2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Вопросы по комбинаторной топологии
Сообщение27.09.2010, 08:12 
Заблокирован


11/09/10

173
Из предположения о преемственности топологий следует ещё один любопытный результат об односвязности нульмерной сферы :

Обычно вроде бы считается, что $S^0=\partial B^1$, т.е. две точки, является несвязной, поэтому не является симплексом. Но в данной классификации возможен другой вывод.

Сфера $S^2$ односвязна : на ней нет нестягиваемых к точке петель - компактных замкнутых топологических пространств размерности на единицу и менее меньшей её размерности, в данном случае - торов $T^1$. То же самое можно сказать и о нульмерной сфере - границе одномерного шара $B^1$ : так как на её поверхности петли должны иметь размерность меньшую или равную минус единице, то это будут торы $T^{-1}$ - пустые множества с выколотой точкой. Они, будучи наложенными на нульмерную сферу, то есть две точки, будут стягиваться к точке.

Значит, в такой классификации все четные сферы $S^{2m}$ - односвязны и замкнуты.
Так это или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по комбинаторной топологии
Сообщение27.09.2010, 08:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Все-таки мы говорим о топологических многообразиях (для произвольных топологических пространств понятие "край" не определено... Вы же упорно говорите о "границе", смешивая понятия).

Определение сферы и тора уже прозвучали в этом топике. Дам определение шара.

$n$- мерным ($n\ge 1$) шаром называется топологическое многообразие с краем, гомеоморфное
$$
\{x\in\mathbb{R}^n:|x|\le 1\}.
$$
О какой "классификации шаров, сфер и торов" может идти речь??? Мы так ОПРЕДЕЛЯЕМ эти объекты. При желании можно доказать, что они попарно негомеоморфны. Край любого шара гомеоморфен сфере на единицу меньшей размерности -- это следствие ОПРЕДЕЛЕНИЙ.

УДОБНО считать точку $0$-мерным шаром.
Нульмерная сфера -- это двухточечное пространство с дискретной топологией (так следует из определения).
Все остальные "нульмерности" и "минусодномерности" -- на Ваше усмотрение, к математике они имеют слабое отношение.

Равенство $T^1=S^1$ имеет место ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ тора. Не обсуждается.

Сферы и шары определены как раз ГЕОМЕТРИЧЕСКИ и не нуждаются в интерпретации.

Граница нульмерного шара пуста. Эйлерова характеристика пустого множества, равно как и его размерность -- нонсенс, которому Вы можете придать удобный Вам "сенс".

"Существование сферы" -- непонятное словосочетание:) и гипотезу пуанкаре Вы всуе напрасно помянули.

-- Пн сен 27, 2010 09:40:11 --

Fagot в сообщении #356587 писал(а):
петли должны иметь размерность меньшую или равную

Петля в пространстве $X$ -- это непрерывное отображение $I\to X$, у него НЕТ размерности

Fagot в сообщении #356587 писал(а):
пустые множества с выколотой точкой

пустое множество оттого и пусто, что в нем нет элементов:) "тем более выколотых"

Fagot в сообщении #356587 писал(а):
все четные сферы $S^{2m}$ - односвязны и замкнуты


все сферы, кроме нульмерной, односвязны... все сферы замкнуты, т.е. компактны и не имеют края

Fagot в сообщении #356587 писал(а):
в такой классификации все четные сферы $S^{2m}$

свойства топологических пространств зависят только от самих этих пространств, но не от "классификаций"

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по комбинаторной топологии
Сообщение27.09.2010, 08:55 
Заблокирован


11/09/10

173
paha в сообщении #356590 писал(а):
Равенство $T^1=S^1$ имеет место ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ тора. Не обсуждается.
Ради бога простите, но можно всё же высказать одно соображение. Четный тор, скажем, $T^2$, да, это сфера $S^2$ c одной ручкой : $T^2 = S^2\sharp S^2$, то есть из двух 2-сфер вырезано по 2-диску (шару) и границы вырезов склеены. Нечетный же тор, скажем, $T^3$, это уже не сфера, а 3-шар $B^3$ с одной ручкой - тоже шаром $B^3$, так что оба шара склеены по двум вырезанным дискам.

Поэтому, возможна и такая картина : нечетный тор $T^1$ - это, согласно преемственности топологий, результат склейки двух шаров $B^1$ (отрезков) по их нульмерным границам, и к сфере $S^1$ может не относиться ...

-- Пн сен 27, 2010 10:02:32 --

paha в сообщении #356590 писал(а):
$n$- мерным ($n\ge 1$) шаром называется топологическое многообразие с краем, гомеоморфное
$$ \{x\in\mathbb{R}^n:|x|\le 1\}. $$
Скажите, а это достаточное определение для сферы $S^{n-1}$ как края шара $S^n$? Если сфера односвязна?

-- Пн сен 27, 2010 10:09:19 --

paha в сообщении #356590 писал(а):
Край любого шара гомеоморфен сфере на единицу меньшей размерности -- это следствие ОПРЕДЕЛЕНИЙ.
Возьмем шар $B^4$. Сфера $S^3$ - односвязна. Вы уверены, что край у $B^4$ односвязный?

-- Пн сен 27, 2010 10:13:18 --

paha в сообщении #356590 писал(а):
пустое множество оттого и пусто, что в нем нет элементов:) "тем более выколотых"
Да, это ошибка, надо наверно говорить пустое множество плюс выколотая точка.

-- Пн сен 27, 2010 10:18:52 --

paha в сообщении #356590 писал(а):
все сферы, кроме нульмерной, односвязны... все сферы замкнуты, т.е. компактны и не имеют края
А что можно сказать про их эйлеровы характеристики? Выходит, у четных сфер двойки, а у нечётных - нули?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по комбинаторной топологии
Сообщение27.09.2010, 09:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
"Нечетный же тор, скажем, $T^3$, это уже не сфера, а 3-шар $B^3$ с одной ручкой - тоже шаром $B^3$, так что оба шара склеены по двум вырезанным дискам."

Вами описан не тор $T^3$, а полноторие $B^2\times S^1$.


Не бывает определений "достаточных", или "недостаточных":) Бывают определения корректные и некорректные. Я привел КОРРЕКТНОЕ определение шара. В любом случае сферу можно (корректно) определить и как топологическое многообразие, гомеоморфное краю шара соответствующей размерности.

Край четырехмерного шара односвязен:) я уверен... более того: могу доказать.

"пустое множество плюс выколотая точка" -- пример некорректного описания

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по комбинаторной топологии
Сообщение27.09.2010, 09:25 
Заблокирован


11/09/10

173
paha в сообщении #356590 писал(а):
Сферы и шары определены как раз ГЕОМЕТРИЧЕСКИ и не нуждаются в интерпретации.
Да, они определены геометрически, но, во-первых, не топологически (обращаются к расстоянию, т.е., очевидно, к метрике), во-вторых, не внутренне, а из охватывающего пространства.

-- Пн сен 27, 2010 10:32:23 --

paha в сообщении #356598 писал(а):
Край четырехмерного шара односвязен:) я уверен... более того: могу доказать.
Скажите, пожалуйста, нельзя ли где-либо почитать это доказательство?

-- Пн сен 27, 2010 10:44:00 --

paha в сообщении #356590 писал(а):
все сферы, кроме нульмерной, односвязны...
Особое положение нульмерной сферы следует, очевидно отсюда :
paha в сообщении #356590 писал(а):
Нульмерная сфера -- это двухточечное пространство с дискретной топологией
? Скажите, пожалуйста, а почему не годится описанная выше топология $S^0$, в которой вводится пространство отрицательной размерности и по определению связности эта сфера становится односвязной и перестает выпадать из общей картины?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по комбинаторной топологии
Сообщение27.09.2010, 14:16 
Заблокирован


11/09/10

173
Можно выписать три возражения против $S^1=T^1$. Согласно данным Вами определениям :

"В любом случае сферу можно (корректно) определить и как топологическое многообразие, гомеоморфное краю шара соответствующей размерности",

"...все сферы, кроме нульмерной, односвязны... все сферы замкнуты, т.е. компактны и не имеют края".

Возьмем сферу $S^1=\partial B^2$. Это - 1- окружность. Принципиальным является вопрос : является ли эта окружность односвязной?

По крайней мере одна петля - непрерывное отображение $f : [0,1]\rightarrow S^1, f(0)=f(1)$, совпадающее с самой $S^1$, в точку не стягивается. Значит, $S^1$ не односвязна. Это противоречит определению сферы.

Второе соображение : $\chi(S^1)=0$, следовательно, окружность допускает непрерывное поле касательных, что на сфере, как односвязном многообразии, быть не может. Это может быть на торе $T^1$.

Третье : род $p(S^1)=0$, а род $p(T^1)=1$. Род - топологический инвариант. Но у двух гомеоморфных многообразий все топологические инварианты должны совпадать. Поэтому $S^1\ne T^1$.

Пока непонятно, где здесь враньё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по комбинаторной топологии
Сообщение27.09.2010, 16:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Про односвязность окружности, конечно, оговорка :)

-- Пн сен 27, 2010 18:00:42 --

1) топология индуцирована метрикой. Обычное дело.
2) односвязность $S^n$ при $n \ge 2$ следует из Теоремы о клеточной аппроксимации и того факта, что 1-остов такой сферы тривиален
3) никакого РОДА у одномерных многообразий нет. И Вообще, связное замкнутое одномерное многообразие - это окружность. Других нет.

-- Пн сен 27, 2010 18:02:28 --

А Вы понимаете, что такое "прямое произведение"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по комбинаторной топологии
Сообщение27.09.2010, 19:21 
Заблокирован


11/09/10

173
paha в сообщении #356662 писал(а):
А Вы понимаете, что такое "прямое произведение"?
Прямое произведение двух множеств $X$ и $Y$ - это множество упорядоченных пар $(x,y)$ для всех $x\in X, y\in Y$.

-- Пн сен 27, 2010 20:47:11 --

paha в сообщении #356662 писал(а):
Про односвязность окружности, конечно, оговорка :)
Логика была такая : так как окружность допускает петлю (совпадающую с самой окружностью), которая не стягивается к точке, то она - неодносвязна. Поэтому - не сфера $S^1$.

И тор $T^1$, и сфера $S^1$, - замкнутые связные одномерные многообразия. Но тор - неодносвязен, а сфера, по определению, односвязна. Поэтому 1-окружность - это тор $T^1$ (полноторий, не имеет значения). Поэтому 1-тор можно определить как замкнутое двусвязное одномерное многообразие.

Скажите, в определении $n$ - мерного тора нельзя сферу заменить на тор ? : $T^n=T^1\times \ldots\times T^1=(T^1)^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по комбинаторной топологии
Сообщение27.09.2010, 20:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Fagot в сообщении #356710 писал(а):
а сфера, по определению, односвязна

Нет:) В определении сферы ничего про односвязность нет. Я же сказал, что оговорился... Мою фразу
paha в сообщении #356590 писал(а):
все сферы, кроме нульмерной, односвязны

надо читать "все сферы, кроме нульмерной и одномерной. односвязны"

Fagot в сообщении #356710 писал(а):
1-окружность - это тор $T^1$ (полноторий, не имеет значения

имеет -- это вопрос договоренности: "полноторие" -- специфически трехмерный термин, это $B^2\times S^1$ и ничто иное

Fagot в сообщении #356710 писал(а):
Скажите, в определении $n$ - мерного тора нельзя сферу заменить на тор ? : $T^n=T^1\times \ldots\times T^1=(T^1)^n$

Можно, для $n\ge 2$. Но тогда надо предварительно определить $T^1$

-- Пн сен 27, 2010 21:28:12 --

Fagot в сообщении #356710 писал(а):
двусвязное одномерное

Топологическое пространство $X$ называется $n$-связным, если оно линейно связно и все гомотопические группы порядка $\le n$ тривиальны. Вдумайтесь в определение.

-- Пн сен 27, 2010 21:29:16 --

Fagot в сообщении #356710 писал(а):
Прямое произведение двух множеств $X$ и $Y$ - это множество упорядоченных пар $(x,y)$ для всех $x\in X, y\in Y$.

а "геометрически"? И какая там топология...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по комбинаторной топологии
Сообщение27.09.2010, 20:29 
Заблокирован


11/09/10

173
paha в сообщении #356662 писал(а):
3) никакого РОДА у одномерных многообразий нет.
Почему? Род - число ручек. Тор $T^1$ - это шар $B^1$ с одной ручкой - тоже шаром $B^1$. Два отрезка - одномерных шара - склеены своими концами. Это - окружность - одномерный тор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по комбинаторной топологии
Сообщение27.09.2010, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Fagot в сообщении #356740 писал(а):
Почему? Род - число ручек

дайте определение $n$-мерной ручки:) будете первым (хотя бы для $n=1$)
Как я уже говорил, в размерности 1 понятие "рода" ненадобно, в размерности 2 определено не через "ручки", а по-другому, а в высших размерностях понятие "род" не столь однозначно
Скажем, назовите мне одномерное многообразие рода 2... или 3:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по комбинаторной топологии
Сообщение27.09.2010, 21:15 
Заблокирован


11/09/10

173
paha в сообщении #356741 писал(а):
Скажем, назовите мне одномерное многообразие рода 2... или 3:)
Род два - это 1-тор (1-шар с 1-ручкой) с приклеенной второй 1-ручкой (образ - перечеркнутая окружность). $\chi (T^1\sharp H^1) =-1$.

Род $p=3$ - это окружность с двумя ушами, $\chi (T^1\sharp H^1\sharp H^1)=-2$. "Чебурашка".

-- Пн сен 27, 2010 22:59:40 --

paha в сообщении #356741 писал(а):
дайте определение $n$-мерной ручки:)
1- ручка - это просто отрезок, два конца которого приготовлены для приклеивания к любому многообразию размерности $\ge 1$. Нечетная $(2m-1)$ - ручка - это шар $B^{2m-1}$, на $2m-2$-мерном краю которого вырезаны два $2m-2$ - непересекающихся диска, краями выреза которых он будет приклеиваться к краю любого многообразия размерности $\ge (2m-1)$.

Четная $2m$ - ручка - это $2m$- сфера с вырезанными на её поверхности двумя непересекающимися $2m$- дисками, по краям выреза которых она будет приклеиваться к краю любого многообразия размерности $\ge 2m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по комбинаторной топологии
Сообщение27.09.2010, 22:24 
Заблокирован


11/09/10

173
paha в сообщении #356737 писал(а):
а "геометрически"? И какая там топология...
Геометрия, наверно, усложняется. В случае бесконечного числа сомножителей может, наверно, приобрести качественно новые свойства. Топология - наследственная, сохраняется компактность (теорема Тихонова).

-- Пн сен 27, 2010 23:57:32 --

paha в сообщении #356737 писал(а):
надо читать "все сферы, кроме нульмерной и одномерной. односвязны"
Если это так, то, например, трехмерная сфера не может быть границей четырехмерного шара : эйлерова характеристика этой границы равна нулю, следовательно, она неодносвязна. Является трехмерным тором (по идее преемственности топологических свойств).

-- Пн сен 27, 2010 23:59:49 --

paha в сообщении #356737 писал(а):
Топологическое пространство $X$ называется $n$-связным, если оно линейно связно и все гомотопические группы порядка $\le n$ тривиальны. Вдумайтесь в определение.
Я подумаю, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по комбинаторной топологии
Сообщение28.09.2010, 00:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Fagot в сообщении #356769 писал(а):
Род два - это 1-тор (1-шар с 1-ручкой) с приклеенной второй 1-ручкой (образ - перечеркнутая окружность). $\chi (T^1\sharp H^1) =-1$.

Род $p=3$ - это окружность с двумя ушами, $\chi (T^1\sharp H^1\sharp H^1)=-2$. "Чебурашка".

Эти пространства не являются многообразиями.

Fagot в сообщении #356787 писал(а):
эйлерова характеристика этой границы равна нулю, следовательно, она неодносвязна

я уже сослался на Теорему о клеточной аппроксимации, откуда следует односвязность $S^3$. Односвязность никак не зависит от эйлеровой характеристики.

Fagot в сообщении #356769 писал(а):
1- ручка - это просто отрезок, два конца которого приготовлены для приклеивания к любому многообразию размерности $\ge 1$. Нечетная $(2m-1)$ - ручка - это шар $B^{2m-1}$, на $2m-2$-мерном краю которого вырезаны два $2m-2$ - непересекающихся диска, краями выреза которых он будет приклеиваться к краю любого многообразия размерности $\ge (2m-1)$.

Четная $2m$ - ручка - это $2m$- сфера с вырезанными на её поверхности двумя непересекающимися $2m$- дисками, по краям выреза которых она будет приклеиваться к краю любого многообразия размерности $\ge 2m$.


то, что Вы написали, является некоторым туманным выражением Ваших интуитивных догадок... на крае шара невозможно "вырезать" никакие диски -- Вы, вероятно, под $n$-ручкой имеете ввиду цилиндр $I\times B^{n-1}$. В любом случае, Вы так и не прочли что такое "разложение на ручки". Ну, посмотрите популярную книжку Прасолова и Сосинского (в которой есть ВСЕ, о чем мы говорили, и еще куча всего), или уж сразу -- Рурка и Сандерсона.

Fagot в сообщении #356787 писал(а):
по идее преемственности топологических свойств

Еще раз: забудьте своего Трисмегиста:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по комбинаторной топологии
Сообщение28.09.2010, 10:33 
Заблокирован


11/09/10

173
paha в сообщении #356826 писал(а):
на крае шара невозможно "вырезать" никакие диски
Да, вчера я написал не то. Может, лучше так :

1- ручка - это просто отрезок, два конца которого приготовлены для приклеивания к любому многообразию размерности $\ge 1$.

Нечетная $(2m-1)$ - ручка - это шар $B^{2m-1}$, из которого $2m-2$-мерными гиперплоскостями срезаны два $2m-1$ - непересекающихся диска, краями выреза которых он будет приклеиваться к любому многообразию размерности $\ge (2m-1)$, из которого по той же процедуре вырезаны диски так, что края вырезов гомеоморфны краям ручки.

Четная $2m$ - ручка - это $2m$- сфера с вырезанными на её поверхности двумя непересекающимися $2m$- дисками, по краям выреза которых она будет приклеиваться к краю любого многообразия размерности $\ge 2m$.

paha в сообщении #356826 писал(а):
Эти пространства не являются многообразиями.
Но, наверно, они являются многообразиями с краем?

paha в сообщении #356737 писал(а):
Топологическое пространство $X$ называется $n$-связным, если оно линейно связно и все гомотопические группы порядка $\le n$ тривиальны.
Скажите, не подойдет ли другое, более наглядное определение : связность пространства на единицу больше числа классов петель, не стягиваемых к точке.

Например, на сфере $S^2$ таких петель нет (фундаментальная группа тривиальна) - её связность равна единице. На торе $T^2$ есть два класса не стягиваемых к точке петель (меридианов и параллелей) - его связность равна тройке. На торе $T^1$ есть одна не стягиваемая к точке петля, совпадающая с самим тором - его связность равна двойке. И т.д.

-- Вт сен 28, 2010 11:35:57 --

paha в сообщении #356826 писал(а):
Односвязность никак не зависит от эйлеровой характеристики.
Нельзя ли привести пример односвязного топологического пространства с равной нулю эйлеровой характеристикой?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 70 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group