ВТФ и дискретная геометрия

[serval]

Поскольку ответа, по-прежнему, нет ни там ни тут, а мне очень нужно - я рискну. В оправдание скажу, что от этого зависит доказательство ВТФ для степени $n=3$.
Итак.

Имеется аналитически заданный вектор $\vec s$ в отношении которого предполагается, что он ортогонален численно заданному вектору $\vec n$.
Я беру два вектора $\vec u$ и $\vec v$ заведомо ортогональных вектору $\vec n$ (точнее, строю их как векторные произведения вектора $\vec n$ с 1-м и 2-м ортами) и раскладываю по ним вектор $\vec s=\alpha \vec u+\beta \vec v$.
В результате получаю соотношение коэффициентов разложения $\alpha=\frac{7}{2} \beta-\frac{1}{10}$.
Означает ли слагаемое $-\frac{1}{10}$ что вектор $\vec s$ не может быть разложен по векторам $\vec u$ и $\vec v$?
Все векторы имеют целочисленные компоненты.

[serval]

Неужели вопрос так сложен?
Если ответ положительный - я буду проверять доказательство и если не найду ошибок, то выложу.
Если же отрицательный - то не буду морочиться, а стану искать другой способ.

[mihiv]

Вопрос не совсем понятен:если векторы $\vec u,\vec v,\vec s$ ортогональны вектору $\vec n$,и $\vec u$ и $\vec v$ линейно независимы,то вектор $\vec s$,естественно,может быть разложен по векторам $\vec u$ и $\vec v$,причем для коэффициентов $\alpha ,\beta $ будут получены вполне определенные значения,соотношение же между $\alpha $ и $\beta $ может быть каким угодно и определяется выбором вектора $\vec s$.

[serval]

Относительно вектора $\vec s$ предполагается его ортогональность вектору $\vec n$.
Поскольку, один из трех компланарных векторов должен однозначно раскладываться по двум другим, то я и проверяю подозрительный на ортогональность вектор $\vec s$ раскладывая его по заведомо ортогональным векторам $\vec u$ и $\vec v$.
И получаю неоднозначное соотношение коэффициентов.

[venco]

serval в сообщении #362520 писал(а):

Поскольку, один из трех компланарных векторов должен однозначно раскладываться по двум другим, то я и проверяю подозрительный на ортогональность вектор $\vec s$ раскладывая его по заведомо ортогональным векторам $\vec u$ и $\vec v$.
И получаю неоднозначное соотношение коэффициентов.

Где неоднозначность?

[serval]

Если я положу $\beta=1$ а потом $\beta=2$ то получу не подобные, а совершенно разные векторы.

[venco]

serval в сообщении #362698 писал(а):

Если я положу $\beta=1$ а потом $\beta=2$ то получу не подобные, а совершенно разные векторы.

А почму Вы $\beta$ берёте произвольно? Ваша система должна однозначно определить и $\beta$.

[serval]

Потому что вектор $\vec s$ задан аналитически. Поэтому единственным требованием на коэффициенты разложения остается их пропорциональность.

[venco]

Причём тут аналитичность? У Вас система из трёх уравнений ранга 2 с двумя неизвестными $\alpha$ и $\beta$. Решение однозначно.

[serval]

Пусть $x^3+y^3=z^3$. Тогда для $x,y$ и $z$ должно выполняться отношение $\frac {x^2+y^2-z^2}{x+y-z}=\frac{8}{3}$ .
Соответственно, невозможность этого отношения означает невыполнимость ВТФ для степени $n=3$.
Это интересно? Стоит показывать?
Далее можно посчитать такие отношения для старших степеней.

P.S. Как я понимаю, выполнение отношения невозможно. Для проверки нужно расписать $(x+y-z)^2$, выделить $x^2+y^2-z^2$ и увидеть, что сумма произведений натуральных чисел не может составить дробное число.

[Виктор Ширшов]

serval. Непонятно, как получилось отношение $\frac{8}{3}$ для третьей степени и от этого интерес ещё более повысился. Хочется узнать, какими они будут для старшихбольших степеней и как Вы их "посчитаете".

[serval]

Раз интересно - значит покажу. Потом посчитать отношения для старших степеней вам не составит труда.
Сегодня уже не успею, постараюсь выложить завтра.

[venco]

serval в сообщении #363059 писал(а):

Пусть $x^3+y^3=z^3$. Тогда для $x,y$ и $z$ должно выполняться отношение $\frac {x^2+y^2-z^2}{x+y-z}=\frac{8}{3}$.

?

[dmd]

serval в сообщении #363059 писал(а):

Пусть $x^3+y^3=z^3$. Тогда для $x,y$ и $z$ должно выполняться отношение $\frac {x^2+y^2-z^2}{x+y-z}=\frac{8}{3}$ .

$x=11,y=8,z=13$: выполняется..

[serval]

Точно, выполняется.
Тогда помогите разобраться где я ошибся. Тут все просто.

Подход основан на представлении натурального числа $x$ в натуральной степени $n$ в виде скалярного произведения $x^n=(\vec n, \vec x)$.
Поскольку не принято обозначать векторы цифрами, добавим вектору показателя степени индекс явно указывающий степень. В нашем случае, степень $n=3$ будет определяться вектором $\vec n_3=(1,7,12,6)$ ( напомню, что он является строкой треугольника который строится с помощью рекуррентного соотношения $n_{ij}=(j-1)\cdot n_{i-1,j-1}+j\cdot n_{i-1,j}$, где строки нумеруются начиная с $0$, а столбцы - начиная с $1$).
Вектор же $\vec x$, определяющий основание степени, имеет вид $\vec x=(\frac {1}{0!},\ \frac {1}{1!}(x-1),\ \frac {1}{2!} (x-1)(x-2),\ \frac {1}{3!}(x-1)(x-2)(x-3),\ \ldots \ )$ и является строкой треугольника Паскаля, где строки и столбцы нумеруются начиная с $1$.
Тогда условие ВТФ для третьей степени $x^3+y^3=z^3$ можно переписать в виде $(\vec n_3, \vec x+\vec y-\vec z)=0$. Обозначим сумму векторов оснований как вектор $\vec s=\vec x+\vec y-\vec z$ и выпишем его явно:

$$\vec s=(1,\ x+y-z-1,\ \frac {1}{2}(x^2+y^2-z^2-3(x+y-z)+2),\ \frac {1}{6}(x^3+y^3-z^3-6(x^2+y^2-z^2)+11(x+y-z)-6))$$

Но если верно предположение об ортогональности векторов $(\vec n_3, \vec s)=0$, значит вектор $\vec s$ может быть однозначно разложен по $4$ линейно независимым векторам ортогональным вектору $\vec n_3$. Такие векторы легко построить, например, так:

$$\left|\begin{array}{cccc} \vec i&\vec j&\vec k&\vec t\\ 1&7&12&6\\ 1&1&1&1\\ 1&0&0&0 \end{array}\right|\rightarrow (0,-6,1,5),\ \left|\begin{array}{cccc} \vec i&\vec j&\vec k&\vec t\\ 1&7&12&6\\ 1&1&1&1\\ 0&1&0&0 \end{array}\right|\rightarrow (6,0,5,-11),\ \left|\begin{array}{cccc} \vec i&\vec j&\vec k&\vec t\\ 1&7&12&6\\ 1&1&1&1\\ 0&0&1&0 \end{array}\right|\rightarrow (-1,-5,0,6),\ \left|\begin{array}{cccc} \vec i&\vec j&\vec k&\vec t\\ 1&7&12&6\\ 1&1&1&1\\ 0&0&0&1 \end{array}\right|\rightarrow (-5,11,-6,0).$$

Теперь разложим по ним вектор $\vec s$: $\vec s=\alpha(0,-6,1,5)+\beta(6,0,5,-11)+\gamma(-1,-5,0,6)+\delta(-5,11,-6,0)$. Произведя необходимые операции получим выражения компонентов вектора $\vec s$ через коэффициенты разложения $\alpha,\beta,\gamma$ и $\delta$:

$1=6\beta-\gamma-5\delta$
$x+y-z-1=-6\alpha-5\gamma+11\delta$
$x^2+y^2-z^2-3(x+y-z)+2=2(\alpha+5\beta-6\delta)$
$x^3+y^3-z^3-6(x^2+y^2-z^2)+11(x+y-z)-6=6(5\alpha-11\beta+6\gamma)$

Выделив выражения сумм степеней через коэффициенты разложения и сделав необходимые замены, получим:

$1=6\beta-\gamma-5\delta$
$x+y-z=-6(\alpha-\beta+\gamma-\delta)$
$x^2+y^2-z^2=-16(\alpha-\beta+\gamma-\delta)$
$x^3+y^3-z^3=0$

Третья и вторая строки дают отношение $\frac{x^2+y^2-z^2}{x+y-z}=\frac{8}{3}$.
Вроде, ничего не напутал. Проверьте пожалуйста.