Перебраться через яму

[zbl]

dvorkin_sacha в сообщении #371758 писал(а):

Мне кажется, что предложенная Вами формула может действовать только на множестве скоростей меры нуль

Думаю, что при достаточно малых и достаточно больших значениях $\frac{v}{\sqrt{Rg}}$ будем иметь отрезок значений $v$, дающих конечные времена.
При $\frac{v}{\sqrt{Rg}}$ порядка единицы тоже будет "достаточно большое количество" значений $v$, при которых шарик перелетит через яму.
Есть основания считать даже, что, наоборот, он "почти всегда" выскакивает, а не "почти всегда" застряёт.
Но с точки зрения физики, если шарик бесится в яме хаотично (динамический хаос), то это означает, что не существует физически измеримого значения $t$ -- не существует физвеличины для времени перелёта или отражения.
Дело в том, что всё мы измеряем с ошибкой, а небольшое изменение начальной скорости в случае бесящегося шарика с диким разбросом меняет время его перелёта.
Фактически в данном случае, измерив $v$, мы никак не сможем по результату этого измерения сказать результат измерения $t$ -- самой зависимости между ними тут не будет существовать.

Тут ещё, пожалуй, нужно искать не зависимость $t$ от $v$, а наоборот: зависимость $v$, даже не от $t$, а от конечной скорости при заданном количестве ударов.
Если задать конечную точку, конечную скорость и число ударов, то можно построить параболы, как сплайны, с условием смены знака момента импульса в точке удара (угол падения равен углу отражения) и найти начальную скорость (время тогда тоже будет известно).
Тут проще считать, что у начальной скорости может быть и вертикальная составляющая.
Так можно классифицировать траектории по числу ударов и перебирать скорости, меняя положения ударов.
Дальше просто посмотреть, как именно множество возможных значений скорости покрыто этими зависимостями.

[dvorkin_sacha]

zbl

С двумя и тремя отскоками я разобрался, а вот для 4-х уже програмку для компа писать надо. Будет время, постараюсь посчитать.

[Утундрий]

По моему разумению, сперва надобно скрупулезно обрешать один произвольный пропрыг и далее его итерировать. Нэ?

[dvorkin_sacha]

Утундрий

Постараюсь в выходные выделить время и тогда здесь выложу компьютерную программу с комментариями.

[dvorkin_sacha]

dvorkin_sacha в сообщении #372441 писал(а):

Утундрий

Постараюсь в выходные выделить время и тогда здесь выложу компьютерную программу с комментариями.

Пока реализовал два непересекающихся подмножества меры нуль (точнее, разумной их части с точки зрения компьютерной точности расчетов), при реализации которых мат. точка выскакивает из ямы. Объеденил их и прошелся по открытым подмножествам, из которых дополнение этого объединения состоит, выбрасывая при этом небольшие участки, прилегающие к элементам объединения: не хочет мат. точка выскакивать: похоже, 2-мя найденными подмножествами и ограничивается решение. В выходные еще потестирую на наличие возможных ошибок.

[Утундрий]

Выпишу-ка я постановку задачи, что ли...

Пусть в момент времени $t=0$ точка находится на нижней полуокружности в положении ${\mathbf{R}}$ и скорость ее${\mathbf{V}}$. Есть еще ускорение свободного падения ${\mathbf{G}}$. Также введем в рассмотрение соответствующие единичные векторы: ${\mathbf{e}}_R$, ${\mathbf{e}}_V$ и ${\mathbf{e}}_G$. Положение точки в свободном полете дается радиус-вектором $\[{\mathbf{r}} = {\mathbf{R}} + {\mathbf{V}}t + {\mathbf{G}}\frac{{t^2 }}{2}\]$, а ее скорость $\[{\mathbf{\dot r}} = {\mathbf{V}} + {\mathbf{G}}t\]$. Пусть в момент времени $t=t_1>0$ выполняется условие $\[\left| {\mathbf{r}} \right| = R\]$, что равносильно $\[2{\mathbf{R}} \circ {\mathbf{V}} + \left( {{\mathbf{R}} \circ {\mathbf{G}} + V^2 } \right)t_1 + {\mathbf{V}} \circ {\mathbf{G}}t_1^2 + G^2 \frac{{t_1^3 }}{4} = 0\]$. Обозначим еще $\[a \equiv {\mathbf{e}}_R \circ {\mathbf{e}}_V ,b \equiv {\mathbf{e}}_R \circ {\mathbf{e}}_G ,c \equiv {\mathbf{e}}_V \circ {\mathbf{e}}_G \]$, с учетом чего $\[t_1^3 + \frac{{4V}}{G}ct_1^2 + \frac{{4V^2 }}{{G^2 }}\left( {1 + \frac{{RG}}{{V^2 }}b} \right)t_1 + \frac{{8RV}}{{G^2 }}a = 0\]$. Тут очевидно напрашивается масштаб времени $\[\frac{{2V}}{G}\]$, так что вводим безразмерное $\[\xi \equiv \frac{G}{{2V}}t_1 \]$ и тогда

$$\[ \xi ^3 + 2c\xi ^2 + \left( {1 + \frac{b} {{M^2 }}} \right)\xi + \frac{a} {{M^2 }} = 0 :(1) \] $$

где $\[M^2 \equiv \frac{{V^2 }}{{RG}}\]$ - соорудившаяся величина, имеющая смысл квадрата безразмерной скорости (поименована буквой "Мэ" по аналогии с числом Маха).

Геометрически очевидно, что решений у (1) будет либо три либо одно и в части случаев точка вернется снова на нижнюю полуокружность и для продолжения потребуется скорости ея отразить описанным ниже способом.

Итак, пусть в момент $t=t_1$ точка располагается на нижней полуокружности в местности $\[{\mathbf{R}}_1 = {\mathbf{R}} + {\mathbf{V}}t_1 + {\mathbf{G}}\frac{{t_1^2 }}{2} = R\left( {{\mathbf{e}}_R + 2M^2 \xi \left( {{\mathbf{e}}_V + \xi {\mathbf{e}}_G } \right)} \right)\]$ и скорость ее \[{\mathbf{V}}_1 = {\mathbf{V}} + {\mathbf{G}}t_1 = V\left( {{\mathbf{e}}_V + 2\xi {\mathbf{e}}_G } \right)\]$. Нормаль к стенке в данной местности суть просто $\[{\mathbf{n}}_1 = \frac{{{\mathbf{R}}_1 }}{R} = {\mathbf{e}}_R + 2M^2 \xi \left( {{\mathbf{e}}_V + \xi {\mathbf{e}}_G } \right)\]$. Разложим теперь $\[{\mathbf{V}}_1 \]$ на нормальную $\[{\mathbf{n}}_1 {\mathbf{n}}_1 \circ {\mathbf{V}}_1 \]$ и тангенциальную $\[\left( {\hat 1 - {\mathbf{n}}_1 {\mathbf{n}}_1 } \right) \circ {\mathbf{V}}_1 \]$ составляющие, после чего сложим означенные составляющие обратно, не забыв предварительно перевернуть первую. В результате получим отраженную скорость $\[{\mathbf{V}}_1 ^\prime = \left( {\hat 1 - 2{\mathbf{n}}_1 {\mathbf{n}}_1 } \right) \circ {\mathbf{V}}_1 \]$.

После чего можно повторять сию процедуру до посиненияухода точки вдаль налево аль направо.

-- Вт ноя 09, 2010 19:48:59 --

P.S. $\[ \circ \]$ - скалярное умножение.

[dvorkin_sacha]

Ранее мое предположение по поводу возвращения мат. точки на исходные позиции после одного соударения оказалось неудачным: несложный расчет это показал. Но может быть все-таки существует начальная скорость, при которой мат. точка возвращается на исходные позиции после одного соударения? Ведь при небольших начальных скоростях знак ее горизонтальной проекции совпадает со знаком горизонтальной проекции скорости после соударения, а при больших начальных скоростях их проекции имеют противоположные знаки. Т.е. должна существовать такая начальная скорость, при которой проекция скорости на горизонтальную ось после отражения равна нулю, а это и значит, что мат. точка вернется на исходные позиции.

[dvorkin_sacha]

Утундрий в сообщении #372834 писал(а):

Пусть в момент времени $t=0$ точка находится на нижней полуокружности в положении ${\mathbf{R}}$ и скорость ее${\mathbf{V}}$. Есть еще ускорение свободного падения ${\mathbf{G}}$. Также введем в рассмотрение соответствующие единичные векторы: ${\mathbf{e}}_R$, ${\mathbf{e}}_V$ и ${\mathbf{e}}_G$. Положение точки в свободном полете дается радиус-вектором $\[{\mathbf{r}} = {\mathbf{R}} + {\mathbf{V}}t + {\mathbf{G}}\frac{{t^2 }}{2}\]$, а ее скорость $\[{\mathbf{\dot r}} = {\mathbf{V}} + {\mathbf{G}}t\]$. Пусть в момент времени $t=t_1>0$ выполняется условие $\[\left| {\mathbf{r}} \right| = R\]$, что равносильно $\[2{\mathbf{R}} \circ {\mathbf{V}} + \left( {{\mathbf{R}} \circ {\mathbf{G}} + V^2 } \right)t_1 + {\mathbf{V}} \circ {\mathbf{G}}t_1^2 + G^2 \frac{{t_1^3 }}{4} = 0\]$.

А нельзя ли чуть-чуть поподробней про равносильность?

[zbl]

Утундрий в сообщении #372834 писал(а):

Положение точки в свободном полете дается радиус-вектором $\[{\mathbf{r}} = {\mathbf{R}} + {\mathbf{V}}t + {\mathbf{G}}\frac{{t^2 }}{2}\]$, а ее скорость $\[{\mathbf{\dot r}} = {\mathbf{V}} + {\mathbf{G}}t\]$.

Это только первый свободный полёт: $\mathbf{r}$ и $\mathbf{\dot r}$ только растут с ростом $t$.
При движении снизу в верх знак вертикальной скорости поменяется.

[dvorkin_sacha]

zbl

Эти векторные уравнения верны для любого полета, если только при t=0 мат. точка находится на нижней полуокружности: Утундрий ведет отсчет времени от момента произвольного столкновения.

[dvorkin_sacha]

dvorkin_sacha в сообщении #373001 писал(а):

Утундрий в сообщении #372834 писал(а):

Пусть в момент времени $t=0$ точка находится на нижней полуокружности в положении ${\mathbf{R}}$ и скорость ее${\mathbf{V}}$. Есть еще ускорение свободного падения ${\mathbf{G}}$. Также введем в рассмотрение соответствующие единичные векторы: ${\mathbf{e}}_R$, ${\mathbf{e}}_V$ и ${\mathbf{e}}_G$. Положение точки в свободном полете дается радиус-вектором $\[{\mathbf{r}} = {\mathbf{R}} + {\mathbf{V}}t + {\mathbf{G}}\frac{{t^2 }}{2}\]$, а ее скорость $\[{\mathbf{\dot r}} = {\mathbf{V}} + {\mathbf{G}}t\]$. Пусть в момент времени $t=t_1>0$ выполняется условие $\[\left| {\mathbf{r}} \right| = R\]$, что равносильно $\[2{\mathbf{R}} \circ {\mathbf{V}} + \left( {{\mathbf{R}} \circ {\mathbf{G}} + V^2 } \right)t_1 + {\mathbf{V}} \circ {\mathbf{G}}t_1^2 + G^2 \frac{{t_1^3 }}{4} = 0\]$.

А нельзя ли чуть-чуть поподробней про равносильность?

Я про то, что не проще бы было написать: используя уравнение окружности...

[dvorkin_sacha]

dvorkin_sacha в сообщении #372933 писал(а):

Ранее мое предположение по поводу возвращения мат. точки на исходные позиции после одного соударения оказалось неудачным: несложный расчет это показал. Но может быть все-таки существует начальная скорость, при которой мат. точка возвращается на исходные позиции после одного соударения? Ведь при небольших начальных скоростях знак ее горизонтальной проекции совпадает со знаком горизонтальной проекции скорости после соударения, а при больших начальных скоростях их проекции имеют противоположные знаки. Т.е. должна существовать такая начальная скорость, при которой проекция скорости на горизонтальную ось после отражения равна нулю, а это и значит, что мат. точка вернется на исходные позиции.

Для этой начальной скорости безразмерная координата столкновения определяется следующим уравнением: $\[12x^4-32x^3+20x^2-1 = 0\]$.

[dvorkin_sacha]

dvorkin_sacha в сообщении #373442 писал(а):

dvorkin_sacha в сообщении #372933 писал(а):

Ранее мое предположение по поводу возвращения мат. точки на исходные позиции после одного соударения оказалось неудачным: несложный расчет это показал. Но может быть все-таки существует начальная скорость, при которой мат. точка возвращается на исходные позиции после одного соударения? Ведь при небольших начальных скоростях знак ее горизонтальной проекции совпадает со знаком горизонтальной проекции скорости после соударения, а при больших начальных скоростях их проекции имеют противоположные знаки. Т.е. должна существовать такая начальная скорость, при которой проекция скорости на горизонтальную ось после отражения равна нулю, а это и значит, что мат. точка вернется на исходные позиции.

Для этой начальной скорости безразмерная координата столкновения определяется следующим уравнением: $\[12x^4-32x^3+20x^2-1 = 0\]$.

Решение удалось упростить:
$\[x^2-2x+0.5 = 0\]$.
И теперь "олимпиадная" формулировка может выглядеть примерно так (детали опускаю): найти 2 начальные скорости мат. точки, при которых после одного отражения она возвращается из ямы.

[dvorkin_sacha]

Безразмерная координата столкновения, при которой мат. точка преодолеет яму, в случае двух отскоков определяется следующим уравнением: $\[2x^5 - 4x^4 - 3x^3 + 6x^2 + x - 1 = 0\]$.

[dvorkin_sacha]

dvorkin_sacha в сообщении #374360 писал(а):

Безразмерная координата столкновения, при которой мат. точка преодолеет яму, в случае двух отскоков определяется следующим уравнением: $\[2x^5 - 4x^4 - 3x^3 + 6x^2 + x - 1 = 0\]$.

Интересен метод получения этого решения. Ранее я писал, что сгенерировал множество решений, которые позволяют выбраться мат. точке из ямы. Далее взял простейшее из них (с 2-я отскоками) и путем генерации полиномов с целочисленными коэффициентами попытался найти решение, совпадающее с ранее найденным. Далее, чтобы отмести вероятность случайного совпадения, вернее значительно ее уменьшить, перешел от двойной точности к четверной. Результаты опять совпали.