Перебраться через яму

[venco]

whiterussian в сообщении #370785 писал(а):

venco в сообщении #370783 писал(а):

А по моему может.

А вы не покажете как? может у меня действительно где-то "заело"?

При первом отскоке где-то рядом с точкой $(\frac 1 2, -\frac {\sqrt 3} 2)$ отскок будет почти вертикален, вся энергия будет в вертикальной скорости, и шарик поднимется выше горизонта.

[dvorkin_sacha]

zbl,

далее, после решения пункта б) по методике, которую я описал, можно будет попытаться найти начальную скорость материальной точки, при которой она навечно застрянет в "полутрубе". Но эта часть задачи несколько посложней.

[ewert]

zbl в сообщении #370609 писал(а):

А не хаотически, но периодически он может зависнуть?Что-то мне подсказывает, что в одни и те же точки периодически он биться не сможет.

Естественно, не может. Иначе точкой периодической последовательности оказался бы край ямы, что заведомо неверно.

[timots]

Скорость должна быть именно такая, чтобы шарик перелетел через яму. А то, что яма круглая дает нам длину ямы равную двум радиусам.

[Батороев]

Как мне видится, многое зависит от того, под каким углом ударится шарик о противоположный край ямы.
При попадании под углом, соответствующим нормали окружности ямы, шарик вернется в исходную точку.
При попадании под углом более пологим необходимо, чтобы при движении в обратном направлении траектория "зацепила" передний край ямы (в противном случае шарик улетит "за спину"). Но в этом случае получается, что скорость в прямом направлении должна быть высокой, в обратном направлении - низкой, а затем снова высокой, что вроде, как невозможно.
При попадании под углом более крутым, чем нормаль, необходимо, чтобы скорость в прямом направлении уже была невысокой. В этом случае, по-видимому, мы проиграем по времени варианту удара о центр дна ямы.

[Munin]

zbl в сообщении #370788 писал(а):

Я о том же: он периодически не сможет биться внутри ямы.

Я считаю, что от краёв ямы он тоже отражается, и это и называю "периодически". В этом смысле задача не отличается от такой же со стартом внутри ямы с заданной скоростью.

[dvorkin_sacha]

Батороев в сообщении #371236 писал(а):

Как мне видится, многое зависит от того, под каким углом ударится шарик о противоположный край ямы.
При попадании под углом, соответствующим нормали окружности ямы, шарик вернется в исходную точку.

Об этом я писал еще вчера здесь: post370757.html#p370757
а здесь привел высоту, которая соответствует этой скорости: post370792.html#p370792
но ответа так и не увидел.
Далее я намекнул, как двигаться дальше: post371191.html#p371191

[Батороев]

venco в сообщении #370322 писал(а):

Если рассмотреть один отскок и затем просто пересечение финишной вертикали (как если бы после первого отскока земля исчезала), то производная времени по точке отскока положительна, т.е. чтобы время уменьшилось, точка отскока должна быть до центра ямы (неудивительно), но при этом шарику не хватит высоты и он отскочит ещё раз - уже назад. Так что, похоже, один отскок посередине - оптимум.

Если траекторию полета шарика представить себе, как соединенные в виде буквы $\gamma$ двух половинок парабол, то при ударе в центр ямы имеем симметричную букву $\gamma$.
При отскоке от точки до центра ямы имеем более широкую букву, но вторая ветвь которой, как справедливо утверждает venco, не достанет до края ямы.
В случае ударов за центр ямы буква будет сужаться и траектория полета, на мой взгляд, становится менее оптимальной.
При достижении некоторой точки за центром ямы мы получим сначала вторую ветвь в виде вертикальной прямой, а затем и переворот второй ветви. Теперь траектория полета будет напоминать букву $\nu$. При достижении некоторой точки, о которой говорил dvorkin_sacha, ветви буквы $\nu$ сольются в одну линию, а затем вторая ветвь окажется ниже первой. В этом случае вторая ветвь упирается в передний край ямы и появляется возможность второго отскока, но траектория полета шарика после этого второго отскока будет первоначально направлена в поверхность ямы, хотя и выше точки второго отскока. И вот в некоторый момент траектория приобретет форму симметричной фигуры, т.е. третья ветвь окажется на другом краю ямы. Вот этот случай то и можно было бы рассмотреть.

[dvorkin_sacha]

dvorkin_sacha в сообщении #371191 писал(а):

zbl,

далее, после решения пункта б) по методике, которую я описал, можно будет попытаться найти начальную скорость материальной точки, при которой она навечно застрянет в "полутрубе". Но эта часть задачи несколько посложней.

Вроде бы по пункту б) я все разжевал, но ответа так и нет. Ну да бог с ним. Как двигаться дальше? Докажите сначала, что никаких "стоячих" парабол в "полутрубе" не может быть (методом "от противного").

[zbl]

dvorkin_sacha в сообщении #371323 писал(а):

Вроде бы по пункту б) я все разжевал, но ответа так и нет.

Мне Ваша подсказка не помогла.
Помогло вспомнить, что в момент удара я горизонтальную составляющую скорости знаю.
Кстати, этим же способом восьмиклассники получают траекторию с ударом о нижнюю точку: они ж дифференцировать не умеют, но знают, что угол падения равен углу отражения и горизонтальная скорость не изменилась.

dvorkin_sacha в сообщении #371323 писал(а):

Как двигаться дальше?

Из размерностей, если не ошибаюсь, время у нас такое:
$ t = A\left( \frac{v}{\sqrt{Rg}} \right) \frac{R}{v} + B\left( \frac{v}{\sqrt{Rg}} \right) \sqrt{\frac{R}{g}} + C\left( \frac{v}{\sqrt{Rg}} \right) \frac{v}{g} $
При малых $\frac{v}{\sqrt{Rg}}$ шарик будет ступеньками спускаться на дно, а потом поднимется, и зависимость $t$ от $v$ будет более-менее регулярной.
При больших $\frac{v}{\sqrt{Rg}}$ -- то же самое.
Причём, при малых $\frac{v}{\sqrt{Rg}}$ мы время знаем, а при больших оно большое, но мы можем его зависимость от $v$ оценить.
При $\frac{v}{\sqrt{Rg}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ мы знаем $t$ точно, и это значение особо не зависит от формы ямы (возможно, поэтому $A$ -- вообще константа).

Тут будет некое "число Рейнольдса" -- значение $\frac{v}{\sqrt{Rg}}$, если превысить которое, шарик будет беситься.
Тогда выше этого числа уже только отдельные значения $v$ дадут перелёт через яму, а с точки зрения физики -- это значит, что не перелетаем мы, а пролетаем.
И будет ещё одно "число Рейнольдса", после которого он перестанет беситься.
Что-то мне подсказывает, что эти два числа не независимы.

Полным бы решением задачи была хотя бы грубая оценка этого "числа Рейнольдса" для данной формы ямы из соображений устойчивости, но вряд ли это тут удастся получить.
Можно так поменять форму ямы (сделать её параболической какой-нибудь), чтобы бильярд свёлся к решаемой двумерной задаче о движении в потенциальном поле.
Но тут, понятно, интересен общий подход, а не искусственный приём.

-- 06 ноя 2010 19:16 --

moscwicz в сообщении #370734 писал(а):

Для того, что бы этим фактом воспользоваться, нужно разрешить еще малое шевеление скорости по направлению, тогда можно утверждать, что почти каждая траектория вылетит вон из чашки.

А почему только малое шевеление?
Мы разрешим вертикальную составляющую начальной скорости.
Тогда уже наиполнейшая зеркальная симметрия будет.

А, если начальная скорость горизонтальна, то перелётов через яму будет больше, чем отражений от ямы? -- правда, смотря в каком смысле больше...

[dvorkin_sacha]

zbl в сообщении #371461 писал(а):

dvorkin_sacha в сообщении #371323 писал(а):

Вроде бы по пункту б) я все разжевал, но ответа так и нет.

Мне Ваша подсказка не помогла.
Помогло вспомнить, что в момент удара я горизонтальную составляющую скорости знаю.
Кстати, этим же способом восьмиклассники получают траекторию с ударом о нижнюю точку: они ж дифференцировать не умеют, но знают, что угол падения равен углу отражения и горизонтальная скорость не изменилась.

Тут только кинематика 8-го класса и законы упругого удара. Я приводил формулу для h, но скорость не находил. Если она получится меньше, чем в случае a), то решение туфтовое и его надо выбросить в мусорную корзину. Проверку предоставляю Вам. Хотя, если решать задачу относительно другого катета треугольника, то, если туфта, его значение будет отрицательно. Пожалуй, так проще, но я искал h. Положительный корень, больший или равный R, надо отбросить.

zbl в сообщении #371461 писал(а):

dvorkin_sacha в сообщении #371323 писал(а):

Как двигаться дальше?

....

Я писал, что сначала желательно проверить отсутствие стационарных траекторий в "яме".

[Утундрий]

Задача, на мой скус всё-таки излишне олимпиадна. Кубическое уравнение, всё-таки, знаете ли...

[dvorkin_sacha]

Утундрий в сообщении #371558 писал(а):

Задача, на мой скус всё-таки излишне олимпиадна. Кубическое уравнение, всё-таки, знаете ли...

Да нет, уравнение квадратное: не поленился, только что решил относительно другого катета - один корень - (-R/3), а второй - положительный и равный R. Т.е. туфта.

[Утундрий]

dvorkin_sacha в сообщении #371563 писал(а):

Да нет, уравнение квадратное: не поленился, только что решил относительно другого катета - один корень - (-R/3), а второй - положительный и равный R. Т.е. туфта.

Я, вообще-то, об уравнении на время пролета от из-бздынь к аут-бздынь, при произвольном начальном положении на нижней полуокружности.

[dvorkin_sacha]

zbl,

Мне кажется, что предложенная Вами формула может действовать только на множестве скоростей меры нуль, о чем и говорил Munin. Я бы для олимпиады предложил следующую формулировку задачи: найти не менее двух отличных от нуля скоростей, при которых материальная точка "перескочит" яму.

P.S.
Кстати, найдя такие 4 скорости, можно было бы и Вашу формулу проверить.