Определители

[ewert]

e7e5 в сообщении #363037 писал(а):

Правильно решаю уравнение относително $a_{jj}$?

Неправильно (или, во всяком случае, нелепо). Надо так:

$a_{jj}=i\,a_{jj} \quad\Leftrightarrow\quad (1-i)\cdot a_{jj}=0 \quad\Rightarrow\quad \ldots$

[e7e5]

ewert в сообщении #363043 писал(а):

$a_{jj}=i\,a_{jj} \quad\Leftrightarrow\quad (1-i)\cdot a_{jj}=0 \quad\Rightarrow\quad \ldots$

$a_{jj}=0$
Как ни крути, получается нуль, но Вы утверждаете, что решаю неправильно, значит и ответ должен быть иной?

[ewert]

e7e5 в сообщении #363048 писал(а):

но Вы утверждаете, что решаю неправильно,

Ну мне лень было вчитываться, я же специально оговорился -- "нелепо". Нет, по прочтении всё всё-таки верно. Только это из разряда "формально верно, а по существу издевательство".

Но это ладно. Теперь действуйте дальше -- сводите матрицу к эрмитовой.

[e7e5]

в разделе задачника про определители ничего не говорится о матрицах, тем более "эрмитовой". Чтобы добраться до эрмитовой матрицы нужно пропустить ( перепрыгнуть) почти сто страниц задач.

В книжке читаю: Квадратную матрицу $A$ называют эрмитовой, если в ней элементы, симметричные относительно главной диагонали, являются комплексно сопряженными числами.

[ewert]

e7e5 в сообщении #363073 писал(а):

В книжке читаю: Квадратную матрицу называют эрмитовой, если в ней элементы, симметричные относительно главной диагонали, являются комплексно сопряженными числами

Вот.

Мне тоже показалось, что эта задачка в этом месте вашего курса -- явно преждевременна.

Но и ничего непрошибаемого (с формальной точки зрения) в ней тоже нет.

Эрмитова матрица -- это такая, которая переходит в саму себя после транспонирования и комплексного сопряжения.

А что после этих двух операций должно случиться с определителем матрицы?... И что отсюда следует?...

-- Вс окт 17, 2010 22:53:25 --

e7e5 в сообщении #363073 писал(а):

в разделе задачника про определители ничего не говорится о матрицах,

В задачнике -- возможно; но если и в курсе тоже -- то это совсем нехорошо. В курсе обязаны присутствовать слова типа "определитель есть числовая функция от матрицы". Пусть даже и в завуалированной какой-нибудь форме, но -- присутствовать обязаны.

[e7e5]

ewert в сообщении #363084 писал(а):

Эрмитова матрица -- это такая, которая переходит в саму себя после транспонирования и комплексного сопряжения.

А что после этих двух операций должно случиться с определителем матрицы?... И что отсюда следует?...

Операция транспонирования не меняет определителя. Операция комплексного сопряжения приводит к исходному определителю, но как это помогает в решении задачи?

Более того, есть две подзадачи: 10a) при каких $n$ все определители порядка $n$ , элементы которых удовлетворяют условиям $(\alpha)$ и $(\beta)$ будут чисто мнимыми
10b) при нечетном n все такие определители с указанными условиями имеют вид $a(1 \pm i)$, где $a$ - действительное чис ло.

Т.е есть такие условия, при которых определители будут действительными, а при других условиях будут чисто мнимыми. Как во всем этом разобраться?

[ewert]

e7e5 в сообщении #363363 писал(а):

Операция комплексного сопряжения приводит к исходному определителю,

Не так. Операция комплексного сопряжения должна приводить к исходному определителю (ввиду эрмитовости матрицы), и в то же время формально приводит -- к чему?...

e7e5 в сообщении #363363 писал(а):

Т.е есть такие условия, при которых определители будут действительными, а при других условиях будут чисто мнимыми. Как во всем этом разобраться?

Сперва разберитесь с первым -- два других вопроса из этого легко вытекают. А впрочем, вопрос 10b) можно рассматривать как некоторую подсказку.

[e7e5]

если значение одного определителя равно $D^*$, а другого $D$, кроме того $D^*=D$ получаем, что два сопряженных числа равны друг другу тогда и только тогда, когда числа вщественные.

[ewert]

Замечательно. Мы наконец выяснили, что детерминант эрмитовой матрицы непременно вещественен.

Теперь подберите такой комплексный множитель вида $e^{i\varphi}$, после умножения матрицы на который она станет эрмитовой. Это легко -- ведь Вам известен аргумент как всех элементов ниже диагонали, так и всех выше.

[Утундрий]

...не забудьте при этом, что матрица умножается на число вся сразу, а вот определитель нужно помножить на множитель $n$ раз, дабы в кажную его составляющую помянутым множителем проникнуть.

[ewert]

(Оффтоп)

Утундрий, вечно Вы куда-то спешите...

[Утундрий]

(Оффтоп)

ewert
да что-то долго...

[ewert]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #363439 писал(а):

да что-то долго...

Но зато сознательно. Не забывайте, что эта задачка была им подсунута явно преждевременно -- я от этих своих слов совершенно не отказываюсь.

И кстати: что значит "долго"? Всего-то чуть больше одной странички. Для явно неадекватной (в рамках курса) задачки -- совсем не так много.

[Утундрий]

(Оффтоп)

ewert
Я вообще не понимаю, кто им так преподаёт.
Это что, идефикс у препода - создать теорию определителей а-ля-нарюрель?
Впрочем, что ни город...

[ewert]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #363454 писал(а):

Я вообще не понимаю, кто им так преподаёт.

Ну, преподают-то им, в принципе, вроде вполне нормально. Но иногда, видать, эмоции перехлёстывают. Тогда и возникают подобные задачки.