Соответственно,
в последнем примере приходится допустить, что классическая (=двузначная) логика не работает, а невозможность присвоить непротиворечивым образом значения ИСТИНА или ЛОЖЬ выражению

просто означет, что это выражение
неразрешимо.
Вы хотите сказать, что если в какой-то теории принимается аксиома (доказуема теорема)

или

, то теория неполна, даже если она первопорядковая ?
А теперь попробуем использовать для определения отношения вместо аксиом
правила или
условия, которым должно удовлетворять отношение. Пусть снова имеется множество 4-х объектов

. А отношение мы определяем правилом/условием

тогда и только тогда, когда

. Или, в математической записи,

Рассмотрим, как мы применяем это правило для определения истинности утверждения

. Поскольку к этому утверждению наше правило/условие не применимо, естественно заключить, что это утверждение ложно. Другими словами, поскольку нам не удалось доказать его истинность, естественно считать его ложным. Соответственно, его отрицание истинно, т.е.

.
А вот к утверждению

это правило применимо в виде конкретного условия

И теперь попытка считать утверждение

истинным автоматически приводит к тому, что оно ложно, и наоборот - предположение о его ложности влечет его истинность. А это означает
противоречие.