Определители

[e7e5]

Выяснить, какие из приведенных ниже произведений входят в определители соответствующих порядков и с какими знаками:
1) $a_{43}a_{21}a_{35}a_{12}a_{54}$
2) $a_{27}a_{36}a_{51}a_{74}a_{25}a_{43}a_{62}$

[Хорхе]

А что сами можете сказать?

[ewert]

e7e5 в сообщении #353932 писал(а):

какие из приведенных ниже произведений входят в определители

Каждое произведение обязано содержать ровно по одному элементу из каждой строки и ровно по одному элементу из каждого столбца.

e7e5 в сообщении #353932 писал(а):

и с какими знаками

Знак перед произведением определяется чётностью перестановки индексов (например, вторых, если первые выстроить по порядку), т.е. количеством элементарных (парных) перестановок, которые надо совершить, чтобы получить данную перестановку. Последняя, в свою очередь, совпадает с чётностью количества инверсий в данной перестановке (хотя само по себе количество парных перестановок с количеством инверсий и не совпадает).

[e7e5]

1) число инверсий в перестановке равно трем, нечетно, значит входит со знаком минус.
2) взято два элемента из второй строки, значит произведение не является членом определителя.

[ewert]

Верно.

(если я не сбился со счёту в 1-м пункте)

[e7e5]

3) С каким знаком входит в определитель порядка $n$ произведение элементов побочной диагонали?

Нужно понять, в какую степень возвести минус единицу, как?

[ИСН]

В определителе 2 на 2 эта штука с минусом, 3 на 3 - тоже. Инженер приходит к выводу: наверное, она всегда с минусом

[ewert]

e7e5 в сообщении #354161 писал(а):

Нужно понять, в какую степень возвести минус единицу, как?

Считайте количество инверсий. Выпишите несколько подряд идущих результатов и попытайтесь понять закономерность.

[e7e5]

не очень понятно, что считать побочной диагональю в определителе?
$a_{n1}a_{n-1,2}...a_{1n}$?

тогда имеем перестановку $n, ...,2,1$, число инверсий в ней $\frac {n(n-1)} {2}$
Ответ: $(-1)^{C_{n}^2}$

-- Пн сен 20, 2010 23:05:57 --

4) Как изменится определитель порядка $n$, если его матрицу повернуть на $90^{\circ}$ вокруг "центра"?

[Утундрий]

e7e5
Скомбинируйте требуемый поворот через транспонирование и перестановку строк (столбцов).

[e7e5]

Если матрицу nxn повернуть против часовой на $90^{\circ}$, то на диагонали будет перестановка $(n, n-1, ..., 1)$ Число инверсий будет $C_{n}^2$
Но разве из этого будет следовать, что определитель будет меняться как
$(-1)^{C_{n}^2}$?

[Утундрий]

e7e5 в сообщении #354706 писал(а):

Но разве из этого будет следовать?

Будет-будет... Потренируйтесь на кошка... простеньких определителях, и сами увидите.

[ewert]

e7e5 в сообщении #354544 писал(а):

тогда имеем перестановку $n, ...,2,1$, число инверсий в ней $\frac {n(n-1)} {2}$
Ответ: $(-1)^{C_{n}^2}$

Это-то, конечно, правда, но можно записать и проще (во всяком случае, нагляднее).

e7e5 в сообщении #354706 писал(а):

Если матрицу nxn повернуть против часовой на $90^{\circ}$, то на диагонали будет перестановка $(n, n-1, ..., 1)$ Число инверсий будет $C_{n}^2$
Но разве из этого будет следовать, что определитель будет меняться как
$(-1)^{C_{n}^2}$?

Из только диагонали -- не следует, конечно. Но дело в том, что соответствующим образом будет меняться число инверсий для каждого слагаемого в определителе.

(хотя Утундрий намекал, наверное, немного на другое -- на отслеживание эффекта от просто парных перестановок строк)

[Утундрий]

Пардоньте, неудачно выразился. Собственно, я хотел сказать только, что ответ получился правильный.

[e7e5]

ewert в сообщении #354717 писал(а):

Из только диагонали -- не следует, конечно. Но дело в том, что соответствующим образом будет меняться число инверсий для каждого слагаемого в определителе.

как же доказывать, что для других слагаемых в определителе, будет также меняться?