Определение производной без использования понятия предела.

[ewert]

(Оффтоп)

Виктор Викторов в сообщении #348416 писал(а):

Может быть, поможете и в этом случае topic35991.html?

А чем тут можно помочь-то?... Вопрос -- сугубо терминологический и как таковой никакого интереса не представляет.

[Padawan]

ewert в сообщении #348328 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #347591 писал(а):

Ещё до того как мы поговорим о том, что мы будем делать с нулём, рассмотрим вопрос о том существует ли такое объединение открытых интервалов $(a, 0)\cup (0, b)$, на котором функция $y={{\frac{f(x+\Delta x)-\Delta f(x)}{\Delta x}}$ определена и непрерывна.

Тут некоторая бяда: эта непрерывность не имеет ни малейшего отношения к дифференцируемости функции $f$ конкретно в точке $x$, т.е. к непрерывности функции $y$ конкретно в точке $\Delta x=0$. Важна непрерывность только в самом нуле. А непрерывность в одной отдельно взятой точке ровно и сводится к понятию предела. И какая разница, как это понятие оформлять -- в терминах окрестностей или в терминах расстояний. Да, первый подход -- более общий, но это уже непринципиально.

Подобно тому, как непрерывность определяется сразу на всем интервале, можно и дифференцируемость определять сразу на всем интервале.
Функция $f(x)$ называется дифференцируемой на $(a,b)$, если для любого $x_0\in (a,b)$ существует функция $D_{x_0}(x)$, непрерывная на $(a,b)$ и такая, что $f(x)=f(x_0)+D_{x_0}(x)\cdot (x-x_0)$ для всех $x\in (a,b)$.
Предела не надо.

[ewert]

Padawan в сообщении #348445 писал(а):

можно и дифференцируемость определять сразу на всем интервале

Можно, но не нужно. Т.е. вредно. Практический интерес представляют как раз функции, которые определены не во всех точках интервала, и даже вовсе не во всех. Иначе с полнотой функциональных пространств с интегральной метрикой как-то так совсем никак не складывается. Что есть совершенно нехорошо.

[ewert]

Да, возвращаясь к исходному вопросу:

Виктор Викторов в сообщении #346508 писал(а):

В Петербурге живет математик Марк Иванович Башмаков. Как мне сказали, лет десять тому назад он опубликовал работу об определении производной и интеграла без использования понятия предела. Ссылочку бы получить. Помогите!

Как он определял десять лет назад -- не знаю, а вот лет сорок назад он определял интеграл школьникам действительно без пределов -- аксиоматически: как аддитивную функцию промежутка, значение которой всегда лежит между минимумом и максимумом функции, умноженными на длину. См. статью Ю.И.Ионина в Кванте:

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1972/09/integral.htm

Ионин и Башмаков активно сотрудничали, так что, скорее всего, Башмаков делал это примерно так же. Во всяком случае, насколько я (довольно смутно) помню, общая схема была именно такой.

[Андрей АK]

А что насчет определения производной через некоммутативный оператор дифференцирования:

$d\cdot x - x\cdot d = 1$

$d$ - оператор дифференцирования

Из этого соотношения выводятся все остальные производные функций.

С интегралами немного сложнее ... но тоже можно кое что вывести.

[Padawan]

ewert в сообщении #349095 писал(а):

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1972/09/integral.htm

Плохо, что там не доказано (даже не сказано!), что интеграл единственен. Может у функции может быть несколько интегралов. Не, по-моему эта статья только запутывает.

[ewert]

Андрей АK в сообщении #349133 писал(а):

А что насчет определения производной через некоммутативный оператор дифференцирования:

$d\cdot x - x\cdot d = 1$

$d$ - оператор дифференцирования

всё это замечательно, но на каких функциях этот оператор определён?... и откуда следует, что такой оператор вообще существует и единственен?

[Андрей АK]

ewert в сообщении #349137 писал(а):

Андрей АK в сообщении #349133 писал(а):

А что насчет определения производной через некоммутативный оператор дифференцирования:

$d\cdot x - x\cdot d = 1$

$d$ - оператор дифференцирования

всё это замечательно, но на каких функциях этот оператор определён?... и откуда следует, что такой оператор вообще существует и единственен?

На рядах Тейлора.
Это на первый взгляд ... но может и на чем-то большем.

PS Когда то нам это преподносили как некий прообраз из которого возникло преобразование Лапласа.
Работать с некоммутативными операторами сложно, а преобразование Лапласа при внешнем сходстве работает с коммутативными элементами.
Вот так математика пошла по пути интегральных преобразований, а некоммутативная алгебра далеко не продвинулась.

[ewert]

Padawan в сообщении #349135 писал(а):

Плохо, что там не доказано (даже не сказано!), что интеграл единственнен. Может у функции может быть несколько интегралов.

Вполне может, и об этом явно сказано (упражнение 4). Такие (в частности) функции называются неинтегрируемыми. Так что с этим всё в порядке. Это не значит, что в статье нет недостатков, их хватает. Скажем, довольно нелепо оформлено обоснование линейности. Совсем плохо то, что ничего не сказано про существование максимумов и минимумов, а из-за этого -- проблемы с доказательством интегрируемости монотонных функций (которая, кстати, и не доказывается -- возможно, именно поэтому).

Но речь-то ведь не об этом. Был задан вопрос, как вводил интеграл М.И.Башмаков. Ну так вот ровно так он его детишкам и вводил, с точностью до нюансов. Один из таких нюансов -- что проблемы с минимумами и максимумами, скорее всего, отсутствовали, поскольку понятия супремума и инфимума в его курсе всё-таки были (а в этой статье они были бы неуместны, т.е. не уместились бы).

Причина такого подхода, как мне кажется, вот в чём. Школа была физико-математической, поэтому М.И. старался вводить базовые понятия максимально строго и при этом лаконично -- так, чтобы уместиться в отведённые часы. Аккуратное изложение теории пределов, тем более такого специфического вида предала, как при определении интеграла, в эти часы категорически не умещалось. А так -- всё получилось довольно коротко и элегантно. Правда, настолько абстрактно, что действительно мало кто понимал.

-- Чт сен 02, 2010 18:33:28 --

Андрей АK в сообщении #349141 писал(а):

На рядах Тейлора.Это на первый взгляд ... но может и на чем-то большем.

Не так быстро.

Какие ещё ряды Тейлора, когда нет понятия предела?... А если он всё же есть, то -- зачем?...

[Андрей АK]

ewert в сообщении #349146 писал(а):

Андрей АK в сообщении #349141 писал(а):

На рядах Тейлора.Это на первый взгляд ... но может и на чем-то большем.

Не так быстро.

Какие ещё ряды Тейлора, когда нет понятия предела?... А если он всё же есть, то -- зачем?...

Если хотите теории , то в "группах Ли" вовсю такими операторами оперируют.
Вот там все есть - и область определения и ответ на вопрос "зачем?".

Но ,правда, не в качестве альтернативного определения дифференциала ...

[ewert]

Андрей АK в сообщении #349149 писал(а):

Но ,правда, не в качестве альтернативного определения дифференциала

Вот именно. После формального введения оператора можно и коммутаторами побаловаться, а до -- как-то никак.

[dmd]

Надо с самого начала определить любую функцию как ряд, тогда всё встанет на свои места. Производные - меняющиеся коэффициенты ряда. Только сами по себе коэффициенты - еще не функции. В этом очень тонкий момент, его можно уловить только на числовых примерах с простыми нелинейными функциями. Пример пытался привести про камень, падающий с высоты 125 метров.

(Оффтоп)

И почему нужно такую простую вещь объяснять? Ряды первичны! Поскольку нелинейные процессы мы глазами наблюдаем, а не домысливаем при помощи странной логической конструкции предела. Уберите из этой системы наблюдателя-себя - нелинейности-ряды останутся, а пределы - испарятся.

[ewert]

dmd в сообщении #349186 писал(а):

И почему нужно такую простую вещь объяснять? Ряды первичны!

Ни в коем разе. Ряды -- это очень, очень, очень частный случай. По сравнению с практикой. Вот попытайтесь-ка описать рядом какую-нибудь ступеньку (которая практически абсолютно необходима). А потом поглядите, что из этого выйдет.

[Андрей АK]

ewert в сообщении #349150 писал(а):

Андрей АK в сообщении #349149 писал(а):

Но ,правда, не в качестве альтернативного определения дифференциала

Вот именно. После формального введения оператора можно и коммутаторами побаловаться, а до -- как-то никак.

Но ведь хочется и с такой точки зрения посмотреть.
Определить дифференциал, как оператор ,коммутатор которого с заданной координатой равен единице.
Ведь, коммутатор этого оператора с любой функцией , заданной рядом Тейлора, даёт производную этой функции по координате, и можно это дело аксиоматизировать (принять без доказательства): "Коммутатор этого оператора с любой функцией - есть производная этой функции по координате, задающей указанный оператор".
Или даже: "Коммутатор любого оператора с некоторой функцией есть производная этой функции по направлению, которое задаётся другой функцией коммутатор с которой этого оператора равен единице".

И потом посмотреть, как с этой точки зрения будет выглядеть коммутатор ,например, ... матриц (A и B) - даст ли он нечто похожее на производную матрицы B по направлению ,заданной матрицей С, с которой у матрицы A коммутатор равен единичной матрице?

[ewert]

Андрей АK в сообщении #349257 писал(а):

Ведь, коммутатор этого оператора с любой функцией , заданной рядом Тейлора, даёт производную этой функции по координате, и можно это дело аксиоматизировать (принять без доказательства): "Коммутатор этого оператора с любой функцией - есть производная этой функции по координате, задающей указанный оператор".

Не знаю. Может, и выйдет -- если ограничить его область определения аналитическими функциями, да к тому же ещё и дополнительно эту область как-нибудь сузить. Беда в том, что множество аналитических функций -- шибко уж узко с точки зрения практических приложений.