Комплексная плоскость и RxR

[Someone]

paha в сообщении #357836 писал(а):

В старте топика прозвучало: комплексные числа в сравнении с $\mathbb{R}^2$... я имел ввиду умножение в $\mathbb{C}$ как алгебре над $\mathbb{R}$

В стартовом сообщении вопрос невразумителен, поэтому на него можно давать самые разные ответы. Зато потом последовало уточнение:

Виктор Викторов в сообщении #357553 писал(а):

Maslov в сообщении #357531 писал(а):

На мой взгляд, немного странная постановка вопроса.

Чем странна постановка вопроса? Комплексное пространство и $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ оба векторные пространства над полем вещественных чисел. Определение умножения, как комплексного, так и скалярного не входит в определение линейного пространства, а умножение вектора на вещественное число работает и в $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ и в комплексном пространстве.

Впрочем, тоже не очень хорошее. "Комплексное (векторное) пространство", то есть, векторное пространство $\mathbb C$ над полем $\mathbb C$, и (вещественное) векторное пространство $\mathbb C$ над полем $\mathbb R$ - не одно и то же. Впрочем, каюсь, я сначала не обратил внимания на слово "оба" и прочёл только "комплексное пространство".
Но в варианте "оба" $\mathbb C$ и $\mathbb R^2$ как векторные пространства над полем $\mathbb R$, разумеется, изоморфны. Если не путать с алгеброй $\mathbb C$ над полем $\mathbb R$.

Общепринятые краткие обозначения, конечно, удобны, но создают возможность для путаницы.

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #357553 писал(а):

Maslov в сообщении #357531 писал(а):

На мой взгляд, немного странная постановка вопроса.

Чем странна постановка вопроса? Комплексное пространство и $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ оба векторные пространства над полем вещественных чисел. Определение умножения, как комплексного, так и скалярного не входит в определение линейного пространства, а умножение вектора на вещественное число работает и в $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ и в комплексном пространстве.

Someone в сообщении #357813 писал(а):

И эти векторные пространства различны. Они не только не изоморфны, а просто над разными полями.
А причём тут всякие дополнительные структуры, которые можно определить на этих пространствах? Вроде скалярного произведения или структуры алгебры.

Я должен извиниться за безграмотно поставленный вопрос. Тема должна была быть заявлена так: «Комплексная плоскость и евклидова плоскость». В чём различие между ними?
Рассмотрим $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$. Если определить умножение по правилу $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=(x_1x_2-y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)$, то получается комплексная плоскость. Если определить умножение по правилу $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=x_1x_2+y_1y_2$, то имеем евклидову плоскость со скалярным произведением. Итак, отличие комплексной плоскости от евклидовой плоскости в том, как задано произведение.

[VoloCh]

BapuK в сообщении #357552 писал(а):

VoloCh в сообщении #357543 писал(а):

Н-да, список длинный. еще $\mathbb{R}^2$ двумерно а $\mathbb{C}$ одномерно

С чего бы это вдруг? $\mathbb{C}$ так же двумерно, не зря же комплексным числам дают геометрическую интерпретацию на плоскости

$\mathbb{C}$ над полем $\mathbb{C}$ одномерное ЛП. $\mathbb{R}^2$ над полем $\mathbb{R}$ двумерно. Так что $\mathbb{C}$ (точнее $\mathbb{C}^1$) — это комплексная прямая. А ваша "интерпретитация" — это для физикоф.

[paha]

Виктор Викторов в сообщении #357845 писал(а):

Итак, отличие комплексной плоскости от евклидовой плоскости в том, как задано произведение.

Вам уже указывали, что это совершенно различные операции: product и multiplication

У комплексных чисел норма есть -- это и есть евклидова структура с длинами и углами, если угодно:

$$ z\cdot w=\frac{1}{2}\Bigl( |z|^2+|w|^2-|z-w|^2\Bigr)=|z||w|\cos \widehat{zw}. $$

А на евклидовой плоскости никакой мультипликативной структуры нет.

Так что Ваш ответ "там разные произведения" по меньшей мере наивен, ибо нельзя евклидову плоскость и $\mathbb{C}$ назвать с единой точки зрения "пространствами с произведением"

[VoloCh]

То есть сама тема дискуссии сформулирована неверно. Стартовый автор вопрошает про ${\mathbb C}$, но термин "комплексная плоскость" занят за ${\mathbb C}^2$.

[Виктор Викторов]

paha в сообщении #357849 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #357845 писал(а):

Итак, отличие комплексной плоскости от евклидовой плоскости в том, как задано произведение.

Вам уже указывали, что это совершенно различные операции: product и multiplication

paha в сообщении #357849 писал(а):

Так что Ваш ответ "там разные произведения" по меньшей мере наивен, ибо нельзя евклидову плоскость и $\mathbb{C}$ назвать с единой точки зрения "пространствами с произведением"

Виктор Викторов в сообщении #357574 писал(а):

...нужно при этом объяснить различие между двумя "в". В одном случае, выбросив ноль, получаем абелеву группу по умножению, а в другом произведение -- двух векторов не есть вектор, а только вещественное число и даже ассоциативности нет.

В чём различия между операциями я знаю. Но, Вы будете утверждать, что различие между $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ с умножением заданным по правилу $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=(x_1x_2-y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)$ (комплексные числа) отличается от $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ с умножением заданным по правилу $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=x_1x_2+y_1y_2$ (евклидова плоскость) чем-нибудь другим? Чем? Поделитесь. И ещё раз: я не говорю, что эти две операции однотипные, но одна называется умножение комплексных чисел (умножение двух векторов по некоторому правилу дает вектор) и другая называется скалярное произведение (произведение двух векторов дает вещественное число).
Сравниваю я их только в одном: задаём одну операцию получаем комплексные числа, задаем вторую -- получаем евклидово пространство двух измерений. Вам уже на это указали? Или надо повторить?

[VoloCh]

"Скалярное произведение" - это не "алгебраическое умножение", так как последнее - это операция, результатом которой является элемент рассматриваемого множества, а не какое-то там действительное число, как в случае с первым.

[Виктор Викторов]

VoloCh в сообщении #357854 писал(а):

"Скалярное произведение" - это не "алгебраическое умножение", так как последнее - это операция, результатом которой является элемент рассматриваемого множества, а не какое-то там действительное число, как в случае с первым.

Давайте о терминологии отдельно. Давайте говорить "Аксиома 12" и "Аксиома 12Ф". Но эти аксиомы только и есть различие между комплексными числами и евклидовым пространством. И если у Вас об этом другое мнение, то напишите подробно. Кстати, не понимаю Вашего пренебрежения "какое-то там действительное число". Все (или почти все) выросло в математике из множества вещественных чисел.

[VoloCh]

Виктор Викторов в сообщении #357852 писал(а):

Но, Вы будете утверждать, что различие между $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ с умножением заданным по правилу $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=(x_1x_2-y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)$ (комплексные числа) отличается от $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ с умножением заданным по правилу $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=x_1x_2+y_1y_2$ (евклидова плоскость) чем-нибудь другим? Чем? Поделитесь.... Сравниваю я их только в одном: задаём одну операцию получаем комплексные числа, задаем вторую -- получаем евклидово пространство двух измерений.

Нет никакого пренебрежения. По-моему, пренебрежение (к собеседникам) у вас. Вот о чем вы спрашиваете в приведенной цитате? Ваш вопрос: Различие отличается чем-нибудь другим? Мой ответ: Различие отличается другим!

Я вам попытался ответить, что "ск.произвдение" это действительная функция двух аргументов. А умножение в множестве - это операция со свойствами, ее результатом является элемент того же множества. А "Задание скалярного произведения" вовсе "не задает пространство двух измерений", как вы думаете. Ваша проблема в смеси алгебры и геометрии. Ваша "комплексная плоскость" только с точки зрения геометрии "плоскость", а с точки зрения алгебры - "прямая".

[Виктор Викторов]

VoloCh в сообщении #357850 писал(а):

То есть сама тема дискуссии сформулирована неверно. Стартовый автор вопрошает про ${\mathbb C}$, но термин "комплексная плоскость" занят за ${\mathbb C}^2$.

В книге Б. П. Шабат "Введение в комплексный анализ" ${\mathbb C}$ называется комплексной плоскостью. Какой термин используете в этом случае Вы и где об этом можно прочитать?

[VoloCh]

Виктор Викторов в сообщении #357857 писал(а):

В книге Б. П. Шабат "Введение в комплексный анализ" ${\mathbb C}$ называется комплексной плоскостью. Какой термин используете в этом случае Вы и где об этом можно прочитать?

Я уже объяснил... Некоторые авторы используют неверный неточный термин "плоскость"... только имея виду эту чертову геометрическую интерпретацию. Откуду я взял это? Да хотя бы из линейной алгебры. Посмотрите, что такое "размерность" линейного пространства. Там про линейную независимость и прочее... Ссылки... ща погуглим... нет, не то... еще немного... да вот же: http://www.dimensions-math.org/Dim_CH5_RU.htm ... в конце раздела 4.

[Виктор Викторов]

VoloCh в сообщении #357856 писал(а):

Я вам попытался ответить, что "ск.произвдение" это действительная функция двух аргументов. А умножение в множестве - это операция со свойствами, ее результатом является элемент того же множества. А "Задание скалярного произведения" вовсе "не задает пространство двух измерений", как вы думаете. Ваша проблема в смеси алгебры и геометрии. Ваша "комплексная плоскость" только с точки зрения геометрии "плоскость", а с точки зрения алгебры - "прямая".

Виктор Викторов в http://dxdy.ru/post357845.html#p357845 писал(а):

Я должен извиниться за безграмотно поставленный вопрос. Тема должна была быть заявлена так: «Комплексная плоскость и евклидова плоскость». В чём различие между ними?
Рассмотрим $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$. Если определить умножение по правилу $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=(x_1x_2-y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)$, то получается комплексная плоскость. Если определить умножение по правилу $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=x_1x_2+y_1y_2$, то имеем евклидову плоскость со скалярным произведением. Итак, отличие комплексной плоскости от евклидовой плоскости в том, как задано произведение.

Вот это написал я. Кого Вы цитируете "Задание скалярного произведения", "не задает пространство двух измерений" лучше знать Вам. То,что ""ск.произвдение" это действительная функция двух аргументов" спору нет. Где мои возражения на эту тему?
Попробуем ещё раз. Рассмотрим $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$. Координатные пространства вещественны. Мы над полем $\mathbb{R}$. Теперь добавим аксиому 12.
Аксиома 12. Для любых двух векторов определим третий вектор по правилу $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=(x_1x_2-y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)$.
$\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ вместе с Аксиомой 12 -- это комплексные числа (по Шабату: комплексная плоскость).
А теперь Аксиома 12Ф. Для любых двух векторов определим вещественное число по правилу $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=x_1x_2+y_1y_2$.
$\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ вместе с Аксиомой 12Ф -- это евклидово пространство.
На всякий случай цитата из Колмогорова и Фомина "Линейное пространство сфиксированным в нем скалярным произведением называется евклидовым пространством".

Итак, множество комплексных чисел и евклидово пространство различаются тем, что в одном случае используется Аксиома 12, а в другом Аксиома 12Ф.

-- Чт сен 30, 2010 20:57:37 --

VoloCh в сообщении #357858 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #357857 писал(а):

В книге Б. П. Шабат "Введение в комплексный анализ" ${\mathbb C}$ называется комплексной плоскостью. Какой термин используете в этом случае Вы и где об этом можно прочитать?

Я уже объяснил... Некоторые авторы используют неверный неточный термин "плоскость"... только имея виду эту чертову геометрическую интерпретацию. Откуду я взял это? Да хотя бы из линейной алгебры. Посмотрите, что такое "размерность" линейного пространства. Там про линейную независимость и прочее... Ссылки... ща погуглим... нет, не то... еще немного... да вот же: http://www.dimensions-math.org/Dim_CH5_RU.htm ... в конце раздела 4.

Лучше без "чертову". Google не документ. Нет книги -- нет термина. Назовите книгу и где издана и, наконец, сам термин. К "Некоторые авторы используют неверный неточный термин" лучше добавлять: с моей точки зрения.

[VoloCh]

Уважаемый Виктор Викторов!

Если мы берем пары действительных чисел $(x,y)$, вводим на них (обычным образом) операцию сложения (между собой) и умножения (на действительное число). То получаем двумерное линейное векторное пространство. Назовем его ${\mathbb R}^2$. Его элементы называют (я назову) векторами. Если на нем введем еще скалярное произведение (по указанной вами формуле), то получим евклидово пространство (строго говоря, обозначаемое ${\mathbb R}^2_2$). Спору нет.

Теперь вы берете введенное выше ЛВП и вводите новую операцию, умножения векторов друг на друга. Что мы получим? Отвечаю. Это по прежнему будет ЛВП размерности 2 с введенной операцией умножения. Вы спрашиваете будет ли это тоже самое, что ${\mathbb C}$? Тут зависит от того, что вкладывать в слова "тоже самое". Я, исходя из своих скромных (возможно, искаженных) познаний, утверждаю, что это не будет "тоже самое".

Потому что изначально ${\mathbb C}$ рассматривается так (ахтунг! сравнивайте с моим первым предложением!): пары действительных чисел $(x,y)$, вводим на них (обычным образом) операцию сложения (между собой) и умножения специальным образом (между собой). И тут немедленно ${\mathbb C}$ становится (алгебраически) сначала полем, а потом уж и одномерным линейным векторным пространством.

И я не виноват, что у вас не хватает литературы про линейные пространства. Ладно. Уговорили... Возьмем вашего (и уважаемого мною) Колмогорова-Фомина (Москва, Наука, 1981)... Читаем Главу III, параграф 1 ("Линейные пространства") с самого начала, не пропускаем сносочку на первой странице(!) и далее идем в конец пункта 3 (у меня это с. 122, первый абзац сверху) Читаем... там и про ${\mathbb R}$ и про ${\mathbb C}$ и про их размерность.

Конечно, у Колмогорова нету слов "плоскость" или "прямая". Это, извините, уж моя отсебятина. Знаете ли, я люблю одномерное пространство называть "прямой", а двумерное "плоскостью", такая вот у меня придурь. А если Ваш Шабат любит называть по-другому, ну что ж... у него придурь другая...

[Виктор Викторов]

VoloCh в сообщении #357910 писал(а):

Если мы берем пары действительных чисел $(x,y)$, вводим на них (обычным образом) операцию сложения (между собой) и умножения (на действительное число). То получаем двумерное линейное векторное пространство. Назовем его ${\mathbb R}^2$. Его элементы называют (я назову) векторами. Если на нем введем еще скалярное произведение (по указанной вами формуле), то получим евклидово пространство (строго говоря, обозначаемое ${\mathbb R}^2_2$). Спору нет.

Прогресс!

VoloCh в сообщении #357910 писал(а):

Теперь вы берете введенное выше ЛВП и вводите новую операцию, умножения векторов друг на друга. Что мы получим? Отвечаю. Это по прежнему будет ЛВП размерности 2 с введенной операцией умножения. Вы спрашиваете будет ли это тоже самое, что ${\mathbb C}$? Тут зависит от того, что вкладывать в слова "тоже самое". Я, исходя из своих скромных (возможно, искаженных) познаний, утверждаю, что это не будет "тоже самое".

Жду доказательства из Ваших скромных познаний!

[Someone]

(Оффтоп)

Что-то какая-то дурная дискуссия тут пошла. Явно в "Дискуссионные темы (М)" просится.