На подступах к нетрадиционным нерегулярным пандиагональным квадратам 7-го порядка из простых чисел и из смитовВ статье Россера приведён классический нерегулярный пандиагональный квадрат 7-го порядка:
Код:
2 47 38 35 24 20 9
26 16 8 6 46 42 31
49 39 33 23 15 12 4
19 11 7 45 41 30 22
37 29 27 17 14 3 48
10 5 44 36 34 25 21
32 28 18 13 1 43 40
Этому квадрату соответствует такой шаблон по модулю 9:
Код:
2 2 2 8 6 2 0
8 7 8 6 1 6 4
4 3 6 5 6 3 4
1 2 7 0 5 3 4
1 2 0 8 5 3 3
1 5 8 0 7 7 3
5 1 0 4 1 7 4
Этот шаблон, как и два приведённых ниже шаблона, годится для построения нерегулярных пандиагональных квадратов из смитов.
На основе показанного квадрата Россера я построила два нетрадиционных нерегулярных пандиагональных квадрата 7-го порядка, пока из произвольных натуральных чисел.
Квадрат № 1. В этом квадрате есть одинаковые числа, но это не важно:
Код:
4 31 22 31 16 22 7
22 10 4 16 28 34 19
37 25 25 13 7 16 10
19 13 19 25 31 16 10
19 13 25 13 22 7 34
10 13 22 16 28 19 25
22 28 16 19 1 19 28
Соответствующий этому квадрату шаблон по модулю 9:
Код:
4 4 4 4 7 4 7
4 1 4 7 1 7 1
1 7 7 4 7 7 1
1 4 1 7 4 7 1
1 4 7 4 4 7 7
1 4 4 7 1 1 7
4 1 7 1 1 1 1
Этот шаблон выгодно отличается от предыдущего тем, что в нём всего три группы разных вычетов: 1, 4, 7. Для смитов эти вычеты не совсем хороши, но можно попробовать сделать другие шаблоны с наиболее частыми для смитов вычетами.
Квадрат № 2. В этом квадрате нет одинаковых чисел.
Код:
11 47 26 65 24 53 12
44 13 2 51 37 66 25
67 36 45 14 3 42 31
43 32 61 27 56 15 4
16 5 54 23 62 21 57
22 41 17 6 55 34 63
35 64 33 52 1 7 46
Соответствующий этому нерегулярному пандиагональному квадрату шаблон по модулю 9:
Код:
2 2 8 2 6 8 3
8 4 2 6 1 3 7
4 0 0 5 3 6 4
7 5 7 0 2 6 4
7 5 0 5 8 3 3
4 5 8 6 1 7 0
8 1 6 7 1 7 1
Здесь, как и в первом шаблоне, все 9 групп вычетов.
Итак, один алгоритм построения нетрадиционных нерегулярных пандиагональных квадратов 7-го порядка имеется.
Можно ли по этому алгоритму построить нерегулярный пандиагональный квадрат 7-го порядка из простых чисел или из смитов?
Надо попытаться. Для этого достаточно найти 7 арифметических прогрессий длины 7 с одинаковой разностью (любой) таких, что первые члены этих прогрессий (обозначим их:
) удовлетворяют условию:
.
Кажется, не напутала, но надо проверить. Если это правильно, то получается, что зависимы лишь первые члены четырёх прогрессий, остальные свободны.
Сейчас проверю на произвольных натуральных числах.
Ещё раз изложу идею построения пандиагонального квадрата 7-го порядка по шаблону (идея годится как для регулярных, так и для нерегулярных квадратов).
Например, строим квадрат из смитов. Если берём шаблон, содержащий все 9 групп вычетов, то весь выбранный массив смитов делим на 9 групп соответственно вычетам. В общей формуле у нас 24 свободных переменных. Можно все свободные переменные распределить по 9 группам, тогда в каждой группе будет по 2 - 3 свободных переменных. Можно выбрать другое распределение свободных переменных по группам. Но в любом случае каждую свободную переменную можно будет заставить пробегать не весь массив смитов, а только те смиты, которые имеются в группе, где эта переменная находится (причём опять же не все, а можно только часть значений, не меньше количества переменных в данной группе). Это, на мой взгляд, в разы увеличит время выполнения программы.
В самом общем виде 24 свободных переменных из 49 – это не реально выполнить вообще.
___
Гоняю программу построения примитивного квадрата 5х5 из простых чисел по шаблону. Для магической константы
1765 мне удалось получить по этой программе три квадрата из различных чисел. Четвёртый пока не хочет складываться.
Pavlovskyесли я правильно уследила за вашими сообщениями, наименьший построенный вами пандиагональный квадрат 10-го порядка из простых чисел по решётке Россера имеет магическую константу
3594.
Если бы удалось найти четвёртый квадрат 5х5 с константой 1765, то был бы квадрат 10-го порядка с магической константой
3530. Но четвёртого квадрата пока не получается
Так что: если бы да кабы...
У вас много всяких вариантов примитивных квадратов 5х5. С такой константой нет случайно? Может быть, попробуем сообща найти 4 квадрата
Попробуйте по своим программам с такой константой.
Ну так обидно! Всего одного квадрата не хватает
Если надо, я могу выложить полученные мной три квадрата 5х5.
, у меня ваш пандиагональный квадрат не превратился в примитивный. Я для квадратов 7-го порядка всегда пользуюсь этим преобразованием, у меня и матричная форма для него есть.
с индексацией в естественном порядке (индексы следуют в порядке возрастания от 1 до 7). Тогда пандиагональный квадрат, полученный из этого примитивного квадрата, будет иметь следующую матрицу:
- первый член 
- ой прогрессии:
