Комплексная плоскость и RxR

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #359468 писал(а):

И мне казалось, что речь идёт о множестве комплексных чисел.

Вот видите. Как говаривал тов. Мюллер, "маленькая ложь рожает большие подозрения". Вам казалось одно -- выговорили же Вы совершенно другое. ТщательнЕе надо, ребята, тщательнЕе. Тем более перед студентами: ну уж им-то зачем мозги пудрить?...

[Padawan]

(Оффтоп)

paha в сообщении #359364 писал(а):

ewert в сообщении #359346 писал(а):

и то, что нечаянно возникает как вещественная часть произведения -- всего лишь курьез, который в курсе и не используется

Это не курьез, так же как и то, что мнимая часть задает симплектическую структуру.

А в курсе не используется, потому, что угол между векторами легче посчитать как аргумент числа $z\bar{w}$, но ведь это тот самый евклидов косинус

И в $\mathbb C^n$ тоже $(w,z)=\mathrm{Re}\, <w,z>$, где $<w,z>$ -- комплексное(унитарное) скалярное произведение. Так что, это не курьез.

[Виктор Викторов]

paha в сообщении #359323 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #359290 писал(а):

ни одно из этих пространств не является частным случаем другого. Эти пространства весьма отличаются друг от друга

В $\mathbb{C}$ имеется естественная евклидова структура:

$$ (z,w)={\rm Re}\,z\bar{w}=\frac{1}{2}\Bigl(|z|^2+|w|^2-|z-w|^2\Bigr). $$

Она, конечно же используется -- ни один курс не обходится без упоминания модуля комплексного числа, а это и есть длина вектора (евклидова структура).

Пожалуй с «маловысокохудожественно» я слегка поторопился... Но, если пойти дальше по Вашей логике, то определяем евклидово пространство (девять аксиом) и добавляем ещё одну аксиому (умножение векторов дает вектор). Доказываем, что эта аксиома не дерётся с умножением вектора на скаляр и, что скалярное произведение выражается через наше "новое" умножение векторов. Получаем, что комлексная плоскость частный случай евклидова пространства. Интересно.