Определители

[e7e5]

ewert в сообщении #363422 писал(а):

Теперь подберите такой комплексный множитель вида $e^{i\varphi}$, после умножения матрицы на который она станет эрмитовой. Это легко -- ведь Вам известен аргумент как всех элементов ниже диагонали, так и всех выше.

Не получается найти комплексный множитель. Вот например частный случай матрицы согласно условию задачи. Как же ее привести к эрмитовой?
$\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & i & 2i \\ 1&0&3i \\ 2&3&0 \\ \end{array} } \right) \] $

[ewert]

Вы не в ту сторону думаете.

Вам известно, что по одну сторону от главной диагонали аргумент элементов равен ровно пи-пополам (ну с точностью до знаков тех элементов, что в данном случае не принципиально).

А по другую -- ровно ноль (с теми же оговорками).

Во всяком случае: разность аргументов любых двух симметричных (относительно диагонали) элементов есть ровно пи-пополам, и это уж безо всяких оговорок.

Тогда деццкий вопрос: на какое $e^{i\varphi}$ следует умножить вообще все элементы, чтоб находящиеся выше диагонали оказались в точности комплексно сопряжёнными к находищимся ниже?...

[e7e5]

для $i$: $e^{i\pi/2} e^{-i\pi}=-i$
для $1$: $e^{i0} e^{-i\pi}=-1$
угол $\varphi$ определяется с точностью до слагаемого кратного $2\pi$

-- Вт окт 19, 2010 22:05:31 --

Поскольку нужно умножать все элементы, то нужно будет умножать каждую строку определителя на $e^{i\varphi}$, т.е $\varphi n=2\pi m$
$n=2\pi m / \varphi$, в задачнике дается ответ: $n=4m$, $m$ - целое.
Т.е. угол $\varphi$ должен быть равным $\pi/2$.

"Деццкий" вопрос вызывает затруднение, не удается понять, как подобрать этот множитель, почему $\pi/2$?

[ewert]

e7e5 в сообщении #363696 писал(а):

для $i$: $e^{i\pi/2} e^{-i\pi}=-i$
для $1$: $e^{i0} e^{-i\pi}=-1$

Зачем же именно на $e^{-i\pi}$-то?... Умножайте на $e^{i\varphi}$ -- и требуйте, чтобы результаты оказались комплексно сопряжены.

[e7e5]

у меня получается, что
$\varphi=-\pi/4+\pi k$, $k \in Z$

[ewert]

Да. Теперь можете формулировать все три ответа.

[e7e5]

Пусть например $k=0$
Чтобы такие определители были действительными:
$\sin(n\pi/4)=0$, $n\pi/4=\pi m$, $m \in Z$ ( учтено, что каждую строку определителя домножали на комплексный множитель, а всего строк $n$)
$n=4m$

Для чисто мнимых определителей
$\cos(n\pi/4)=0$, $n\pi/4=\pi/2 +\pi m$, $n=4m+2$
Эти ответы совпадают с ответом в задачнике.

А вот для $k \ne 0$ ответ с задачником не совпадает, почему?

-- Чт окт 21, 2010 22:25:37 --

Для $k \ne 0$
$\sin(\pi/4+\pi k)n=0$, $(\pi/4+\pi k)n=\pi m$, $m \in Z$,
$n= \frac {4m} {1+4k}$, $n$ должно быть целым

[ewert]

e7e5 в сообщении #364553 писал(а):

ответ с задачником не совпадает, почему?

Не знаю. Читаем вопрос:

e7e5 в сообщении #363363 писал(а):

10b) при нечетном n все такие определители с указанными условиями имеют вид $a(1 \pm i)$, где $a$ - действительное чис ло.

Ну так и ежу понятно, что имеют. Ибо $e^{-{\pi\over4}}={\sqrt2\over2}\cdot(1-i)$ после возведения в чётную степень -- это или плюс-минус единичка, или плюс-минус мнимая единичка. Которая потом ещё ровно один раз умножается на $(1-i)$.

[e7e5]

11) Доказать, что в каждый член определителя входит четное число элементов, занимающих нечетное место; элементов же, занимающих четное место, входит четное число, если определитель четного порядка, и нечетное число, если определитель нечетного порядка

[Утундрий]

(Оффтоп)

Вот к ЧЕМу готовят КАДРЫ при помощи ТАКИХ задачег? Воображение отказывает. Честно.

[e7e5]

Общий член определителя запишем в виде:
$a_{i_1 j_1}a_{i_2 j_2} ...a_{i_n j_n}$
Будет ли место элемента $a_{ij}$четным или нечетным зависит от суммы $i+j$, четная или нечетная. Как это использовать к исчислению суммы индексов всех элементов, входящих в общий член определителя?

[ewert]

e7e5 в сообщении #364996 писал(а):

11) Доказать, что в каждый член определителя входит четное число элементов, занимающих нечетное место; элементов же, занимающих четное место, входит четное число, если определитель четного порядка, и нечетное число, если определитель нечетного порядка

Возьмите для начала диагональную расстановку индексов (1,2,3,...). И отследите, на сколько может измениться количество позиций правильной чётности при любой парной перестановке.

[e7e5]

Не очень понятно. С одной стороны диагональные элементы определеителя имеют индексы
$11, 22, 33, ... nn$
суммы $1+1, 2+2, ... n+n$ будут четными
В книжке рассмотрены две теоремы с доказательством
1. От одной транспозиции четность перестановки меняется.
2. Знак члена определителя n-го порядка равен знаку числа $(-1)^{s+t}$, где
$s$- число инверсий в перестановке первых индексов $i_1 i_2 ... i_n$,
$t$- число инверсий в перестановке вторых индексов $j_1 j_2 ... j_n$

Вы подсказываете, что нужно рассмотреть изменение количества позиций правильной чётности при любой парной перестановке.

Я понимаю это так, что если меняются элементы $a_{i_1 j_1}$ и $a_{i_2 j_2}$ местами, то первые индексы элементов члена определителя составят перестановку $i_2 i_1 ...i_n$ (A),
вторые $j_2 j_1 ... j_n$ (B), т.е произошла транспозиция индексов $i_1, i_2$ и
$j_1, j_2$. Пусть $s', t'$ - число инверсий в перестановках A и B. Тогда по теореме 2
$s'-s, t'-t$ - нечетные числа.

[ewert]

e7e5 в сообщении #365305 писал(а):

Я понимаю это так, что если меняются элементы $a_{i_1 j_1}$ и $a_{i_2 j_2}$ местами,

Вы не элементы переставляйте, а только вторые индексы (при сохранении первых). На сколько при этом может измениться количество элементов, стоящих в чётной позиции?...

(достаточно рассмотреть альтернативу: чётность чисел $j_1$ и $j_2$ или одинаковая -- или разная)

[e7e5]

Если четность чисел $j_1$ и $j_2$ разная, то при перестановке вторых индексов количество элементов в четной позиции изменится на двойку (например $...a_{22} a_{31}$, $...a_{21} a_{32}$) - это имеется ввиду?

Если одинаковая, то на единичку при парной перестановке.