Вопросы по комбинаторной топологии

[paha]

Fagot в сообщении #356882 писал(а):

Да, вчера я написал не то. Может, лучше так :

1- ручка - это просто отрезок, два конца которого приготовлены для приклеивания к любому многообразию размерности $\ge 1$.

Нечетная $(2m-1)$ - ручка - это шар $B^{2m-1}$, из которого $2m-2$-мерными гиперплоскостями срезаны два $2m-1$ - непересекающихся диска, краями выреза которых он будет приклеиваться к любому многообразию размерности $\ge (2m-1)$, из которого по той же процедуре вырезаны диски так, что края вырезов гомеоморфны краям ручки.

Четная $2m$ - ручка - это $2m$- сфера с вырезанными на её поверхности двумя непересекающимися $2m$- дисками, по краям выреза которых она будет приклеиваться к краю любого многообразия размерности $\ge 2m$.

Либо Вы не читаете всё то, что я Вам пишу, либо Вы действительно не понимаете, что такое прямое произведение... Вот тут:

paha в сообщении #356826 писал(а):

Вы, вероятно, под $n$-ручкой имеете ввиду цилиндр $I\times B^{n-1}$.

Так вот, то, о чем Вы пишете -- это $n$-мерная ручка индекса 1. Число ручек, вообще говоря (в произвольной размерности), не является инвариантом многообразия.

Fagot в сообщении #356882 писал(а):

Но, наверно, они являются многообразиями с краем?

Разумеется, нет. Многообразия локально евклидовы... у "чебурашки" есть точки, никакая окрестность которых не гомеоморфна интервалу.

Fagot в сообщении #356882 писал(а):

Нельзя ли привести пример односвязного топологического пространства с равной нулю эйлеровой характеристикой?

Пример: сфера $S^3$; эйлерова характеристика любого нечетномерного многообразия равна нулю. Односвязность: существует клеточное разбиение сферы на две клетки размерностей 0 и 3, после чего применяем Теорему о клеточной аппроксимации.

Fagot в сообщении #356882 писал(а):

не подойдет ли другое, более наглядное определение : связность пространства на единицу больше числа классов петель, не стягиваемых к точке

Не подойдет. Оно не эквивалентно приведенному мною определению $n$-связности (общепринятому, если еще условие на размерность добавить). Я могу переформулировать его более наглядно: $X$ $n$-связно, если оно линейно связно и любое непрерывное отображение $S^k\to X$ ($k\le n$) гомотопно постоянному

То, что предлагаете Вы, сводится к подсчету образующих фундаментальной группы. Но тут же все проще пареной репы -- зачем плодить новые понятия?

[Fagot]

Большое спасибо за разъяснения. Буду изучать.

paha в сообщении #356973 писал(а):

эйлерова характеристика любого нечетномерного многообразия равна нулю.

Небольшое уточнение : в общем эйлерова характеристика любого компактного нечетномерного многообразия равна половине эйлеровой характеристики его края. Так как в данном случае трехмерная граница четырехмерного шара замкнута (её край отсутствует), то она равна нулю.

И всё же пока интуиция говорит о том, что эта нечетная "сфера" - не совсем сфера. Её односвязность (по теореме о клеточной аппроксимации) ещё надо понять. Типа каждая точная форма замкнута, но не каждая замкнутая форма обязана быть точной...

[paha]

Fagot в сообщении #357163 писал(а):

эйлерова характеристика любого нечетномерного многообразия равна нулю.

конечно, я имел ввиду замкнутые многообразия... мы же говорили о сферах и торах

Fagot в сообщении #357163 писал(а):

Типа каждая точная форма замкнута, но не каждая замкнутая форма обязана быть точной...

наоборот обязана быть точной... Но Вы определитесь: в какой категории работаете... топологической, или гладкой

[Fagot]

paha в сообщении #357206 писал(а):

наоборот обязана быть точной...

Наверно, я что-то не понимаю : если форма точная, $\omega = d\alpha$, то она замкнута, $d(d\alpha)\equiv 0$ (граница границы равна нулю). Если форма замкнута, $d\omega = 0$, то она не всегда точна. Вроде она наверняка точна глобально как раз в односвязном пространстве, а в не односвязном - не обязательно...

Почему обратился к этим объектам в гладких многообразиях - потому что ожидал, что только в неодносвязном пространстве (с одной дыркой) можно обеспечить равенство нулю эйлеровой характеристики, что необходимо должно выполняться на замкнутой границе четырехмерного шара : $\chi(\partial B^4)=0$.

Обеспечить же равенство нулю эйлеровой характеристики можно на торе. Логика такая : эйлерова характеристика - это интеграл от инварианта Кречмана - квадрата тензора кривизны Римана - Кристоффеля (с точностью до постоянного множителя). Это значит, что в каком-то смысле кривизна пространства в какой-то области должна быть отрицательной, в какой-то - положительной. А это можно реализовать именно на торе (в данном случае трехмерной сфере с одной ручкой).

Вот откуда было ощущение, что это трехмерный тор...

[paha]

Fagot в сообщении #357228 писал(а):

Вроде она наверняка точна глобально как раз в односвязном пространстве

так мы про $S^3$, односвязное многообразие, и говорим)

Fagot в сообщении #357228 писал(а):

эйлерова характеристика - это интеграл от инварианта Кречмана - квадрата тензора кривизны Римана - Кристоффеля (с точностью до постоянного множителя). Это значит, что в каком-то смысле кривизна пространства в какой-то области должна быть отрицательной, в какой-то - положительной.

Формула Гаусса-Бонне (Пфаффиан тензора кривизны уж не знаю как превратился у Вас в кречмана) имеет место в четных размерностях.... Смотрите http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Gauss%E2%80%93Bonnet_theorem

Ведь Вы не будете спорить, что у окружности $x^2+y^2=1$ кривизна везде равна 1, а эйлерова характеристика равна 0.

Fagot в сообщении #357228 писал(а):

А это можно реализовать именно на торе (в данном случае трехмерной сфере с одной ручкой).

Вот откуда было ощущение, что это трехмерный тор...

Еще раз: эйлерова характеристика любого нечетномерного многообразия без края равна нулю.

[Fagot]

paha в сообщении #357376 писал(а):

Ведь Вы не будете спорить, что у окружности $x^2+y^2=1$ кривизна везде равна 1, а эйлерова характеристика равна 0.

Насколько мне известно, тензор кривизны Римана - Кристоффеля в одномерном пространстве равен нулю. Поэтому это не противоречит тому, что и эйлерова характеристики окружности равна нулю. Обычно её называют одномерной сферой и допускают гомеоморфизм $S^1=T^1$. Но при $n\ge 1$ в нечетных размерностях это уже не так, и непонятно, чем $n=1$ выделена...

-- Ср сен 29, 2010 20:38:04 --

paha в сообщении #357376 писал(а):

Формула Гаусса-Бонне (Пфаффиан тензора кривизны уж не знаю как превратился у Вас в кречмана) имеет место в четных размерностях....

Ей богу, не понимаю, прочему формула Гаусса-Бонне со скалярной кривизной расширяется лишь на четные размерности. Может, именно потому, что в нечетных для замкнутых многообразий получается всегда ноль (и это, возможно, вызывало удивление)? При $n=1$ это тождественный ноль, а при $n\ge 1$ - как результат интегрирования знакопеременного инварианта $R_{\mu\nu\lambda\rho}R^{\mu\nu\lambda\rho}$ по объему нечетномерного пространства?

-- Ср сен 29, 2010 20:44:33 --

paha в сообщении #357376 писал(а):

у окружности $x^2+y^2=1$ кривизна везде равна 1

Это, очевидно, внешняя кривизна - кривизна площадки (в данном случае отрезка) в направлении нормали в 2-пространство вложения. Но полная кривизна ( плюс внутренняя кривизна), очевидно, будет равна нулю. Это предположение.

[Fagot]

paha в сообщении #357376 писал(а):

так мы про $S^3$, односвязное многообразие, и говорим)

Пожалуй, это момент моего непонимания, извините. То, что в нечетномерном замкнутом пространстве формы замкнутые, $d\omega =0$, это понятно ввиду его замкнутости. А вот то, что они могут оказаться ещё и точными, $\omega =d\alpha$, это, как Вы согласились, может быть лишь в односвязном пространстве, т.е. - на нечетномерной сфере, в данном случае, на $S^3$. Но в таком случае может ли эта трехмерная сфера быть границей четырехмерного шара?

(Скажем, это означало бы, что у 3-сферы есть 2-граница, что в общем для 3-сферы возможно, но не для сферы как границы 4-шара?).

[paha]

Fagot в сообщении #357435 писал(а):

То, что в нечетномерном замкнутом пространстве формы замкнутые, $d\omega =0$

фраза бессмысленная:) Форма $\omega$ называется замкнутой, если ${\rm d}\omega=0$... не все формы являются замкнутыми -- на любом гладком многообразии есть незамкнутые формы. "Замкнутость" многообразия отношения к "замкнутости" форм не имеет... это явление в языке называется омонимия: слова одинаковые, а значение разное (вот со связностью тоже самое)

Fagot в сообщении #357435 писал(а):

А вот то, что они могут оказаться ещё и точными, $\omega =d\alpha$, это, как Вы согласились, может быть лишь в односвязном пространстве, т.е. - на нечетномерной сфере

точное утверждение такое: на односвязном замкнутом многообразии любая замкнутая 1-форма является точной (обратное неверно! и -- заметьте, это утверждение об 1-формах)

Fagot в сообщении #357435 писал(а):

Скажем, это означало бы, что у 3-сферы есть 2-граница, что в общем для 3-сферы возможно, но не для сферы как границы 4-шара?

не означает

-- Ср сен 29, 2010 22:48:41 --

то, что Вы, возможно, имеете ввиду: если бы всякая 3-форма на $S^3$ была точна (а все 3-формы на трехмерном многообразии замкнуты), то для формы объема $V$ имеем $V={\rm d}\omega$ и по формуле Стокса

$$ Vol(S^3)=\int_{S^3}V=\int_{\partial S^3}\omega\ne 0 $$

откуда $\partial S^3\ne\emptyset$

-- Ср сен 29, 2010 23:03:21 --

Fagot в сообщении #357405 писал(а):

При $n=1$ это тождественный ноль, а при $n\ge 1$ - как результат интегрирования знакопеременного инварианта $R_{\mu\nu\lambda\rho}R^{\mu\nu\lambda\rho}$ по объему нечетномерного пространства?

Вот возьмите сферу $S^3$ с канонической метрикой, выпишете тензор кривизны, сверните его и проинтегрируйте. Это не очень сложно, если Вы найдете хорошие координаты и посчитаете в них выражение для метрического тензора.

[Fagot]

paha в сообщении #357467 писал(а):

"Замкнутость" многообразия отношения к "замкнутости" форм не имеет...

Пусть $(n-1)$-форма $\omega$ замкнута, $d\omega=0$. По теореме Стокса

$$\int_{\Omega}d\omega =\int_{\partial \Omega}\omega=0.$$

Следовательно, $\partial \Omega=0$, то есть $n$-пространство замкнуто.

[paha]

Fagot в сообщении #357514 писал(а):

Пусть $(n-1)$-форма $\omega$ замкнута, $d\omega=0$. По теореме Стокса

$$\int_{\Omega}d\omega =\int_{\partial \Omega}\omega=0.$$

Следовательно, $\partial \Omega=0$, то есть $n$-пространство замкнуто.

Из равенства интеграла нулю не следует, что область интегрирования -- пустое множество:)

Например, $n=1$, $\Omega=[0,1]$, $\omega\equiv 5$ (0-форма, т.е. функция), ${\rm d}\omega=0$

$$ 0=\int_{[0,1]}{\rm d}\omega=\omega|_0^1=5-5=0, $$

но $\partial\Omega=\{0,1\}\ne\emptyset$

-- Чт сен 30, 2010 02:05:42 --

еще раз:

paha в сообщении #357467 писал(а):

на любом гладком многообразии есть незамкнутые формы

в любой размерности

Скажу по секрету: незамкнутые формы нас обычно вообще не интересуют (в данной области науки), нам интересно насколько замкнутых форм больше, чем точных

[Fagot]

paha в сообщении #357540 писал(а):

Из равенства интеграла нулю не следует, что область интегрирования -- пустое множество:)

Например, $n=1$, $\Omega=[0,1]$, $\omega\equiv 5$ (0-форма, т.е. функция), ${\rm d}\omega=0$

$$ 0=\int_{[0,1]}{\rm d}\omega=\omega|_0^1=5-5=0, $$

но $\partial\Omega=\{0,1\}\ne\emptyset$

Но ведь речь шла о замкнутых формах в нечетномерном пространстве, а Вы рассмотрели 0-форму. То есть рассмотрели отрезок - шар $B^1$ c границей - нульмерной сферой $S^0$ (две точки), по общепринятой классификации, - дискретным множеством. Там, где границы нечетномерных шаров - четномерные сферы, все в порядке. А вот контрпример :

Пусть $\Omega$ - шар $B^2$. Зададим 1-форму $\omega = \varphi_{,i}dx^i$ - на ковекторе. Она замкнута : $d\omega =\varphi_{[,i,k]}dx^i\wedge dx^k =0$. Для неё по теореме Стокса одномерная граница $\partial \Omega$=T^1 - замкнута :

$$\int_{\Omega=B^2}d\omega=\int_{\partial \Omega=T^1}\omega =0.$$

Здесь из замкнутости формы следует замкнутость границы пространства.

Но она не является точной. Следовательно, пространство - неодносвязно. Значит, вроде бы, тор.

(Та же картина будет, наверно, и в $B^4$, у которого граница $\partial B^4$ - замкнута, неодносвязна (нет точных нечетных форм), значит, это может быть (извините за повторы) не сфера $S^3$, а тор $T^3$.)

Посчитать интегральную кривизну 3-сферы (как границы 4-шара), а также поискать нестягиваемую петлю в ней можно попытаться, несмотря на довольно длинные вычисления...

[Fagot]

Fagot в сообщении #357572 писал(а):

Но она не является точной.

Хм, как раз она является точной : $\omega = d\alpha=\varphi_{,i}dx^i$, то есть $\alpha=\varphi$ . Дальше - не то...

[paha]

Fagot в сообщении #357572 писал(а):

Но ведь речь шла о замкнутых формах в нечетномерном пространстве, а Вы рассмотрели 0-форму. То есть рассмотрели отрезок - шар $B^1$ c границей - нульмерной сферой $S^0$ (две точки), по общепринятой классификации, - дискретным множеством. Там, где границы нечетномерных шаров - четномерные сферы, все в порядке.

$B^1$ нечетномерно, $S^0$ четномерно

подобные примеры есть в любых размерностях

Fagot в сообщении #357572 писал(а):

следует замкнутость границы пространства

Граница любого многообразия -- замкнутое многообразие $\partial\partial M=\emptyset$, так что не надо огород городить: замкнутость форм -- просто слово то же самое, омоним

Fagot в сообщении #357572 писал(а):

(Та же картина будет, наверно, и в $B^4$, у которого граница $\partial B^4$ - замкнута, неодносвязна (нет точных нечетных форм), значит, это может быть (извините за повторы) не сфера $S^3$, а тор $T^3$.)

Вы не устали? как мне еще растолковать Вам? Может быть, Вы спросите -- что Вам именно в основаниях топологии гладких многообразий непонятно, а не будете с упорством твердить чушь. Извините.

-- Чт сен 30, 2010 17:43:15 --

paha в сообщении #357665 писал(а):

неодносвязна (нет точных нечетных форм)

точные формы есть НА ЛЮБОМ МНОГООБРАЗИИ, ВО ВСЕХ РАЗМЕРНОСТЯХ... уже хватит глупостей

[Fagot]

paha в сообщении #357665 писал(а):

Вы не устали? как мне еще растолковать Вам?

Нет, просто ошибся, времени было мало ... Вам спасибо за терпение. Надо подумать, чтобы вопрос правильно задать... Поищу нестягиваемые петли. Выделенность $n=0, 1, 4$ непонятна, должна же быть общая закономерность в топологических свойствах пространств...

[paha]

Fagot в сообщении #357703 писал(а):

Выделенность $n=0, 1, 4$ непонятна, должна же быть общая закономерность в топологических свойствах пространств...

Что за выделенность???
общей закономерности может не быть -- тем жить интересней