2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение30.08.2010, 15:38 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Виктор Викторов в сообщении #348416 писал(а):
Может быть, поможете и в этом случае topic35991.html?

А чем тут можно помочь-то?... Вопрос -- сугубо терминологический и как таковой никакого интереса не представляет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение30.08.2010, 16:21 
Заслуженный участник


13/12/05
4580
ewert в сообщении #348328 писал(а):
Виктор Викторов в сообщении #347591 писал(а):
Ещё до того как мы поговорим о том, что мы будем делать с нулём, рассмотрим вопрос о том существует ли такое объединение открытых интервалов $(a, 0)\cup (0, b)$, на котором функция $y={{\frac{f(x+\Delta x)-\Delta f(x)}{\Delta x}}$ определена и непрерывна.

Тут некоторая бяда: эта непрерывность не имеет ни малейшего отношения к дифференцируемости функции $f$ конкретно в точке $x$, т.е. к непрерывности функции $y$ конкретно в точке $\Delta x=0$. Важна непрерывность только в самом нуле. А непрерывность в одной отдельно взятой точке ровно и сводится к понятию предела. И какая разница, как это понятие оформлять -- в терминах окрестностей или в терминах расстояний. Да, первый подход -- более общий, но это уже непринципиально.

Подобно тому, как непрерывность определяется сразу на всем интервале, можно и дифференцируемость определять сразу на всем интервале.
Функция $f(x)$ называется дифференцируемой на $(a,b)$, если для любого $x_0\in (a,b)$ существует функция $D_{x_0}(x)$, непрерывная на $(a,b)$ и такая, что $f(x)=f(x_0)+D_{x_0}(x)\cdot (x-x_0)$ для всех $x\in (a,b)$.
Предела не надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение30.08.2010, 16:27 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Padawan в сообщении #348445 писал(а):
можно и дифференцируемость определять сразу на всем интервале

Можно, но не нужно. Т.е. вредно. Практический интерес представляют как раз функции, которые определены не во всех точках интервала, и даже вовсе не во всех. Иначе с полнотой функциональных пространств с интегральной метрикой как-то так совсем никак не складывается. Что есть совершенно нехорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение02.09.2010, 14:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Да, возвращаясь к исходному вопросу:

Виктор Викторов в сообщении #346508 писал(а):
В Петербурге живет математик Марк Иванович Башмаков. Как мне сказали, лет десять тому назад он опубликовал работу об определении производной и интеграла без использования понятия предела. Ссылочку бы получить. Помогите!

Как он определял десять лет назад -- не знаю, а вот лет сорок назад он определял интеграл школьникам действительно без пределов -- аксиоматически: как аддитивную функцию промежутка, значение которой всегда лежит между минимумом и максимумом функции, умноженными на длину. См. статью Ю.И.Ионина в Кванте:

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1972/09/integral.htm

Ионин и Башмаков активно сотрудничали, так что, скорее всего, Башмаков делал это примерно так же. Во всяком случае, насколько я (довольно смутно) помню, общая схема была именно такой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение02.09.2010, 16:53 


19/11/08
347
А что насчет определения производной через некоммутативный оператор дифференцирования:

$d\cdot x - x\cdot d = 1$

$d$ - оператор дифференцирования

Из этого соотношения выводятся все остальные производные функций.

С интегралами немного сложнее ... но тоже можно кое что вывести.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение02.09.2010, 17:02 
Заслуженный участник


13/12/05
4580
ewert в сообщении #349095 писал(а):

Плохо, что там не доказано (даже не сказано!), что интеграл единственен. Может у функции может быть несколько интегралов. Не, по-моему эта статья только запутывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение02.09.2010, 17:04 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Андрей АK в сообщении #349133 писал(а):
А что насчет определения производной через некоммутативный оператор дифференцирования:

$d\cdot x - x\cdot d = 1$

$d$ - оператор дифференцирования

всё это замечательно, но на каких функциях этот оператор определён?... и откуда следует, что такой оператор вообще существует и единственен?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение02.09.2010, 17:07 


19/11/08
347
ewert в сообщении #349137 писал(а):
Андрей АK в сообщении #349133 писал(а):
А что насчет определения производной через некоммутативный оператор дифференцирования:

$d\cdot x - x\cdot d = 1$

$d$ - оператор дифференцирования

всё это замечательно, но на каких функциях этот оператор определён?... и откуда следует, что такой оператор вообще существует и единственен?

На рядах Тейлора.
Это на первый взгляд ... но может и на чем-то большем.

PS Когда то нам это преподносили как некий прообраз из которого возникло преобразование Лапласа.
Работать с некоммутативными операторами сложно, а преобразование Лапласа при внешнем сходстве работает с коммутативными элементами.
Вот так математика пошла по пути интегральных преобразований, а некоммутативная алгебра далеко не продвинулась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение02.09.2010, 17:31 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Padawan в сообщении #349135 писал(а):
Плохо, что там не доказано (даже не сказано!), что интеграл единственнен. Может у функции может быть несколько интегралов.

Вполне может, и об этом явно сказано (упражнение 4). Такие (в частности) функции называются неинтегрируемыми. Так что с этим всё в порядке. Это не значит, что в статье нет недостатков, их хватает. Скажем, довольно нелепо оформлено обоснование линейности. Совсем плохо то, что ничего не сказано про существование максимумов и минимумов, а из-за этого -- проблемы с доказательством интегрируемости монотонных функций (которая, кстати, и не доказывается -- возможно, именно поэтому).

Но речь-то ведь не об этом. Был задан вопрос, как вводил интеграл М.И.Башмаков. Ну так вот ровно так он его детишкам и вводил, с точностью до нюансов. Один из таких нюансов -- что проблемы с минимумами и максимумами, скорее всего, отсутствовали, поскольку понятия супремума и инфимума в его курсе всё-таки были (а в этой статье они были бы неуместны, т.е. не уместились бы).

Причина такого подхода, как мне кажется, вот в чём. Школа была физико-математической, поэтому М.И. старался вводить базовые понятия максимально строго и при этом лаконично -- так, чтобы уместиться в отведённые часы. Аккуратное изложение теории пределов, тем более такого специфического вида предала, как при определении интеграла, в эти часы категорически не умещалось. А так -- всё получилось довольно коротко и элегантно. Правда, настолько абстрактно, что действительно мало кто понимал.

-- Чт сен 02, 2010 18:33:28 --

Андрей АK в сообщении #349141 писал(а):
На рядах Тейлора.Это на первый взгляд ... но может и на чем-то большем.

Не так быстро.

Какие ещё ряды Тейлора, когда нет понятия предела?... А если он всё же есть, то -- зачем?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение02.09.2010, 17:44 


19/11/08
347
ewert в сообщении #349146 писал(а):
Андрей АK в сообщении #349141 писал(а):
На рядах Тейлора.Это на первый взгляд ... но может и на чем-то большем.

Не так быстро.

Какие ещё ряды Тейлора, когда нет понятия предела?... А если он всё же есть, то -- зачем?...


Если хотите теории , то в "группах Ли" вовсю такими операторами оперируют.
Вот там все есть - и область определения и ответ на вопрос "зачем?".

Но ,правда, не в качестве альтернативного определения дифференциала ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение02.09.2010, 17:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Андрей АK в сообщении #349149 писал(а):
Но ,правда, не в качестве альтернативного определения дифференциала

Вот именно. После формального введения оператора можно и коммутаторами побаловаться, а до -- как-то никак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение02.09.2010, 19:42 


16/08/05
1152
Надо с самого начала определить любую функцию как ряд, тогда всё встанет на свои места. Производные - меняющиеся коэффициенты ряда. Только сами по себе коэффициенты - еще не функции. В этом очень тонкий момент, его можно уловить только на числовых примерах с простыми нелинейными функциями. Пример пытался привести про камень, падающий с высоты 125 метров.

(Оффтоп)

И почему нужно такую простую вещь объяснять? Ряды первичны! Поскольку нелинейные процессы мы глазами наблюдаем, а не домысливаем при помощи странной логической конструкции предела. Уберите из этой системы наблюдателя-себя - нелинейности-ряды останутся, а пределы - испарятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение02.09.2010, 22:22 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
dmd в сообщении #349186 писал(а):
И почему нужно такую простую вещь объяснять? Ряды первичны!

Ни в коем разе. Ряды -- это очень, очень, очень частный случай. По сравнению с практикой. Вот попытайтесь-ка описать рядом какую-нибудь ступеньку (которая практически абсолютно необходима). А потом поглядите, что из этого выйдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение02.09.2010, 22:45 


19/11/08
347
ewert в сообщении #349150 писал(а):
Андрей АK в сообщении #349149 писал(а):
Но ,правда, не в качестве альтернативного определения дифференциала

Вот именно. После формального введения оператора можно и коммутаторами побаловаться, а до -- как-то никак.

Но ведь хочется и с такой точки зрения посмотреть.
Определить дифференциал, как оператор ,коммутатор которого с заданной координатой равен единице.
Ведь, коммутатор этого оператора с любой функцией , заданной рядом Тейлора, даёт производную этой функции по координате, и можно это дело аксиоматизировать (принять без доказательства): "Коммутатор этого оператора с любой функцией - есть производная этой функции по координате, задающей указанный оператор".
Или даже: "Коммутатор любого оператора с некоторой функцией есть производная этой функции по направлению, которое задаётся другой функцией коммутатор с которой этого оператора равен единице".

И потом посмотреть, как с этой точки зрения будет выглядеть коммутатор ,например, ... матриц (A и B) - даст ли он нечто похожее на производную матрицы B по направлению ,заданной матрицей С, с которой у матрицы A коммутатор равен единичной матрице?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение02.09.2010, 22:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Андрей АK в сообщении #349257 писал(а):
Ведь, коммутатор этого оператора с любой функцией , заданной рядом Тейлора, даёт производную этой функции по координате, и можно это дело аксиоматизировать (принять без доказательства): "Коммутатор этого оператора с любой функцией - есть производная этой функции по координате, задающей указанный оператор".

Не знаю. Может, и выйдет -- если ограничить его область определения аналитическими функциями, да к тому же ещё и дополнительно эту область как-нибудь сузить. Беда в том, что множество аналитических функций -- шибко уж узко с точки зрения практических приложений.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 92 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group