Вопросы по комбинаторной топологии

[Fagot]

Помогите, пожалуйста, разобраться в некоторых топологических вопросах.

1. Точка - 0-мерный шар. Что является 0-мерной сферой?

2. Отрезок - 1-мерный шар. Можно ли считать его концы - две точки - 0-мерной сферой? Можно ли её считать симплексом?

3. Диск - 2-мерный шар. Его граница - окружность. Является ли она 1-сферой или 1-тором?

4. Сфера - это всегда односвязное топологическое пространство?

5. Может ли эйлерова характеристика равняться нулю в односвязном топологическом пространстве?

Заранее благодарю.

[Padawan]

1. Две точки.
2. см. 1. Симплексом считать нельзя, т.к. это не симплекс.
3. Является и 1-сферой и 1-тором.
4. Да.

По поводу 5 -- топологическое пространство = полиэдр?

[venco]

Padawan в сообщении #351296 писал(а):

1. Две точки.
...
4. Да.

Нет ли здесь противоречия?

[Padawan]

Блин, точно. Кроме 0-мерной. И кроме одномерной! Односвязное - это ведь линейно связное, у которого фундаментальная группа тривиальна.

[Fagot]

Padawan в сообщении #351296 писал(а):

3. Является и 1-сферой и 1-тором.

Если 1-окружность является в каком-то смысле 1-сферой и 1-тором, то в этом смысле 1-сфера и 1-тор неразличимы. Есть ли у них характеристики, позволяющие их топологически различить?

Padawan в сообщении #351296 писал(а):

По поводу 5 -- топологическое пространство = полиэдр?

Да.

-- Сб сен 11, 2010 20:02:37 --

Padawan в сообщении #351317 писал(а):

Кроме 0-мерной. И кроме одномерной!

Скажите, а почему бы не продолжить дальше - и кроме трехмерной? В общем - нечётномерной? Ведь все нечётномерные сферы в этом смысле - торы и, наверно, не могут быть односвязны?

[Padawan]

$n$-мерный тор - это $(S^1)^n$ -- топологическое произведение $n$ экземпляров окружности, а $n$-мерная сфера -- это $S^n$. Если $n=1$, то получается одно и то же.

При $n\geqslant 2$ $S^n$ имеет тривиальную фундаментальную группу, т.к. отображение $f\colon S^1\to S^n$ гомотопно отображению $g$, для которого $g(S^1)$ нигде не плотно в $S^n$. Можно взять точку $M\not\in g(S^1)$, выкинуть её из $S^n$, получится пространство, гомеоморфное $\mathbb R^n$, в котором компакт $g(S^1)$ можно стянуть в точку. Значит $f$ гомотопно постоянному отображению.

[Fagot]

Padawan в сообщении #351367 писал(а):

При $n\geqslant 2$ $S^n$ имеет тривиальную фундаментальную группу

Скажите, пожалуйста, это не противоречит тому, что какие-то сферы $S^n$ при $n\geqslant 2$ с тривиальными фундаментальными группами могут иметь эйлерову характеристику, равную нулю? Вроде бы её подсчет для нечетномерных сфер (если их определить как границы $(n+1)$ -мерных шаров), если это не ошибка, даёт ноль.

[paha]

Fagot в сообщении #351406 писал(а):

какие-то сферы $S^n$ при $n\geqslant 2$ с тривиальными фундаментальными группами могут иметь эйлерову характеристику, равную нулю

Фундаментальная группа зависит только от того, как одномерный остов сидит в двумерном. Какие клетки там дальше прикручены -- на фундаментальную группу не влияет, а на эйлерову характеристику очень даже

А у всех сфер $n\ne 1$ $S^n$ одномерный остов тривиален.

Fagot в сообщении #351258 писал(а):

5. Может ли эйлерова характеристика равняться нулю в односвязном топологическом пространстве?

Как уже сказали $\chi(S^3)=0$, $\chi(S^2)=2$... так что может и нулем быть и не нулем

[Fagot]

paha в сообщении #351443 писал(а):

А у всех сфер $n\ne 1$ $S^n$ одномерный остов тривиален.

То есть все петли на поверхности - стягиваемы? Если это доказано "железно", то, наверно, должна существовать веская причина, по которой сфера при $n=1$ выделена...

[paha]

Fagot в сообщении #351447 писал(а):

То есть все петли на поверхности - стягиваемы

на сферах

причина

Fagot в сообщении #351447 писал(а):

веская

ровно в нетривиальности 1-остова при отсутствии 2-клеток (теорема о клеточной апроксимации)...

[Fagot]

paha в сообщении #351458 писал(а):

причина ... ровно в нетривиальности 1-остова при отсутствии 2-клеток (теорема о клеточной апроксимации)...

А нельзя ли то же самое сказать и о "нетривиальности 3-остова при отсутствии 4-клеток"?

На примере симплициального комплекса :

при $n=2$ шар $B^2$ состоит из 3-х точек, его граница $S^1 $ - из 6-ти подмножеств.
$\chi(B^2)=1$, $\chi(S^1)=0$.

При $n=4$ шар$B^4$ состоит из 5-ти точек, его граница $S^3 $ - из 30-ти подмножеств.
$\chi(B^4)=1$, $\chi(S^3)=0$.

И в том и в другом случае граница $S^{n-1}=T^{n-1}$ замкнута, является тором. В первом случае дырка плотно окружается тремя 1-шарами, во втором - пятью 3-шарами.

То есть, нельзя ли сказать, что выделена не $S^1$, а выделены все нечётные сферы?

[Fagot]

Padawan в сообщении #351367 писал(а):

При $n\geqslant 2$ $S^n$ имеет тривиальную фундаментальную группу

Я не понимаю, очевидно, именно этот момент : это означало бы, что все 1-петли на поверхности $n$- сферы стягиваются к точке. Но, если я не ошибаюсь, у, например, 3- сферы как границы 4-шара (пентаэдра) есть по крайней мере одна 1-петля, проходящая по пяти 3-шарам (тетраэдрам) гиперповерхности граничной 3-сферы, которые окружают 4-объем дырки, которая не стягивается к точке. Наверно, поэтому $\chi(S^3)=\chi(T^3)=0$.

[paha]

Fagot в сообщении #351470 писал(а):

И в том и в другом случае граница $S^{n-1}=T^{n-1}$

Напомню определение тора: $T^n=S^1\times\ldots\rimes S^1$ ($n$ раз), ничего общего со сферами и близко нет.

Fagot в сообщении #351474 писал(а):

Наверно, поэтому $\chi(S^3)=\chi(T^3)=0$.

У любого нечетномерного многообразия (если Вы понимаете что это такое) Эйлерова характеристика равна нулю в силу двойственности Пуанкаре (грубо: клеток размерности $k$ столько же, сколько клеток размерности $n-k$).

Fagot в сообщении #351474 писал(а):

3- сферы как границы 4-шара (пентаэдра) есть по крайней мере одна 1-петля, проходящая по пяти 3-шарам (тетраэдрам) гиперповерхности граничной 3-сферы, которые окружают 4-объем дырки, которая не стягивается к точке.

Этого я не понимаю. Я мыслю сферу $S^n$ по рабоче-крестьянски: взяли точку и приклеили границу шара $D^n$ к этой точке по постоянному отображению (в размерностях 1 и 2 это видно, в высших рулит стереографическая проекция).

[Fagot]

paha в сообщении #351479 писал(а):

У любого нечетномерного многообразия (если Вы понимаете что это такое) Эйлерова характеристика равна нулю

Наверно, Вы имели в виду замкнутые нечетномерные многообразия, у которых края нет...

paha в сообщении #351479 писал(а):

Напомню определение тора: $T^n=S^1\times\ldots\rimes S^1$ ($n$ раз), ничего общего со сферами и близко нет.

Так ведь в этом-то и источник неясности. Что неправильного в логике : У всех $T^n$ Эйлерова характеристика равна нулю. Все они замкнуты, неодносвязны, с дыркой. В четных размерностях нечетномерные границы $n$- шаров - замкнутые многообразия с Эйлеровой характеристикой равной нулю. Эйлерова характеристика - топологический инвариант (и гомологический, гомотопический). Так может они, замкнутые компактные многообразия нечетной размерности, торы, а не сферы?

Наглядно это видно лишь при $n=1$. $S^1=T^1$. То, что окружность - тор, очевидно по вышеприведенному определению

Padawan в сообщении #351367 писал(а):

$n$-мерный тор - это $(S^1)^n$ -- топологическое произведение $n$ экземпляров окружности

[Fagot]

paha в сообщении #351479 писал(а):

Этого я не понимаю. Я мыслю сферу $S^n$ по рабоче-крестьянски: взяли точку и приклеили границу шара $D^n$ к этой точке по постоянному отображению (в размерностях 1 и 2 это видно, в высших рулит стереографическая проекция).

Может быть вот эта картинка что-то даст :

Рис. 1. Изометрия на плоскости 3-проекции 4-пентаэдра.

(4-шар находится внутри цилиндра. Дырка в него окружена пятью тетраэдрами - проекциями на 3 пространство 3-сферы - границы 4-шара)