Определители

[e7e5]

От первой строки $a_{11}$, второй - $a_{22}$, ..., от $n$-ой $a_{nn}$, а в других произведениях будут нули.

6) Назовем место элемента $a_{ik}$ определителя четным или нечетным, смотря по тому, будет ли сумма $i+k$ четна или нечетна. Найти число элементо определителя порядка $n$, стоящих на четных и на нечетных местах.

Видимо рассматривать нужно два случая, $n$ - четное и $n$ -нечетное.

[e7e5]

Для определителя с четным $n$: всего элементов будет $n^2$
Из этих элементов будет на четных местах, половина на нечетных, т.е будет равно $n^2/2$

Не очень понятно, когда число $n$ нечетное. Если к определителю приписать справа столбец, а снизу строку, то получится уже рассмотренный случай для четного... Но как учесть приписывание этих строк?

[e7e5]

Пробую так: допишем к определителю с нечетным $n$ справа столбец и снизу строку. Получится определитель $n+1$ на $n+1$. В этой дописанной строке и столбце будет $n+1$ нечетных элементов, $n$ четных.

Значит, в определителе размера nxn будет
$(n+1)^2/2-(n+1)=(n^2-1)/2$ нечетных элементов
$(n+1)^2/2-n=(n^2+1)/2$ четных элементов.

[ewert]

это так, конечно, только зачем так сложно. Считаем по строчкам: 1,2 -- ровно; 3,4 -- ровно; ... предпоследняя-- ровно; и тут бац, последняя -- и на одну чётную позицию больше!

[e7e5]

ewert в сообщении #360786 писал(а):

Считаем по строчкам: 1,2 -- ровно; 3,4 -- ровно; ... предпоследняя-- ровно; и тут бац, последняя -- и на одну чётную позицию больше!

Пожалуйста поясните подробнее, что значит "считаем по строчкам: 1,2 -- ровно"?

Так, как у меня получилось, мне очень ясно, а вот со счетом не очень...

-- Вс окт 10, 2010 21:04:18 --

8) Найти элемент определителя порядка $n$, симметричный элементу $a_{ik}$ относительно "центра" определителя.

В книжке ничего не говорится об определении центра определителя. Центр определителя $n$ это точка с координатами $n/2, n/2$, если левая сторона определителя совпадает с осью OY, а нижняя сторона с OX, а левый нижний угол - в начале координат?

[ewert]

e7e5 в сообщении #360811 писал(а):

Пожалуйста поясните подробнее, что значит "считаем по строчкам: 1,2 -- ровно"?

Тривиально: в первой строке чётных на единичку больше, чем нечётных; во второй на единичку меньше; в третьей на единичку больше; в четвёртой на единичку меньше...

e7e5 в сообщении #360811 писал(а):

В книжке ничего не говорится об определении центра определителя.

А такого понятия и не существует вовсе. Хуже того -- не существует даже такого понятия, как "элемент определителя" вообще, это уж мы тут домысливаем. И откуда Вы такие книжки-то выкапываете?...

[e7e5]

Книжки с полки домашней библиотечки.
Ответ приводится такой: $a_{n-i+1, n-k+1}$
Для определителя, например, 5х5: если взять $a_{25}$, то по ответу получается элемент $a_{41}$.
Нарисовав на бумаге в квадратную клеточку квадрат со стороной 5 ( разместив в начало координат левый нижний угол), а сами квадратики - элементы определителя, провожу прямую через две точки : $(5/2, 5/2)$ и $(9/2, 5/2)$. Прямая пройдет через центр квадратика в котором расположен элемент $a_{41}$. Т.е для получения ответа можно привлечь геометрию?

-- Вс окт 10, 2010 21:42:27 --

Если с геометрией, прямыми, то это будет пучок прямых с определенными свойствами, центр пучка $n/2, n/2$.

[e7e5]

9) Как изменится определитель, если каждый его элемент заменить элементом, симметричным с данным относительно побочной диагонали?

Какие есть идеи, как подступиться к задаче? Находить симметричный элемент относительно "центра" или побочной диагонали можно, но как это повлияет на весь определитель?

[ewert]

Вы подобный вопрос уже задавали -- см. рекомендацию Утундрия.

[e7e5]

Разобрался, просят замену каждого элемента на симметричный с данным относительно побочной диагонали преобразовывать как две симметрии относитльно горизонтальной и вертикальной средних линий и симметрией относительно главной диагонали.

Т.е , как понимаю, сначала замена элементов определителя симметричными относительно центра определителя ( здесь определитель не меняется), а симметрия относительно главной диагонали - та же транспозиция, т.е. знак не меняет.

[e7e5]

10) При каких значениях $n$ все определители порядка $n$, элементы которых удовлетворяют условиям
$(\alpha)$ $a_{jk}$ - действительное число при $j>k$,
$(\beta)$ $a_{kj}=i a_{jk}$ при $j \ge k$, $i=\sqrt (-1)$ будут действительными?

[Утундрий]

e7e5
Ну и начинайте пробовать $n=1,2,3...$
Только сперва ответьте, чему будут равны диагональные элементы?

[e7e5]

диагональные элементы те, у которых $j=k$, согласно условию
$(\beta)$ $a_{jj}=i a_{jj}$
т.е на диагонали мнимые числа?

[ewert]

e7e5 в сообщении #362890 писал(а):

$a_{jj}=i a_{jj}$
т.е на диагонали мнимые числа?

А Вы не гадайте, а просто решите это уравнение относительно $a_{jj}$.

А потом (с учётом этого результата) домножьте матрицу на такую степень мнимой единички, чтобы матрица стала эрмитовой.

[e7e5]

Как же решать такое уравнение?
Пусть $a_{jj}=a+ib$,
тогда уравнение $a_{jj}=i a_{jj}$ запишется ввиде
$a+ib=i(a+ib)$, $a+b+i(b-a)=0$
Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда его действительная и мнимаые части равны нулю. Поэтому для нахождения $a$, $b$ нужно решить систему.
С одной стороны $a=-b$ (1), с другой $b-a=0$(2), т.е. $b=a$, подставляя в первое уравнение, получим $a=-a$, т.е $a=0$, $b=0$.

Правильно решаю уравнение относително $a_{jj}$?