Определители

[e7e5]

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & 1\\ 0 & -x & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 1-x & ...& 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & n-1-x \end{vmatrix}=0$

-- Сб сен 25, 2010 22:51:15 --

в этом определителе все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю

-- Сб сен 25, 2010 22:52:22 --

как здесь поможет определение определителя?

[ewert]

Ну хорошо. А столбцы-то вам всё-таки разрешено вычитать -- или всё-таки запрещено?...

-- Сб сен 25, 2010 22:55:59 --

e7e5 в сообщении #356227 писал(а):

как здесь поможет определение определителя?

Вот чего не знаю -- того не знаю. Не в курсе, что конкретно у вас в курсе считалось именно определением определителя.

[Утундрий]

e7e5 в сообщении #356227 писал(а):

в этом определителе все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю

Ну и раскладывайте теперь его по первому столбцу, а то что вылезет - снова по первому и так далее и так далее...

[e7e5]

Утундрий в сообщении #356235 писал(а):

Ну и раскладывайте теперь его по первому столбцу, а то что вылезет - снова по первому и так далее и так далее...

в главу свойств определителя разложение не входит. Нужно как-то по-другому.

-- Сб сен 25, 2010 23:22:16 --

Определитель:
Определителем n-го порядка из $n^2$ элементов матрицы (A) называется алгебраическая сумма всевозможных членов, представляющих собой произведение n элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы. Знак члена равен $(-1)^t$, где $t$ - число инверсий в перестановке вторых индексов элементов члена, когда сами элементы члена расположены в порядке возрастания первых индексов.

[ewert]

Хорошо, я всё-ж таки иногда телепат. Давайте предположим, что у вас в курсе определитель определялся как сумма всевозможных произведений, взятых с соответствующими знаками. Что вовсе не обязательно, и даже как-то малоидейно, но бывает часто. Короче -- предположим.

Тогда.

Прикиньте: какой элемент из второй строки обязан присутствовать в любом таком (из ненулевых) произведении?... А из третьей?... А из четвёртой?...

Ну а когда дойдёте до самого низу: а из первой?...

-- Сб сен 25, 2010 23:26:16 --

(Оффтоп)

Упс, а я и впрямь телепат...

[Утундрий]

(Оффтоп)

e7e5 в сообщении #356238 писал(а):

в главу свойств определителя разложение не входит

Что однозначно характеризует главу в целом...

[ewert]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #356245 писал(а):

e7e5 в сообщении #356238 писал(а):

в главу свойств определителя разложение не входит

Что однозначно характеризует главу в целом...

Нет. Под "свойствами" принято понимать "элементарные свойства", т.е. вытекающие более-менее непосредственно из определения. Разложение к таковым, безусловно, не относится, это довольно содержательная теорема. Если, конечно, это не просто рекуррентное определение определителя (встречаются и такие энтузиасты).

[Утундрий]

Экая требовательность...
Ну тады из энтого

e7e5 в сообщении #356227 писал(а):

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & 1\\ 0 & -x & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 1-x & ...& 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & n-1-x \end{vmatrix}=0$

вычитанием первого столбца из всех остальных по очереди приведите к совсем уж кошерному виду.

[ewert]

Конечно. Но -- только если столбцы к данному моменту вычитать уже разрешено.

-- Сб сен 25, 2010 23:51:09 --

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #356248 писал(а):

Экая требовательность...

Это Вы напрасно. Тема "определители" -- весьма тяжёлая для изложения, в какую сторону её ни закрути. Она в любом варианте требует довольно существенной абстрактности. Если излагать её вполне честно. А если пытаться разумно сжульничать (что для нематематиков неизбежно -- нахрена им все эти абстракции), то тут могут возникать самые причудливые комбинации.

[e7e5]

вероятно, что вычитать все-таки можно, но это свойство в книжке идет после свойства:
Определитель n-го порядка, у которого две строки одинаковы, равен нулю
т.е нужно решать уравнения
$1-x=1$, $2-x=1$, ...

[ewert]

e7e5 в сообщении #356319 писал(а):

вероятно, что вычитать все-таки можно, но это свойство в книжке идет после свойства:
Определитель n-го порядка, у которого две строки одинаковы, равен нулю

Это вполне естественно, корректность вычитания строк и должна идти после этого свойства.

Даже любопытно стало. А не можете кратенько перечислить все свойства, которые идут между определением и этой задачкой, но не далее?... (не обязательно аккуратно, хотя бы намёком, но ровно в том же порядке)

[e7e5]

К сожалению задача в задачнике, где ссылаются на определение определителя и простейшие свойства. А книжка по такому же логическому принципу. Сначала дается определение определителя высшего порядка. Потом идет глава посвященная транспозии, потом глава подстановок, потом свойства определителей:
1) о транспонировании
2) определитель , у которого две строки одинаковы
3) об умножении элементов столбцов ( строк) определителя на одно и то же число
4) о вынесении общего множителя за знак определителя
5) определитель с пропорциональными элементами

В задачнике просят вычислять определители, используя только определение определителя, в том числе такой, у которого все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю, аналогично - для побочной диагонали,
Потом задача:
если в определителе на пересечении некоторых k строк и l столбцов стоят элементы равные нулю, причем $k+l>n$, то определитель равен нулю.
А потом уже задача 4) Решить уравнение, которое и разбираем.

-- Вс сен 26, 2010 11:34:55 --

поэтому, не уверен, что можно "складывать и вычитать", а использовать более глубокое понимание определения и каких-то простейших свойств.

[ewert]

Ситуация вроде бы понятна.

e7e5 в сообщении #356326 писал(а):

поэтому, не уверен, что можно "складывать и вычитать", а использовать более глубокое понимание определения и каких-то простейших свойств.

Нет, вряд ли. Перед этой задачей (и сразу после перечисленных свойств) безусловно должно идти свойство про вычитание строк (а с учётом того, что уже есть про транспонирование -- заодно и столбцов). Без этого (без вычитания) до диагональных элементов просто не дотянуться, тем более что в ответ входят не совсем диагональные элементы. Ну или выводить то свойство по ходу решения самой задачи, но это нелепо.

-- Вс сен 26, 2010 11:55:53 --

ewert в сообщении #356330 писал(а):

сразу после перечисленных свойств

пардон, не совсем сразу. Предварительно должно быть ещё свойство (достаточно очевидное) насчёт линейности определителя по отдельным строкам.

[e7e5]

5) Пользуясь только определением определителя, вычислить
$\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 & ... & 0\\ a_{21} & a_{22} & 0 & ... & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & ...& 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & ... & a_{nn} \end{vmatrix}$

[ewert]

Ну тут-то как раз действительно достаточно только определения. Какой элемент в произведение обязан быть делегирован от первой строки? а тогда от второй? а тогда от третьей?...