Комплексная плоскость и RxR

[Виктор Викторов]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #357939 писал(а):

[off]Что-то какая-то дурная дискуссия тут пошла. Явно в "Дискуссионные темы (М)" просится.

Вы правы.

[ewert]

(Оффтоп)

вот именно, какой-то бред. Кому и как интересно, что и в какой книжке определяется.

[VoloCh]

Мне кажется что дискуссионость этой темы определена вопросом (с приятной самокритикой)

Виктор Викторов в сообщении #357845 писал(а):

Я должен извиниться за безграмотно поставленный вопрос. Тема должна была быть заявлена так: «Комплексная плоскость и евклидова плоскость». В чём различие между ними?

И тут же сделанным ответом

Виктор Викторов в сообщении #357845 писал(а):

Итак, отличие комплексной плоскости от евклидовой плоскости в том, как задано произведение.

Зачем тогда спрашивал, если знал ответ? Это тогда в ОЗ. А дискуссия действительно возникла по терминологии (1) что такое комплексная плоскость? и (2) что называть различием. По поводу первого я увидел только 12-ю аксиому. Где тогда остальные? А так как тут точных опередений нет, - вот и проходится лазить в разные книжки и смотреть ...

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #357933 писал(а):

VoloCh в сообщении #357910 писал(а):

Теперь вы берете введенное выше ЛВП и вводите новую операцию, умножения векторов друг на друга. Что мы получим? Отвечаю. Это по прежнему будет ЛВП размерности 2 с введенной операцией умножения. Вы спрашиваете будет ли это тоже самое, что ${\mathbb C}$? Тут зависит от того, что вкладывать в слова "тоже самое". Я, исходя из своих скромных (возможно, искаженных) познаний, утверждаю, что это не будет "тоже самое".

Жду доказательства из Ваших скромных познаний!

Вам был задан вопрос. Поскольку Вы утверждаете, что

VoloCh в сообщении #357910 писал(а):

Я, исходя из своих скромных (возможно, искаженных) познаний, утверждаю, что это не будет "тоже самое".

то я Вам говорю: докажите это! В Вашем ответе не вижу этого доказательства. До получения оного для продолжения разговора нет причин.

[VoloCh]

Виктор Викторов! Хорош прикалывацца! Я все объяснил. Исходя из моего понимания что такое ${\mathbb C}$. Если не нравицца - давайте сначала. Дайте свое определение пространства ${\mathbb C}$. Может быть, в вашем определении нет разницы. Вы же сами каждый раз пишите про "трамвай"!

[VoloCh]

Или, извините за непонятливость, мне нужно доказать одномерность ${\mathbb C}$?

[Виктор Викторов]

VoloCh в сообщении #358069 писал(а):

Или, извините за непонятливость, мне нужно доказать одномерность ${\mathbb C}$?

Виктор Викторов в сообщении #357933 писал(а):

VoloCh в сообщении #357910 писал(а):

Теперь вы берете введенное выше ЛВП и вводите новую операцию, умножения векторов друг на друга. Что мы получим? Отвечаю. Это по прежнему будет ЛВП размерности 2 с введенной операцией умножения. Вы спрашиваете будет ли это тоже самое, что ${\mathbb C}$? Тут зависит от того, что вкладывать в слова "тоже самое". Я, исходя из своих скромных (возможно, искаженных) познаний, утверждаю, что это не будет "тоже самое".

Жду доказательства из Ваших скромных познаний!

VoloCh в сообщении #357910 писал(а):

Я, исходя из своих скромных (возможно, искаженных) познаний, утверждаю, что это не будет "тоже самое".

Докажите, что "это" не "тоже самое".

[VoloCh]

Теорема. ${\mathbb R}^2$ не тоже самое, что ${\mathbb C}$.
Доказательство. От Противного. Если бы было то же самое, то они имели бы одинаковую размерность (максимально возможное количество линейно независиых векторов). Но в первом случае это 2, а во втором 1. Уходи, Противный!

[Виктор Викторов]

Вот, то, что Вы собирались доказать:

VoloCh в сообщении #357910 писал(а):

Теперь вы берете введенное выше ЛВП и вводите новую операцию, умножения векторов друг на друга. Что мы получим? Отвечаю. Это по прежнему будет ЛВП размерности 2 с введенной операцией умножения. Вы спрашиваете будет ли это тоже самое, что ${\mathbb C}$? Тут зависит от того, что вкладывать в слова "тоже самое". Я, исходя из своих скромных (возможно, искаженных) познаний, утверждаю, что это не будет "тоже самое".

Вот, то, что Вы доказали:

VoloCh в сообщении #358141 писал(а):

Теорема. ${\mathbb R}^2$ не тоже самое, что ${\mathbb C}$.
Доказательство. От Противного. Если бы было то же самое, то они имели бы одинаковую размерность (максимально возможное количество линейно независиых векторов). Но в первом случае это 2, а во втором 1. Уходи, Противный!

Разговор закончен.

[AD]

Виктор Викторов в сообщении #357498 писал(а):

В чем различие между комплексной плоскостью и $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$? Ответ мне известен, но из пяти студентов знал только один.

Виктор Викторов в сообщении #357553 писал(а):

Maslov в сообщении #357531 писал(а):

На мой взгляд, немного странная постановка вопроса.

Чем странна постановка вопроса?

Можно я немножко своего imho тут выскажу? Такого рода постановки странны тем, что предполагает у студентов наличие не только математической подготовки, но и серьёзных телепатических навыков. Задавать такие вопросы на экзамене по математике, imho, нельзя вообще. То есть совсем нельзя. Можно задавать только вопросы со строгой постановкой (дать определение из курса, сформулировать теорему из курса, верно ли утверждение, вычислить (...)). А вопросы вида "угадайте-ка, что у меня в голове??" (еще пара примеров таких вопросов: "В чем суть дифференциала?", "Какое свойство Гамма-функции - наиболее основополагающее?"), возможно, пригодны для экзаменов по гуманитарным предметам (потому что - и в этом и состоит imhoшность моего сообщения - imho, там других вопросов и не бывает). Но в математике так нельзя. Просто нельзя и всё. Во всяком случае, неответ на такой вопрос не должен наказываться. Студент должен иметь право в таких случаях с честью ответить: "Я не понял вопрос". Любая попытка понять вопрос может неожиданно привести к вот такого рода конфликтам, как у Вас тут с VoloCh* чуть до драки не дошло. Студент не обязан быть телепатом.

Вот (: Надеюсь, кто-нибудь что-нибудь понял (:
_________________
* Ой, дико извиняюсь за каламбур

(Оффтоп)

What is the difference between a duck?

[terminator-II]

телепатом студент быть не обязан, а знать, что в линейном пространтсве $(\mathbb{R}^2)$ умножения векторов нет (по определению), а в $\mathbb{C}$ есть (по определению) обязан, и что с этим умножением оно превращается в поле. Это что что бы было за что два ставить. А что бы было за что три три ставить он еще обязан понимать, что такое комплексная размерность, а что такое действительная.

[ewert]

VoloCh в сообщении #358141 писал(а):

Теорема. ${\mathbb R}^2$ не тоже самое, что ${\mathbb C}$.
Доказательство. От Противного. Если бы было то же самое, то они имели бы одинаковую размерность (максимально возможное количество линейно независиых векторов). Но в первом случае это 2, а во втором 1. Уходи, Противный!

Мимо кассы. Если ${\mathbb C}$ сравнивается именно с ${\mathbb R}^2$, то ${\mathbb C}$ -- тоже двумерно.

[Профессор Снэйп]

AD в сообщении #358181 писал(а):

Задавать такие вопросы на экзамене по математике, imho, нельзя вообще. То есть совсем нельзя.

+ 1

Я бы ответил так: $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$, но $\mathbb{R} \not\subset \mathbb{R}^2$

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #358194 писал(а):

Я бы ответил так: $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$

Вы абсолютно уверены?...

[paha]

terminator-II в сообщении #358185 писал(а):

что в линейном пространтсве $(\mathbb{R}^2)$ умножения векторов нет (по определению), а в $\mathbb{C}$ есть

Тут опять: а в каком смысле в $\mathbb{C}$ есть вектора? Мы ведь вещественные числа векторами не называем, хотя могли бы. И функции синус и косинус векторами не называем, хотя они -- вектора в $C([0,1])$ и много еще где.

Конечно, комплексные числа складываются и умножаются на вещественные точно также, как вектора в $\mathbb{R}^2$. На то $\mathbb{R}^2$ и модель для $\mathbb{C}$ (вроде, Гаусс придумал), а моделей можно предложить сколько угодно... например: матрицы вида

$$\left( \begin{array}{cc} x&y\\ -y&x\end{array}\right)$$

($x,y\in\mathbb{R}$) с естественным сложением и умножением образуют поле, изоморфное $\mathbb{C}$.

terminator-II в сообщении #358185 писал(а):

в линейном пространтсве $(\mathbb{R}^2)$ умножения векторов нет

топикстартер же потом оговорился: не просто линейное пространство, а с евклидовой структурой:) и умножение там есть