разбираться в физике С АЗОВ. А настоящая математика пусть будет. Но отдельно.

-- Вс ноя 14, 2010 16:32:49 --

ewert в сообщении #374876 писал(а):

Даже странно как-то напоминать физику о том, что в приличном обществе погрешности принято оценивать.

Да, но вот только слово "оценивать" в физике имеет значение, в корне отличающееся от его значения в математике.

[ewert]

Alex-Yu в сообщении #374920 писал(а):

слово "оценивать" в физике имеет значение, в корне отличающееся от его значения в математике.

Нет. Говоря про табличное вычисление производной, я имел в виду именно конкретную абсолютную оценку погрешности (настолько, насколько это возможно), а не абстрактные о-маленькие. И без такого конкретного оценивания (хотя бы навскидку) не обойтись -- вносимая при разностном дифференцировании погрешность вполне может оказаться существенной. Скажем, если по каким-то причинам нам надо посчитать до четвёртого знака, а вносимая при дифференцировании погрешность -- в третьем. Размахиванием руками насчёт касательных тут не обойдёшься, тут надо как минимум интуитивно чувствовать именно формальное определение производной.

[Munin]

Профессор Снэйп в сообщении #374856 писал(а):

Почему рассыпаются? Отнюдь не рассыпаются.

Приведите пример, пожалуйста.

ewert в сообщении #374876 писал(а):

Про график сказать что-то трудно -- линейкой и штангенциркулем производные давно уже никто не меряет.

Это вы заблуждаетесь. Меряют. Разумеется, на миллиметровке редко, чаще на экране компьютера, но грубая работа с графиком - обязательная составляющая очень многих исследований, более того, неустранимая с переднего края науки вообще. Первым делом из эксперимента получается ворох точек, потом их наносят на график, и если они на нём хоть чуть-чуть складываются в какую-нибудь кривую, начинают улучшать этот результат.

ewert в сообщении #374876 писал(а):

А вот пример с таблично заданной функцией довольно характерен. Тогда производную можно оценить, грубо говоря, как отношение приращений. Только это иллюзия -- думать, что эпсилон-дельты при этом куда-то исчезают. Дельта просто принимает некоторое фиксированное значение.

Простите, это смешно, в эпсилон-дельта-определении весь смак в его корректности в пределе $\varepsilon\to 0.$

ewert в сообщении #374876 писал(а):

Даже странно как-то напоминать физику о том, что в приличном обществе погрешности принято оценивать.

Интересно, а погрешности относительно чего вы подразумеваете? Речь не идёт о том, что некоторую функцию, реально существующую и гладкую, взяли и протабулировали в нескольких точках. Речь идёт о том, что вот эти несколько точек - и есть вся функция.

Alex-Yu в сообщении #374920 писал(а):

Да это очень просто, хотя и долго: для начала надо забыть ВСЕ, к чему вы долгое время приучались в математике. Ну не то чтобы вообще забыть, в сторонку отложить, усвоить, что к физике это все вообще не относится. И начать разбираться в физике С АЗОВ.

Угу. Причём забыть и отложить именно идейную составляющую, впитанную с молоком матери лектора. Как ни странно, буковки те же самые или почти те же самые, но закреплённая за ними семантика совсем не та.

[ewert]

Munin в сообщении #375013 писал(а):

Речь идёт о том, что вот эти несколько точек - и есть вся функция.

Значит, имеются в виду экспериментальные данные. Тогда считать производную непосредственно по точкам просто бессмысленно, ввиду их зашумлённости. Можно лишь их сгладить и формально дифференцировать полученную модель.

Munin в сообщении #375013 писал(а):

Простите, это смешно, в эпсилон-дельта-определении весь смак в его корректности

Никто не просит смаковать именно корректность. Но нельзя не понимать, что формально производная -- это именно предел отношения приращений, и от того, насколько малы приращения -- зависит и точность.

Munin в сообщении #375013 писал(а):

грубая работа с графиком - обязательная составляющая очень многих исследований, более того, неустранимая с переднего края науки вообще.

Только как предварительная.

[Munin]

ewert в сообщении #374963 писал(а):

И без такого конкретного оценивания (хотя бы навскидку) не обойтись -- вносимая при разностном дифференцировании погрешность вполне может оказаться существенной. Скажем, если по каким-то причинам нам надо посчитать до четвёртого знака, а вносимая при дифференцировании погрешность -- в третьем. Размахиванием руками насчёт касательных тут не обойдёшься, тут надо как минимум интуитивно чувствовать именно формальное определение производной.

Для этого как раз не нужно "интуитивно чувствовать формальное определение", для этого достаточно иметь наготове формулу для оценки погрешности (тоже сравнительно нелепую в этом контексте, но для физиков-то сгодится, это вот математикам должно быть стыдно, что они её предлагают применять). Более того, эта формула может никакого отношения к дифференцированию не иметь, а выглядеть где-то так:
$z\begin{smallmatrix}+\Delta_{+}z\\-\Delta_{-}z \end{smallmatrix}\displaystyle=\frac{y_2\pm\Delta y_2-y_1\pm\Delta y_1}{x_2\pm\Delta x_2-x_1\pm\Delta x_1}.$

Update от 28.03.2014: через четыре года Зоркий Сокол заметил, что у сарая задней стенки нет...
$z\begin{smallmatrix}+\Delta_{+}z\\-\Delta_{-}z \end{smallmatrix}\displaystyle=\frac{y_2\pm\Delta y_2-y_1\pm\Delta y_1}{x_2\mp\Delta x_2-x_1\mp\Delta x_1}.\qquad(*)$
Надеюсь, хоть теперь не налажал.

Update от 18.02.2016: нет, понадобилось ещё два года...
$(*)$ верна, если $z-\Delta_{-}z>0.$
Иначе:
Если $z+\Delta_{+}z<0,$ должно быть
$z\begin{smallmatrix}+\Delta_{+}z\\-\Delta_{-}z \end{smallmatrix}\displaystyle=\frac{y_2\pm\Delta y_2-y_1\pm\Delta y_1}{x_2\pm\Delta x_2-x_1\pm\Delta x_1},$
и если $z+\Delta_{+}z>0,$ то
$z\begin{smallmatrix}+\Delta_{+}z\\-\Delta_{-}z \end{smallmatrix}\displaystyle=\frac{y_2\pm\Delta y_2-y_1\pm\Delta y_1}{x_2-\Delta x_2-x_1-\Delta x_1}.$
Везде предполагается, что $x_2-\Delta x_2-x_1-\Delta x_1>0.$

[ewert]

Munin в сообщении #375020 писал(а):

Более того, эта формула может никакого отношения к дифференцированию не иметь, а выглядеть где-то так:
$z\begin{smallmatrix}+\Delta_{+}z\\-\Delta_{-}z \end{smallmatrix}\displaystyle=\frac{y_2\pm\Delta y_2-y_1\pm\Delta y_1}{x_2\pm\Delta x_2-x_1\pm\Delta x_1}.$

Во-первых, эта формула как раз имеет самое прямое отношение именно к определению производной. Во-вторых, никто такую формулу предлагать не станет, поскольку она формально бессмысленна, а если придать ей какой-то смысл -- то окажется сильно загрублённой, именно потому, что оценивать производные по паре экспериментальных точек неграмотно. В-третьих, имелась в виду оценка производной по именно точным значениям функции, а не по экспериментальным. И тогда вполне можно (и нужно) оценить погрешность разностного дифференцирования вполне надёжно (с практической точки зрения).

[Alex-Yu]

ewert в сообщении #375019 писал(а):

Никто не просит смаковать именно корректность. Но нельзя не понимать, что формально производная -- это именно предел отношения приращений, и от того, насколько малы приращения -- зависит и точность.

Предел говорите? Т.е. чем меньше приращение, тем лучше? Даже отставим в сторону неизбежные экспериментальные моменты. Давайте разберемся, а что такое градиент температуры, например. Мы же с теплопроводности начинали... Итак, надо брать сколь угодно маленькие приращения. Меньше размера атома? Меньше протона? А может меньше планковской длины? А вообще что такое температура В ТОЧКЕ? Температура есть понятие относящееся к термодинамически равновесным системам. И где такая система в точке? Тем более, что речь пошла о градиенте температуры (значит всяко равновесия нет)... Если уж быть логическим пуристом, то градиент температуры, в строгом смысле, это вообще бессмыслица. Изначально. Следует ли из этого, что задачи теплопроводности вообще не следует решать?

Математики уцепились в малю-ю-ю-юсенькую часть, где могут возникнуть ошибки, и борются с ней, борются... А то, что еще куча ДРУГИХ частей, где тоже можно "облажаться", это их не касается. А может просто невдомек? Видел я как-то книжку, где тепло распространяется быстрее звука, уравнение теплопроводности решали. Старательно так решали... Все боялись недостоверности. А в результате "вляпались" в полнейшую бредятину.

[Munin]

ewert в сообщении #375019 писал(а):

Значит, имеются в виду экспериментальные данные.

В физике всегда имеются в виду экспериментальные данные :-)

ewert в сообщении #375019 писал(а):

Тогда считать производную непосредственно по точкам просто бессмысленно, ввиду их зашумлённости.

Возвращайтесь к началу моих объяснений, перечитайте их, имея в виду экспериментальные данные. По-вашему - бессмысленно. Физикам, для работы - надо. Никуда от этого "надо" не денешься.

ewert в сообщении #375019 писал(а):

Никто не просит смаковать именно корректность.

А если определение некорректно, объекта не существует :-) Или позвольте дать ему другое определение - "производная - это касательная".

ewert в сообщении #375019 писал(а):

Но нельзя не понимать, что формально производная -- это именно предел отношения приращений

Нельзя не понимать, что неважно, что там производная формально. Производные были введены Ньютоном и Лейбницем задолго до этого формального определения, и использовались тем же Ньютоном задолго до него, и использовались успешно и правильно. Без этого использования не были бы открыты законы механики и гравитации, не было бы вообще огромной практической потребности в производных, которая в конечном счёте и подтолкнула математиков к необходимости введения формализации. То, что эта формализация получилась на птичьем языке, никому из физиков не нужном, - это, вообще говоря, некоторый провал деятельности математиков, который начал закрываться только в 20 веке (но до учебников матанализа для 1-2 курса так и не докатилось). Эта формализация служила нуждам удовлетворения только самих математиков.

ewert в сообщении #375019 писал(а):

Только как предварительная.

Ну да, разумеется. Только вы, кажется, недооцениваете, что из такой предварительной работы состоит половина всей работы вообще, а то и больше. Поэтому свысока смотреть на неё никак нельзя.

-- 14.11.2010 16:35:07 --

ewert в сообщении #375030 писал(а):

Во-первых, эта формула как раз имеет самое прямое отношение именно к определению производной.

Безусловно. К моему определению: мы прикладываем линейку к точкам $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2),$ взятым со своими error boxes, и проводим прямую линию.

ewert в сообщении #375030 писал(а):

Во-вторых, никто такую формулу предлагать не станет, поскольку она формально бессмысленна, а если придать ей какой-то смысл -- то окажется сильно загрублённой, именно потому, что оценивать производные по паре экспериментальных точек неграмотно.

Тут я ничего не могу ответить, кроме:

Alex-Yu в сообщении #374920 писал(а):

чего ж вы дуром лезете в область, где вы ничегошеньки не понимаете?

Эту формулу и предлагают, и используют, и знают, что она сильно загрублённая, но всё равно используют, и оценивать производные по паре точек не неграмотно, а может быть слишком грубо и предварительно - потом, по большему числу точек, можно достичь лучших результатов - но никак не неграмотно.

ewert в сообщении #375030 писал(а):

В-третьих, имелась в виду оценка производной по именно точным значениям функции, а не по экспериментальным.

Ну нету в физике "точных значений функции"! Не бывает (цит. по: Краткое послесловие и комментарий И.О.Зав. вычислительной лабораторией НИИЧАВО м.н.с. А.И.Привалова, в: А. Стругацкий, Б. Стругацкий. Понедельник начинается в субботу). Именно с практической точки зрения. Так что вы предлагаете нелепость, и настаиваете на ней.