Вопросы по комбинаторной топологии

[Fagot]

Из предположения о преемственности топологий следует ещё один любопытный результат об односвязности нульмерной сферы :

Обычно вроде бы считается, что $S^0=\partial B^1$, т.е. две точки, является несвязной, поэтому не является симплексом. Но в данной классификации возможен другой вывод.

Сфера $S^2$ односвязна : на ней нет нестягиваемых к точке петель - компактных замкнутых топологических пространств размерности на единицу и менее меньшей её размерности, в данном случае - торов $T^1$. То же самое можно сказать и о нульмерной сфере - границе одномерного шара $B^1$ : так как на её поверхности петли должны иметь размерность меньшую или равную минус единице, то это будут торы $T^{-1}$ - пустые множества с выколотой точкой. Они, будучи наложенными на нульмерную сферу, то есть две точки, будут стягиваться к точке.

Значит, в такой классификации все четные сферы $S^{2m}$ - односвязны и замкнуты.
Так это или нет?

[paha]

Все-таки мы говорим о топологических многообразиях (для произвольных топологических пространств понятие "край" не определено... Вы же упорно говорите о "границе", смешивая понятия).

Определение сферы и тора уже прозвучали в этом топике. Дам определение шара.

$n$- мерным ($n\ge 1$) шаром называется топологическое многообразие с краем, гомеоморфное

$$ \{x\in\mathbb{R}^n:|x|\le 1\}. $$

О какой "классификации шаров, сфер и торов" может идти речь??? Мы так ОПРЕДЕЛЯЕМ эти объекты. При желании можно доказать, что они попарно негомеоморфны. Край любого шара гомеоморфен сфере на единицу меньшей размерности -- это следствие ОПРЕДЕЛЕНИЙ.

УДОБНО считать точку $0$-мерным шаром.
Нульмерная сфера -- это двухточечное пространство с дискретной топологией (так следует из определения).
Все остальные "нульмерности" и "минусодномерности" -- на Ваше усмотрение, к математике они имеют слабое отношение.

Равенство $T^1=S^1$ имеет место ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ тора. Не обсуждается.

Сферы и шары определены как раз ГЕОМЕТРИЧЕСКИ и не нуждаются в интерпретации.

Граница нульмерного шара пуста. Эйлерова характеристика пустого множества, равно как и его размерность -- нонсенс, которому Вы можете придать удобный Вам "сенс".

"Существование сферы" -- непонятное словосочетание:) и гипотезу пуанкаре Вы всуе напрасно помянули.

-- Пн сен 27, 2010 09:40:11 --

Fagot в сообщении #356587 писал(а):

петли должны иметь размерность меньшую или равную

Петля в пространстве $X$ -- это непрерывное отображение $I\to X$, у него НЕТ размерности

Fagot в сообщении #356587 писал(а):

пустые множества с выколотой точкой

пустое множество оттого и пусто, что в нем нет элементов:) "тем более выколотых"

Fagot в сообщении #356587 писал(а):

все четные сферы $S^{2m}$ - односвязны и замкнуты

все сферы, кроме нульмерной, односвязны... все сферы замкнуты, т.е. компактны и не имеют края

Fagot в сообщении #356587 писал(а):

в такой классификации все четные сферы $S^{2m}$

свойства топологических пространств зависят только от самих этих пространств, но не от "классификаций"

[Fagot]

paha в сообщении #356590 писал(а):

Равенство $T^1=S^1$ имеет место ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ тора. Не обсуждается.

Ради бога простите, но можно всё же высказать одно соображение. Четный тор, скажем, $T^2$, да, это сфера $S^2$ c одной ручкой : $T^2 = S^2\sharp S^2$, то есть из двух 2-сфер вырезано по 2-диску (шару) и границы вырезов склеены. Нечетный же тор, скажем, $T^3$, это уже не сфера, а 3-шар $B^3$ с одной ручкой - тоже шаром $B^3$, так что оба шара склеены по двум вырезанным дискам.

Поэтому, возможна и такая картина : нечетный тор $T^1$ - это, согласно преемственности топологий, результат склейки двух шаров $B^1$ (отрезков) по их нульмерным границам, и к сфере $S^1$ может не относиться ...

-- Пн сен 27, 2010 10:02:32 --

paha в сообщении #356590 писал(а):

$n$- мерным ($n\ge 1$) шаром называется топологическое многообразие с краем, гомеоморфное

$$ \{x\in\mathbb{R}^n:|x|\le 1\}. $$

Скажите, а это достаточное определение для сферы $S^{n-1}$ как края шара $S^n$? Если сфера односвязна?

-- Пн сен 27, 2010 10:09:19 --

paha в сообщении #356590 писал(а):

Край любого шара гомеоморфен сфере на единицу меньшей размерности -- это следствие ОПРЕДЕЛЕНИЙ.

Возьмем шар $B^4$. Сфера $S^3$ - односвязна. Вы уверены, что край у $B^4$ односвязный?

-- Пн сен 27, 2010 10:13:18 --

paha в сообщении #356590 писал(а):

пустое множество оттого и пусто, что в нем нет элементов:) "тем более выколотых"

Да, это ошибка, надо наверно говорить пустое множество плюс выколотая точка.

-- Пн сен 27, 2010 10:18:52 --

paha в сообщении #356590 писал(а):

все сферы, кроме нульмерной, односвязны... все сферы замкнуты, т.е. компактны и не имеют края

А что можно сказать про их эйлеровы характеристики? Выходит, у четных сфер двойки, а у нечётных - нули?

[paha]

"Нечетный же тор, скажем, $T^3$, это уже не сфера, а 3-шар $B^3$ с одной ручкой - тоже шаром $B^3$, так что оба шара склеены по двум вырезанным дискам."

Вами описан не тор $T^3$, а полноторие $B^2\times S^1$.


Не бывает определений "достаточных", или "недостаточных":) Бывают определения корректные и некорректные. Я привел КОРРЕКТНОЕ определение шара. В любом случае сферу можно (корректно) определить и как топологическое многообразие, гомеоморфное краю шара соответствующей размерности.

Край четырехмерного шара односвязен:) я уверен... более того: могу доказать.

"пустое множество плюс выколотая точка" -- пример некорректного описания

[Fagot]

paha в сообщении #356590 писал(а):

Сферы и шары определены как раз ГЕОМЕТРИЧЕСКИ и не нуждаются в интерпретации.

Да, они определены геометрически, но, во-первых, не топологически (обращаются к расстоянию, т.е., очевидно, к метрике), во-вторых, не внутренне, а из охватывающего пространства.

-- Пн сен 27, 2010 10:32:23 --

paha в сообщении #356598 писал(а):

Край четырехмерного шара односвязен:) я уверен... более того: могу доказать.

Скажите, пожалуйста, нельзя ли где-либо почитать это доказательство?

-- Пн сен 27, 2010 10:44:00 --

paha в сообщении #356590 писал(а):

все сферы, кроме нульмерной, односвязны...

Особое положение нульмерной сферы следует, очевидно отсюда :

paha в сообщении #356590 писал(а):

Нульмерная сфера -- это двухточечное пространство с дискретной топологией

? Скажите, пожалуйста, а почему не годится описанная выше топология $S^0$, в которой вводится пространство отрицательной размерности и по определению связности эта сфера становится односвязной и перестает выпадать из общей картины?

[Fagot]

Можно выписать три возражения против $S^1=T^1$. Согласно данным Вами определениям :

"В любом случае сферу можно (корректно) определить и как топологическое многообразие, гомеоморфное краю шара соответствующей размерности",

"...все сферы, кроме нульмерной, односвязны... все сферы замкнуты, т.е. компактны и не имеют края".

Возьмем сферу $S^1=\partial B^2$. Это - 1- окружность. Принципиальным является вопрос : является ли эта окружность односвязной?

По крайней мере одна петля - непрерывное отображение $f : [0,1]\rightarrow S^1, f(0)=f(1)$, совпадающее с самой $S^1$, в точку не стягивается. Значит, $S^1$ не односвязна. Это противоречит определению сферы.

Второе соображение : $\chi(S^1)=0$, следовательно, окружность допускает непрерывное поле касательных, что на сфере, как односвязном многообразии, быть не может. Это может быть на торе $T^1$.

Третье : род $p(S^1)=0$, а род $p(T^1)=1$. Род - топологический инвариант. Но у двух гомеоморфных многообразий все топологические инварианты должны совпадать. Поэтому $S^1\ne T^1$.

Пока непонятно, где здесь враньё.

[paha]

Про односвязность окружности, конечно, оговорка :)

-- Пн сен 27, 2010 18:00:42 --

1) топология индуцирована метрикой. Обычное дело.
2) односвязность $S^n$ при $n \ge 2$ следует из Теоремы о клеточной аппроксимации и того факта, что 1-остов такой сферы тривиален
3) никакого РОДА у одномерных многообразий нет. И Вообще, связное замкнутое одномерное многообразие - это окружность. Других нет.

-- Пн сен 27, 2010 18:02:28 --

А Вы понимаете, что такое "прямое произведение"?

[Fagot]

paha в сообщении #356662 писал(а):

А Вы понимаете, что такое "прямое произведение"?

Прямое произведение двух множеств $X$ и $Y$ - это множество упорядоченных пар $(x,y)$ для всех $x\in X, y\in Y$.

-- Пн сен 27, 2010 20:47:11 --

paha в сообщении #356662 писал(а):

Про односвязность окружности, конечно, оговорка :)

Логика была такая : так как окружность допускает петлю (совпадающую с самой окружностью), которая не стягивается к точке, то она - неодносвязна. Поэтому - не сфера $S^1$.

И тор $T^1$, и сфера $S^1$, - замкнутые связные одномерные многообразия. Но тор - неодносвязен, а сфера, по определению, односвязна. Поэтому 1-окружность - это тор $T^1$ (полноторий, не имеет значения). Поэтому 1-тор можно определить как замкнутое двусвязное одномерное многообразие.

Скажите, в определении $n$ - мерного тора нельзя сферу заменить на тор ? : $T^n=T^1\times \ldots\times T^1=(T^1)^n$.

[paha]

Fagot в сообщении #356710 писал(а):

а сфера, по определению, односвязна

Нет:) В определении сферы ничего про односвязность нет. Я же сказал, что оговорился... Мою фразу

paha в сообщении #356590 писал(а):

все сферы, кроме нульмерной, односвязны

надо читать "все сферы, кроме нульмерной и одномерной. односвязны"

Fagot в сообщении #356710 писал(а):

1-окружность - это тор $T^1$ (полноторий, не имеет значения

имеет -- это вопрос договоренности: "полноторие" -- специфически трехмерный термин, это $B^2\times S^1$ и ничто иное

Fagot в сообщении #356710 писал(а):

Скажите, в определении $n$ - мерного тора нельзя сферу заменить на тор ? : $T^n=T^1\times \ldots\times T^1=(T^1)^n$

Можно, для $n\ge 2$. Но тогда надо предварительно определить $T^1$

-- Пн сен 27, 2010 21:28:12 --

Fagot в сообщении #356710 писал(а):

двусвязное одномерное

Топологическое пространство $X$ называется $n$-связным, если оно линейно связно и все гомотопические группы порядка $\le n$ тривиальны. Вдумайтесь в определение.

-- Пн сен 27, 2010 21:29:16 --

Fagot в сообщении #356710 писал(а):

Прямое произведение двух множеств $X$ и $Y$ - это множество упорядоченных пар $(x,y)$ для всех $x\in X, y\in Y$.

а "геометрически"? И какая там топология...

[Fagot]

paha в сообщении #356662 писал(а):

3) никакого РОДА у одномерных многообразий нет.

Почему? Род - число ручек. Тор $T^1$ - это шар $B^1$ с одной ручкой - тоже шаром $B^1$. Два отрезка - одномерных шара - склеены своими концами. Это - окружность - одномерный тор.

[paha]

Fagot в сообщении #356740 писал(а):

Почему? Род - число ручек

дайте определение $n$-мерной ручки:) будете первым (хотя бы для $n=1$)
Как я уже говорил, в размерности 1 понятие "рода" ненадобно, в размерности 2 определено не через "ручки", а по-другому, а в высших размерностях понятие "род" не столь однозначно
Скажем, назовите мне одномерное многообразие рода 2... или 3:)

[Fagot]

paha в сообщении #356741 писал(а):

Скажем, назовите мне одномерное многообразие рода 2... или 3:)

Род два - это 1-тор (1-шар с 1-ручкой) с приклеенной второй 1-ручкой (образ - перечеркнутая окружность). $\chi (T^1\sharp H^1) =-1$.

Род $p=3$ - это окружность с двумя ушами, $\chi (T^1\sharp H^1\sharp H^1)=-2$. "Чебурашка".

-- Пн сен 27, 2010 22:59:40 --

paha в сообщении #356741 писал(а):

дайте определение $n$-мерной ручки:)

1- ручка - это просто отрезок, два конца которого приготовлены для приклеивания к любому многообразию размерности $\ge 1$. Нечетная $(2m-1)$ - ручка - это шар $B^{2m-1}$, на $2m-2$-мерном краю которого вырезаны два $2m-2$ - непересекающихся диска, краями выреза которых он будет приклеиваться к краю любого многообразия размерности $\ge (2m-1)$.

Четная $2m$ - ручка - это $2m$- сфера с вырезанными на её поверхности двумя непересекающимися $2m$- дисками, по краям выреза которых она будет приклеиваться к краю любого многообразия размерности $\ge 2m$.

[Fagot]

paha в сообщении #356737 писал(а):

а "геометрически"? И какая там топология...

Геометрия, наверно, усложняется. В случае бесконечного числа сомножителей может, наверно, приобрести качественно новые свойства. Топология - наследственная, сохраняется компактность (теорема Тихонова).

-- Пн сен 27, 2010 23:57:32 --

paha в сообщении #356737 писал(а):

надо читать "все сферы, кроме нульмерной и одномерной. односвязны"

Если это так, то, например, трехмерная сфера не может быть границей четырехмерного шара : эйлерова характеристика этой границы равна нулю, следовательно, она неодносвязна. Является трехмерным тором (по идее преемственности топологических свойств).

-- Пн сен 27, 2010 23:59:49 --

paha в сообщении #356737 писал(а):

Топологическое пространство $X$ называется $n$-связным, если оно линейно связно и все гомотопические группы порядка $\le n$ тривиальны. Вдумайтесь в определение.

Я подумаю, спасибо.

[paha]

Fagot в сообщении #356769 писал(а):

Род два - это 1-тор (1-шар с 1-ручкой) с приклеенной второй 1-ручкой (образ - перечеркнутая окружность). $\chi (T^1\sharp H^1) =-1$.

Род $p=3$ - это окружность с двумя ушами, $\chi (T^1\sharp H^1\sharp H^1)=-2$. "Чебурашка".

Эти пространства не являются многообразиями.

Fagot в сообщении #356787 писал(а):

эйлерова характеристика этой границы равна нулю, следовательно, она неодносвязна

я уже сослался на Теорему о клеточной аппроксимации, откуда следует односвязность $S^3$. Односвязность никак не зависит от эйлеровой характеристики.

Fagot в сообщении #356769 писал(а):

1- ручка - это просто отрезок, два конца которого приготовлены для приклеивания к любому многообразию размерности $\ge 1$. Нечетная $(2m-1)$ - ручка - это шар $B^{2m-1}$, на $2m-2$-мерном краю которого вырезаны два $2m-2$ - непересекающихся диска, краями выреза которых он будет приклеиваться к краю любого многообразия размерности $\ge (2m-1)$.

Четная $2m$ - ручка - это $2m$- сфера с вырезанными на её поверхности двумя непересекающимися $2m$- дисками, по краям выреза которых она будет приклеиваться к краю любого многообразия размерности $\ge 2m$.

то, что Вы написали, является некоторым туманным выражением Ваших интуитивных догадок... на крае шара невозможно "вырезать" никакие диски -- Вы, вероятно, под $n$-ручкой имеете ввиду цилиндр $I\times B^{n-1}$. В любом случае, Вы так и не прочли что такое "разложение на ручки". Ну, посмотрите популярную книжку Прасолова и Сосинского (в которой есть ВСЕ, о чем мы говорили, и еще куча всего), или уж сразу -- Рурка и Сандерсона.

Fagot в сообщении #356787 писал(а):

по идее преемственности топологических свойств

Еще раз: забудьте своего Трисмегиста:)

[Fagot]

paha в сообщении #356826 писал(а):

на крае шара невозможно "вырезать" никакие диски

Да, вчера я написал не то. Может, лучше так :

1- ручка - это просто отрезок, два конца которого приготовлены для приклеивания к любому многообразию размерности $\ge 1$.

Нечетная $(2m-1)$ - ручка - это шар $B^{2m-1}$, из которого $2m-2$-мерными гиперплоскостями срезаны два $2m-1$ - непересекающихся диска, краями выреза которых он будет приклеиваться к любому многообразию размерности $\ge (2m-1)$, из которого по той же процедуре вырезаны диски так, что края вырезов гомеоморфны краям ручки.

Четная $2m$ - ручка - это $2m$- сфера с вырезанными на её поверхности двумя непересекающимися $2m$- дисками, по краям выреза которых она будет приклеиваться к краю любого многообразия размерности $\ge 2m$.

paha в сообщении #356826 писал(а):

Эти пространства не являются многообразиями.

Но, наверно, они являются многообразиями с краем?

paha в сообщении #356737 писал(а):

Топологическое пространство $X$ называется $n$-связным, если оно линейно связно и все гомотопические группы порядка $\le n$ тривиальны.

Скажите, не подойдет ли другое, более наглядное определение : связность пространства на единицу больше числа классов петель, не стягиваемых к точке.

Например, на сфере $S^2$ таких петель нет (фундаментальная группа тривиальна) - её связность равна единице. На торе $T^2$ есть два класса не стягиваемых к точке петель (меридианов и параллелей) - его связность равна тройке. На торе $T^1$ есть одна не стягиваемая к точке петля, совпадающая с самим тором - его связность равна двойке. И т.д.

-- Вт сен 28, 2010 11:35:57 --

paha в сообщении #356826 писал(а):

Односвязность никак не зависит от эйлеровой характеристики.

Нельзя ли привести пример односвязного топологического пространства с равной нулю эйлеровой характеристикой?