Определители

[ewert]

e7e5 в сообщении #365428 писал(а):

- это имеется ввиду?

Почти это. На двойку -- или на ноль (что несущественно).

e7e5 в сообщении #365428 писал(а):

Если одинаковая, то на единичку при парной перестановке.

А это -- совсем уж неверно.

[e7e5]

ewert в сообщении #365436 писал(а):

e7e5 в сообщении #365428 писал(а):

Если одинаковая, то на единичку при парной перестановке.

А это -- совсем уж неверно.

$...a_{21}a_{33}$, $a_{23}a_{31}$ четность чисел $1$ и $3$ одинаковая, поменяли местами, так и остался один четный элемент.

$...a_{23}a_{32}$, $...a_{22}a_{33}$, четность $2$ и $3$ разная, поменяли местами, на два четных стало больше.

[ewert]

Вот именно. Но это -- частные случаи. Обобщите. (Что касается первого варианта -- так это ваще тривиально; второй распадается на подварианты, но тоже достаточно очевидные.)

[e7e5]

Запутался, не удается обобщить. Пробую так:
Необходимо рассмотреть сумму индексов всех элементов, входящих в элемент определителя.
Элемент определителя
$a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n}$, т.е.сумма индексов
$1+j_1,2+j_2, ..., n+j_n$

1+1,     2+2, ...      n+n
1+2,     2+3, ...      n+1
1+3,     2+4, ...      n+2
.........................
1+(n-1),  2+n, ...    n+(n-2)
1+n,      2+1, ...    n+(n-1)

Следующий элемент определителя $a_{2j_1}a_{3j_2}...a_{nj_{n-1}}a_{1j_n}$ и.т.д по всем $i_n$

[ewert]

e7e5 в сообщении #365670 писал(а):

Необходимо рассмотреть сумму индексов всех элементов, входящих в элемент определителя.
Элемент определителя
$a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n}$, т.е.сумма индексов
$1+j_1,2+j_2, ..., n+j_n$

Сумму индексов искать бессмысленно -- она всегда одна и та же: $n(n+1)$. И не она нужна.

Рассмотрите произвольную пару сомножителей $a_{mj_1}$ и $a_{kj_2}$.

Если индексы $j_1$ и $j_2$ имеют одинаковую чётность, то от их перестановки четность позиций этих двух сомножителей не изменится. Соответственно, не изменится и полное количество сомножителей с нечётной позицией во всём произведении.

Если чётности $j_1$ и $j_2$ различны, то после их перестановки чётность позиции как $a_{mj_1}$, так и $a_{kj_2}$ изменится на противоположную. Значит, количество сомножителей с нечётной позицией в произведении или не изменится, или изменится на 2 в ту или иную сторону.

[e7e5]

С сумой индексов разобрался:
это сумма двух арифметических прогрессий
$n \frac{1+n} {2} + n \frac{1+n} {2}=n(n+1)$
Но как помогают в решении задачи найденные свойства сомножителей?

Если определитель четный, то ранее уже получили, что число элементов на четных и на нечетных местах одинаково и равно $n^2/2$
Если определитель нечетный, то элементов на четных местах равно
$(n^2+1)/2$, на нечетных $(n^2-1)/2$

Переставляя индексы в элементах выясняем, изменяется четность позиции двух сомножителей. А всего ведь $n$ сомножителей.
И нужно понять, будет ли число сомножителей, например, занимающих нечетное место четным.

[ewert]

e7e5 в сообщении #365814 писал(а):

Если определитель четный, то ранее уже получили, что число элементов на четных и на нечетных местах одинаково

e7e5 в сообщении #365814 писал(а):

Переставляя индексы в элементах выясняем, изменяется четность позиции двух сомножителей. А всего ведь $n$ сомножителей.

Как-то раньше всё лучше было.

Любое конкретное слагаемое -- т.е. любая конкретная расстановка вторых индексов -- получается в результате некоторой последовательности парных перестановок этих самых вторых индексов.

И как меняется чётность в случае любой парной перестановки -- известно. Чего ж ещё и желать-то?...

[e7e5]

Непонятно, зачем в ответе к этой задаче приводится Указание: "Рассмотреть сумму индексов всех элементов, входящих в общий член определителя"? Само решение естественно не приводится.

[ewert]

e7e5 в сообщении #365838 писал(а):

Непонятно, зачем в ответе к этой задаче приводится Указание: "Рассмотреть сумму индексов всех элементов, входящих в общий член определителя"?

Понятия не имею. На мой взгляд, "указание" откровенно глупо. Но, может, я чего и не понимаю.