Об использовании математических понятий в физике

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #375040 писал(а):

Ну нету в физике "точных значений функции"! Не бывает

Причем, надо подчеркнуть, не просто нам не известны, а вообще не бывает. Пример с температурой в точке это показывает.

[ewert]

Munin в сообщении #375040 писал(а):

Ну нету в физике "точных значений функции"!

Ну значит, и синусов в физике нет, и косинусов. И каких-нибудь бесселей.

Так вот: если какая-нибудь спецфункция задана таблично, то и дифференцировать её придётся разностно, и никуда не денешься, будь ты хоть трижды физиком. Кроме того, матмоделирование в физике, насколько мне известно, пока ещё никто не отменял, а там результаты счёта получаются обычно именно в табличной форме.

Munin в сообщении #375040 писал(а):

А если определение некорректно, объекта не существует Или позвольте дать ему другое определение - "производная - это касательная".

Не существует понятия "касательной" как точного, если она не определена через производную (не важно, в каких конкретно терминах). Т.е. можно дать чисто геометрическое определение для частного случая выпуклости, но это -- совсем не то, что требуется в физике.

С другой стороны, утверждение о "несуществовании некорректно определённого объекта" -- неверно. Существуют разные уровни строгости одного и того же определения. Определения производной как отношения бесконечно маленьких приращений для физических целей вполне достаточно. Если, конечно, сознавать, что за этим стоит понятие предела, и что этому понятию можно при необходимости придать формально точный смысл, и что кто-то за нас это уже даже сделал. Тогда интуитивного понимания этого определения -- вполне достаточно. Если же нет -- начинается бессознательная игра в буковки, чреватая фактическими ошибками.

Munin в сообщении #375040 писал(а):

ewert в сообщении #375030 писал(а):

Во-первых, эта формула как раз имеет самое прямое отношение именно к определению производной.

Безусловно. К моему определению: мы прикладываем линейку к точкам $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2),$ взятым со своими error boxes, и проводим прямую линию.

Т.е. для Вас производная -- это именно отношение приращений, поскольку не является отношением приращений. Ну да ладно. Хуже другое. По разным парам эта "производная" будет скакать, и скакать неадекватно сильно. Причём эти скачки будут маскировать фактическую нелинейность зависимости (если она есть, а она обычно есть, даже если и слабая).

[Alex-Yu]

ewert в сообщении #375063 писал(а):

По разным парам эта "производная" будет скакать, и скакать неадекватно сильно

Вот когда начнет скакать НЕАДЕКВАТНО (чему, кстати, неадекватно?), вот тогда и "грузиться" станем. Господи, ну неужели Вы думаете, что нам все это неизвестно... Нам очень много чего известно, причем не только из числа таких тривиальностей

-- Вс ноя 14, 2010 22:14:37 --

ewert в сообщении #375063 писал(а):

Определения производной как отношения бесконечно маленьких приращений для физических целей вполне достаточно.

Кстати вовсе даже не всегда.

-- Вс ноя 14, 2010 22:18:36 --

ewert в сообщении #375063 писал(а):

Ну значит, и синусов в физике нет, и косинусов. И каких-нибудь бесселей.

А где Вы видели физический процесс, "идущий" В ТОЧНОСТИ по синусу? Или бесселю... Я таковых не видел, просветите "темного"

[Munin]

ewert в сообщении #375063 писал(а):

Ну значит, и синусов в физике нет, и косинусов. И каких-нибудь бесселей.

Вот я про это и говорил раньше, что вы "жульничаете". Сначала даёте поиграть с синусами, косинусами и бесселями, а потом обратно забираете. Нет уж, мы ими будем пользоваться, даже если вы не будете (для себя) их такими названиями называть.

ewert в сообщении #375063 писал(а):

Так вот: если какая-нибудь спецфункция задана таблично, то и дифференцировать её придётся разностно, и никуда не денешься, будь ты хоть трижды физиком. Кроме того, матмоделирование в физике, насколько мне известно, пока ещё никто не отменял, а там результаты счёта получаются обычно именно в табличной форме.

Ну да. И что. А ещё в физике никто теоретических моделей и расчётов не отменял. А решение уравнения теплопроводности, например, в изоляции вокруг круглого провода, описывается именно функциями Бесселя. Это можно записать и без численного моделирования, что сильно сэкономит машинное время, машинное масло и прочие народохозяйственные ресурсы (хотя затраты грифеля возрастут).

ewert в сообщении #375063 писал(а):

Не существует понятия "касательной" как точного, если она не определена через производную (не важно, в каких конкретно терминах).

Нет, это просто вы для себя решили, что одно понятие для вас "точное", а другие - "неточные". Из каких-то своих соображений решили, причём неабсолютных даже в рамках чистой математики. А для других те же оценки могут быть расставлены совсем иначе.

ewert в сообщении #375063 писал(а):

Т.е. можно дать чисто геометрическое определение для частного случая выпуклости, но это -- совсем не то, что требуется в физике.

Ну откуда вы-то знаете, что требуется в физике? :-) В физике требуется и то и другое. И чтобы линейку к графику можно было приложить, и чтобы, поиграв с буковками, аналитический ответ получить. И самое интересное - некоторые убедительные слова о том, что принципиально это одно и то же. Примерно как фон Нейман объединял квантовую механику Гейзенберга и Шрёдингера, так и два дифференциальных исчисления - графическое и символьное - тоже должны быть объединены в явном виде.

ewert в сообщении #375063 писал(а):

Существуют разные уровни строгости одного и того же определения.

Ну вот. Сдаёте позиции. Так не интересно спорить :-) В математике существует один уровень строгости: строгое. Всё остальное - это просто уже не в математике. По крайней мере, не в той математике, которую вы тут перед нами защищали: очищенной от смыслов и мотиваций, от любой семантики, кроме заданной определением.

ewert в сообщении #375063 писал(а):

Определения производной как отношения бесконечно маленьких приращений для физических целей вполне достаточно. Если, конечно, сознавать, что за этим стоит понятие предела

Вы знаете, Ньютон не сознавал, что за этим стоит понятие предела. Он и понятия-то предела не знал. Оно было несколько позже развито (не в последнюю очередь на основе понятия производной). Проникнитесь, пожалуйста, этим фактом, и тем, что он нисколько не потерял в физике своей актуальности.

ewert в сообщении #375063 писал(а):

Если, конечно, сознавать... что этому понятию можно при необходимости придать формально точный смысл... Если же нет -- начинается бессознательная игра в буковки, чреватая фактическими ошибками.

Нет. Это для математиков началась бы бессознательная игра в буковки. Вам про это уже говорили: математикам нечем проверить свой результат, кроме подглядывания в ответы в конце задачника. А для физиков это было бы реальными вычислениями, невзирая на то, что у них может и не быть формально точного смысла. Да, чреватыми ошибками. Но ошибки можно потом найти и вычистить (например, экспериментом), а потом научиться делать это же без ошибок. Я понимаю ваше нежелание смириться с этим, у меня тоже где-то что-то внутри восстаёт, но в то же время я знаком слишком со многими примерами, когда физический успех вычислений наступал гораздо раньше, чем их математическая формализация. Пускай мы не знаем формально точного смысла этих наших вычислений, нас воодушевляет то, что существует физически точный смысл, который не требуется изобретать математикам - он заложен в природе (некоторые говорят - богом), и то, что мы не знаем одного (и тупо пользуемся некоторыми правилами), ничуть не хуже, чем когда мы не знаем другого.

ewert в сообщении #375063 писал(а):

Т.е. для Вас производная -- это именно отношение приращений, поскольку не является отношением приращений. Ну да ладно. Хуже другое. По разным парам эта "производная" будет скакать, и скакать неадекватно сильно.

Не хуже. Это-то как раз нормально. Сами экспериментальные точки тоже скачут. Тут нельзя сказать "неадекватно": уж такие они, какие есть, других нам не дано. "Не адекватно" чему? Природе? Мы с ней как-нибудь договоримся, поставим проверочный эксперимент, тут она нам и покажет. Если ткнёт носом в лужу, значит, она ведёт себя не в соответствии с производной (в нашем понимании), а как-то ещё. Будем дальше выяснять, как.

ewert в сообщении #375063 писал(а):

Причём эти скачки будут маскировать фактическую нелинейность зависимости (если она есть, а она обычно есть, даже если и слабая).

Что они будут маскировать - это отдельный вопрос, откладываемый на более поздние исследования. Сначала нам бы хотя бы простейшую зависимость получить, а потом уже только в ней нелинейности вылавливать. Это как раз нормально, иметь несколько разных приближений к реальности, даже первые самые грубые приближения уже могут быть полезны, позволяют качественно сориентироваться в явлениях, найти приближённые решения, даже предположить некоторые объяснения и механизмы, и т. д.

[Ales]

Munin в сообщении #375112 писал(а):

Вы знаете, Ньютон не сознавал, что за этим стоит понятие предела. Он и понятия-то предела не знал. Оно было несколько позже развито (не в последнюю очередь на основе понятия производной). Проникнитесь, пожалуйста, этим фактом, и тем, что он нисколько не потерял в физике своей актуальности.

Не согласен.
Я думаю, что Ньютон интуитивно понимал и прекрасно знал, что такое предел.
Он просто не фиксировался на этом простом интуитивном понятии.
Пределы и разные сходимости, привлекли внимание математиков в связи с проблемой суммы ряда Фурье.
Обнаружили, что ряд из аналитических функций (синусов и косинусов) может сходится к неаналитической функции,
а во время Ньютона это не было известно.
Чтобы разобраться в чем здесь дело и потребовалось формализация понятия предела, непрерывности, производной.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #375112 писал(а):

ewert в сообщении #375063 писал(а):
Существуют разные уровни строгости одного и того же определения.

Ну вот. Сдаёте позиции.

Собственно это уже прогресс. Осталось только выяснить, чем же не угодила дивергенция как отношение потока к объему ПРИМЕНИТЕЛЬНО к дифференциальному закону сохранения энергии.

[Munin]

Ales в сообщении #375117 писал(а):

Не согласен. Я думаю, что Ньютон интуитивно понимал и прекрасно знал, что такое предел.

Ну, интуитивно-то да. Ещё он это знал графически. В те времена вообще математические методы физики были графически-геометрическими. Тексты Галилея и Ньютона сплошь геометрические, они рассматривают не аналитические квадратичные функции, а геометрические параболы и прочие конические сечения, и т. д. Разумеется, Ньютон и производную представлял себе как касательную (более того, рассмотрение касательной имеет более давние корни в математике, и её положение успешно вычислялось). А пределы можно проследить до Зенона и Архимеда. (Не помню уже, кто там открыл иррациональность $\pi$ и $\sqrt{2},$ но тоже кто-то из древних.) Но только не то формализованное понятие о пределах, которое сегодня идёт под таким названием в учебнике матанализа для 1 курса. И далеко не факт, что для Ньютона предел был первичнее производной.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #375112 писал(а):

Пускай мы не знаем формально точного смысла этих наших вычислений, нас воодушевляет то, что существует физически точный смысл, который не требуется изобретать математикам - он заложен в природе (некоторые говорят - богом), и то, что мы не знаем одного (и тупо пользуемся некоторыми правилами), ничуть не хуже, чем когда мы не знаем другого.

Видимо это самый трудный момент для математиков. Они привыкли играть по правилам, самими ими же и придуманным. Поэтому эти правила им во всяком случае известны. В физике же концептуальная сторона дела существенно сложнее: физики играют в игру, правила которой Г.Бог (для меня это лишь метафора) сообщить не удосужился. Только лишь сообщает иногда: "вы проиграли" или наоборот "вы выиграли". А иногда сообщает и вообще что-то невнятное, и не поймешь выиграл ты или проиграл данный тайм И какой при этом прок от правил, выдуманных математиками? У Г.Бога вполне могут оказаться (и наверняка окажутся в какой-то части) совсем другие правила...

[Bulinator]

Alex-Yu в сообщении #375129 писал(а):

Осталось только выяснить, чем же не угодила дивергенция как отношение потока к объему ПРИМЕНИТЕЛЬНО к дифференциальному закону сохранения энергии.

А если из Вашего многообразия выколота точка. Скажем, рассматриваете систему не на $R^{1,3}$ а на $R^{1,3}\backslash{0}$. Тогда Гаусc-Остроградский-Стокс не работает и такое определение не совсем корректно.

Кстати, пример привожу не случайно. Эффект Ааронова-Бома- это выколотая из $R^2$ точка. Если интересно даже покажу как это делается.

[Alex-Yu]

Bulinator в сообщении #375150 писал(а):

А если из Вашего многообразия выколота точка.

Вот когда до многообразий дело дойдет... Изначально вопрос был в том, чтобы молодому человеку объяснить как получается уравнение теплопроводности.

-- Пн ноя 15, 2010 00:06:02 --

Bulinator в сообщении #375150 писал(а):

Эффект Ааронова-Бома- это выколотая из точка.

Нет, эффект Ааронова-Бома это не оно по физике. Впрочем, я примерно догадываюсь, как при квантовании на нетривиальном многообразии что-то такое может получиться. Но это еще не физический эффект, каковым является эффект Ааронова-Бома. Он, между прочем, был зарегистрирован экспериментально. Экспериментально выколотая точка???? Я Вас умоляю...

[Bulinator]

Alex-Yu в сообщении #375155 писал(а):

Вот когда до многообразий дело дойдет... Изначально вопрос был в том, чтобы молодому человеку объяснить как получается уравнение теплопроводности.

Не, ну вы даете определение основываясь на теореме, условия которой не всегда могут быть выполнены. Нельзя же давать студенту, скажем так, не совсем точные определения.

-- Вс ноя 14, 2010 21:10:33 --

Alex-Yu в сообщении #375155 писал(а):

Экспериментально выколотая точка???? Я Вас умоляю...

Не надо так тривиализировать.

[Alex-Yu]

Bulinator в сообщении #375160 писал(а):

Нельзя же давать студенту, скажем так, не совсем точные определения.

Не-е-е-е-е.... Начинать сначала мы не будем. Что же до неточных определений, то в физике не только можно, но и нужно (при этом объясняя что неточные). По той простой причине, что точных определений (на все времена и для всех уровней рассмотрения) в физике не бывает ВООБЩЕ. Точно определить можно только ПРИДУМАННУЮ ВЕЩЬ. Таковыми физика не занимается, она занимается реальностью, а не фантазиями.

[Bulinator]

Alex-Yu в сообщении #375163 писал(а):

Не-е-е-е-е.... Начинать сначала мы не будем. Что же до неточных определений, то в физике не только можно, но и нужно (при этом объясняя что неточные). По той простой причине, что точных определений (на все времена и для всех уровней рассмотрения) в физике не бывает ВООБЩЕ. Точно определить можно только ПРИДУМАННУЮ ВЕЩЬ. Таковыми физика не занимается, она занимается реальностью, а не фантазиями.

Я слежу за темой. Разница между математикой и физикой в том, что аксиомы в математике проверять не нужно. В том смысле, что математик говорит если это так то значит.... А физик не знает верен ли его постулат. Но ставя постулат(математики постулаты ставить не умеют, у них они называются аксиомами ), далее физик и математик размышляют(во всяком случае должны) одинаково. Далее, при проверке своих результатов у физика возникает та же проблема ввиду неидеальности его измерительных приборов.

[Alex-Yu]

Bulinator в сообщении #375169 писал(а):

далее физик и математик размышляют(во всяком случае должны) одинаково.

Это математики решили, что должны физики??? А если я решу какую-нибудь хрень на тему что должны математики?

[Bulinator]

Alex-Yu в сообщении #375171 писал(а):

А если я решу какую-нибудь хрень на тему что должны математики?

Не надо ругаться. Я физик. Во всяком случае претендую.

А научный метод, основанный на доказательствах, он и в Африке научный метод.