2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 ... 28  След.
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение05.02.2011, 18:26 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Таким образом, доказательство ВТФ свелось к рассмотрению распределения целых точек на гиперсфере радиуса $R=\sqrt{3}$.
Но как это сделать я не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение08.02.2011, 08:12 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
А есть ли способы представить куб суммой кубов (более двух), четвертую степень - суммой четвертых, пятую - пятых и т.д.? Или, хотя бы, гипотезы? Нужно проверить одну мысль.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение08.02.2011, 16:57 
Аватара пользователя


25/03/08
241
Есть конечно, $3^3+4^3+5^3=6^3$, $95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4$. Гипотез тоже полно, смотрите тут: http://euler.free.fr/

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение08.02.2011, 17:45 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Я извиняюсь за невнятный вопрос.
Пусть дано число $k^n$, где $k$ и $n$ - натуральные. Сколькими способами его можно представить в виде суммы $n$-х степеней различных натуральных чисел?
К примеру, можно ли представить квадрат суммой трех квадратов? А четырех? А куб суммой трех кубов?
Есть ли формулы для таких представлений?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение14.02.2011, 08:53 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Имеется множество $N$-мерных векторов таких, что в каждом из них лишь $3$ элемента равны $1$, а остальные равны $0$.
Есть ли способ разбить это множество на подмножества такие, что каждое из них объединяет векторы принадлежащие одной гиперплоскости?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение14.02.2011, 20:25 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Концы указанных векторов лежат на $N+1$-мерной гиперсфере радиуса $R=\sqrt 3$ и можно указать, минимум, два требуемых подмножества (концы принадлежащих им векторов лежат на $N$-мерных окружностях). Можно ли указать другие подмножества?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение18.02.2011, 01:06 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Я все думаю, как сделать задачу наглядной. Чтобы стало интересно. Может быть, так?

Есть $N$-мерный вектор $\vec n_0=(1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1\dots)$ и есть линейный оператор $A_1$, результатом действия которого на вектор $\vec n_0$ является вектор $\vec n_1=(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\dots)$. Действие же оператора $A_1$ на вектор $\vec n_1$ дает вектор $\vec n_2=(1,\ 2^2,\ 3^2,\ 4^2,\ 5^2\dots)$. И так далее.
Проще говоря, $A_1\vec n_i=\vec n_{i+1}$.
Или так $A_1^{i}\vec n_0=\vec n_i$.
Или вот как: действие степеней оператора $A_1$ на вектор $\vec n_0=(1^0,\ 2^0,\ 3^0,\ 4^0,\ 5^0\dots)$ порождает векторы $\vec n_1=(1^1,\ 2^1,\ 3^1,\ 4^1,\ 5^1\dots)$, $\vec n_2=(1^2,\ 2^2,\ 3^2,\ 4^2,\ 5^2\dots)$, $\vec n_3=(1^3,\ 2^3,\ 3^3,\ 4^3,\ 5^3\dots)$ и так далее.
Требуется рассмотреть сечение гиперсферы размерности $N+1$ с центром в начале координат такой, что ее поверхность содержит целые точки имеющие лишь три ненулевых координаты со значениями $\pm 1$, гиперплоскостями нормальными векторам $\vec n_0,\ \vec n_1,\ \vec n_2,\ \vec n_3,\ \dots$
Если ВТФ верна, то через указанные точки (точнее, через некоторые их подмножества) пройдут лишь два сечения - гиперплоскоскостями нормальными векторам $\vec n_1$ и $\vec n_2$.

Неужели не интересно?

P.S. К слову, а как будут распределены эти точки по гиперокружностям в каждом из двух случаев?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение07.03.2011, 19:47 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Вот и новая мысль. И опять проще предыдущей, хоть каждый раз кажется, что проще уже некуда. Либо опять тривиальная ошибка. По некоторым причинам, сейчас я не имею возможности посчитать, поэтому прошу сделать это за меня (конечно, если это вообще потребуется). Итак.

Для примера, возьмем вектор $\vec n_5^1=(5,4,3,2,1)$ и, посмотрев на его скалярные произведения с векторами $\vec g_{11}=(-1,1,0,0,1)$ и $\vec g_{12}=(-1,0,1,1,0)$, увидим, что $1+4=5$ и $2+3=5$. Таким образом, векторы $\vec g_{s1}$ и $\vec g_{s2}$ принадлежат гиперплоскости нормальной вектору $\vec n_5^1$.
Но ведь мы легко можем выписать и другие целые векторы (по аналогии с целыми точками) принадлежащие этой гиперплоскости:

$(-1,0,0,0,5),\ (-2,0,0,5,0),\ (-3,0,5,0,0),\ (-4,5,0,0,0),\ (0,-1,0,0,4)$,
$(0,-2,0,4,0),\ (0,-3,4,0,0), (0,0,-1,0,3),\ (0,0,-2,3,0),\ (0,0,0,-1,2)$.

Так много нам не нужно, ведь любой из векторов этой гиперплоскости может быть представлен линейной комбинацией всего $4$ других. Нас интересует возможность такого представления векторов $\vec g_{11}$ и $\vec g_{12}$.
Если все сказанное верно, то матрица составленная из любых четырех двузначных (по числу ненулевых компонентов) и одного трехзначного ($\vec g_{11}$ или $\vec g_{12}$) векторов будет иметь определитель равный нулю. Если же в качестве трехзначного будет взят вектор $(-1,1,0,1,0),\ (-1,1,1,0,0),\ (-1,0,1,0,1)$ или $(-1,0,0,1,1)$, то определитель такой матрицы будет отличен от нуля.
Пожалуйста, проверьте.

А теперь нужно проделать все то же самое (построить двузначные векторы и посчитать определители) с векторами $\vec n_5^2=(5^2,4^2,3^2,2^2,1^2)$ и $\vec g_{21}=(-1,1,1,0,0)$ чтобы проверить является ли вектор $\vec g_{21}$ единственным трехзначным вектором обращающим определители матриц в ноль.

Если бы все получилось, то было бы интересно привести вырожденные матрицы (для обеих степеней) к наиболее простому виду и поискать закономерности.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение08.03.2011, 20:16 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Ну просто же все! Если не хотите считать, то просто скажите - ошибся я в рассуждениях или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение09.04.2011, 19:25 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Далее: нужно посмотреть сечение гиперсферы радиуса $R=\sqrt3$ гиперплоскостями отстоящими от начала координат на $1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение16.04.2011, 19:17 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Итак, ВТФ свелась к расстановке целых точек на гиперокружностях расположенных под углом к началу координат. С центром ли в нем - пока вопрос.
Есть ли результаты в этой области?
Пытаюсь читать "Квадратичные формы данные нам в ощущениях". Пробую применить графы. Но совсем нет времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение24.04.2011, 12:57 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Пожалуйста, подскажите можно ли упростить формулу (исключить из нее факториалы от факториалов) для вычисления биномиального коэффициента $C_n^k$ где $n=C_N^3$ и $k=(N-1)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение17.05.2011, 20:41 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Наверное, еще один пост самому себе.
Очень короткое промежуточное обобщение.

Ограничимся некоторой размерностью, например, $N=11$. Рассмотрим вектор нормали гиперплоскости $\vec n_1=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)$.
Тогда:
1. Множество векторов вида $(0,1,0,0,0,0,1,0,-1,0,0)$ где номер позиции компонента со значением $-1$ равен сумме номеров позиций двух компонентов со значениями $1$, а остальные компоненты имеют значения $0$, принадлежит этой гиперплоскости.
2. Каждый из указанных векторов определяет $3$-мерную вершину $11$-мерного гиперкуба со стороной равной $2$ и центром в начале координат (но не каждая $3$-мерная вершина определяется таким вектором).
3. Каждый из указанных векторов определяет целую точку на $11$-мерной гиперокружности принадлежащей этой гиперплоскости.

Вопрос: Является ли сечение данного гиперкуба данной гиперплоскостью правильным многоугольником?

Далее.
Подействуем линейным оператором $B$ на вектор $\vec n_1$ и получим вектор нормали другой гиперплоскости $\vec n_2$.

Вопрос: Пересечет ли новая гиперплоскость прежний гиперкуб в каких-либо $3$-мерных вершинах?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение20.05.2011, 20:48 


02/04/11
956
serval в сообщении #435606 писал(а):
Пытаюсь читать "Квадратичные формы данные нам в ощущениях".

Убило :D

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение20.05.2011, 21:45 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Что именно убило? Хорошая книга и издатель солидный - http://biblio.mccme.ru/node/1931.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 413 ]  На страницу Пред.  1 ... 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 ... 28  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group