2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127 ... 192  След.
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение27.08.2010, 19:20 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Pavlovsky в сообщении #347695 писал(а):
Наталия такой шаблон для примитивного квдарат ведь проще. Он изоморфен приведенному вами шаблону.
Код:
1 1 1 5 5 5 5
1 1 1 5 5 5 5
1 1 1 5 5 5 5
1 1 1 5 5 5 5
1 1 1 5 5 5 5
1 1 1 5 5 5 5
1 1 1 5 5 5 5

Да я думала сначала взять такой шаблон. Но потом что-то мне вдруг захотелось взять столбцы из единиц и пятёрок вразброд, ну, вот какое-то внутреннее чутьё. Чем это лучше (а может, наоборот, хуже) и сама не могу объяснить. Дело в том, что простые числа у меня в двух группах соответственно вычетам 1 и 5, так вот, почему-то подумалось, что брать числа подряд из одной группы хуже, чем из разных групп (это когда мы формируем диагональ примитивного квадрата). Может, это ничем и не хуже, чёрт его знает :-)

Garik2
насколько мне известно, вам тоже не чуждо стремление к прекрасному :-)
Ну, вот есть, например пандиагональный квадрат 7-го порядка из огромных чисел Смита со здоровенной магической константой. Но он ведь такой некрасивый! Так хочется построить изящный квадратик из маленьких смитов и притом, что суммы чисел во всех строках, во всех столбцах, во всех диагоналях (главных и разломанных) будут одинаковые. Разве это не прекрасно? Кто-то видит в магических квадратах только цифры. Я вижу произведения математического искусства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение27.08.2010, 19:48 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/08/09

235
Эх, знать бы сначала, что такое Смиты...

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение28.08.2010, 05:15 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Так ведь в этой теме всё написано. Читать умеете? :D

Участник tolstopuz приводил небольшой массив примерно из первых 200 смитов. А maxal (он сделал самый мощный генератор чисел Смита) предлагал всем желающим очень большой массив смитов. Я попросила у него только смиты в интервале от 1 до 2 млн, он мне сразу же прислал этот массив смитов.

А на форуме Портала ЕН (он вами посещается), есть специальная тема "Числа Смита", которую я открыла очень давно, ещё в первый период моего пребывания на этом форуме.
Здесь есть ещё моя тема "Генератор чисел Смита". Есть статья о смитах и в Википедии.

Строить магические квадраты из смитов гораздо сложнее, чем из простых чисел, так как у смитов очень плохие аддитивные свойства: не складываются они в нужные суммы ну никак :P
И тем ценнее каждый новый магический квадрат из смитов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение28.08.2010, 06:59 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Pavlovsky
так вот почему я из вашего наименьшего пандиагонального квадрата 7-го порядка не смогла получить примитивный квадрат! Он нерегулярный.

Как вы строили этот нерегулярный пандиагональный квадрат? Сначала сделали шаблон из вычетов 1 и 5? Это очень интересный результат у вас.
Построение с помощью примитивного квадрата - это понятно. А у вас по какому-то другому алгоритму.
Есть ещё общая формула, но по ней вряд ли что можно построить, разве только шаблон. Да, вот шаблон, кстати, можно сделать по общей формуле. А по шаблону, наверное, и общую формулу уже проще будет применить.

У вас это единственный шаблон для нерегулярного пандиагонального квадрата 7-го порядка из простых чисел, или есть ещё?

Итак, с применением примитивного квадрата svb построил наименьший пандиагональный квадрат 7-го порядка из простых чисел с магической константой 1895. Вы построили нерегулярный пандиагональный квадрат с константой 1649. Но и это, скорее всего, не минимальная магическая константа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение28.08.2010, 08:00 
Аватара пользователя


21/02/10
1594
Екатеринбург
МК с магической суммой 1649 регулярный. вот его примитивный квадрат

Код:
11     23     41     53    107    353    443
17     29     47     59    113    359    449
137    149    167    179    233    479    569
251    263    281    293    347    593    683
31     43     61     73    127    373    463
67     79     97    109    163    409    499
181    193    211    223    277    523    613

а это распределение примитивного квадрата по остаткам от деления на 6.
Код:
5 5 5 5 5 5 5
5 5 5 5 5 5 5
5 5 5 5 5 5 5
5 5 5 5 5 5 5
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение28.08.2010, 08:43 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Тогда не поняла вас.
Я думала, что приведённый вами шаблон для нерегулярного квадрата и соответствует вашему пандиагональному квадрату с константой 1649.

Но! Значит, вы пользовались другим преобразованием Россера для превращения примитивного квадрата в пандиагональный (или наоборот). Потому что преобразованием, обратным преобразованию: A(i,j)=B(3i+2j,2i+j), у меня ваш пандиагональный квадрат не превратился в примитивный. Я для квадратов 7-го порядка всегда пользуюсь этим преобразованием, у меня и матричная форма для него есть.

Кстати, матричная форма, как мне кажется, намного удобнее преобразования, заданного приведённой формулой. Матричное преобразование и запрограммировать намного проще. Тут svb приводил программку для одного из таких преобразований. Так вот, он писал, что "танцы с бубнами" в программе из-за того, что индексы берутся по модулю 7. Об этом совсем не надо заботиться, если пользоваться матричной формой преобразования. Покажу эту форму.
Пусть исходный примитивный квадрат 7-го порядка имеет матрицу A(i,j) с индексацией в естественном порядке (индексы следуют в порядке возрастания от 1 до 7). Тогда пандиагональный квадрат, полученный из этого примитивного квадрата, будет иметь следующую матрицу:

Код:
a16 a33 a57 a74 a21 a45 a62
a71 a25 a42 a66 a13 a37 a54
a63 a17 a34 a51 a75 a22 a46
a55 a72 a26 a43 a67 a14 a31
a47 a64 a11 a35 a52 a76 a23
a32 a56 a73 a27 a44 a61 a15
a24 a41 a65 a12 a36 a53 a77

Понятно, что матричное преобразование равносильно преобразованию, заданному формулой.

Вы, наверное, пользовались преобразованием, заданным другой формулой.

А я уж подумала, что вы построили нерегулярный квадрат из простых чисел.

Да, а шаблон-то для нерегулярного квадрата как составили? А по этому шаблону не пробовали построить нерегулярный квадрат?

-- Сб авг 28, 2010 10:02:08 --

Сейчас применила к приведённому вами примитивному квадрату то преобразование Россера, которым пользуюсь (показано выше), получила такой пандиагональный квадрат:

Код:
353 167 463 223 17 347 79
181 113 263 409 41 569 73
97 443 179 31 277 29 593
127 193 359 281 499 53 137
683 109 11 233 43 523 47
149 373 211 449 293 67 107
59 251 163 23 479 61 613

Этот квадрат не эквивалентен вашему квадрату. Значит, вы пользовались другим преобразованием.

Да, а шаблон вашего примитивного квадрата изоморфен тому шаблону, который привела я (программирую этот шаблон сейчас). Так что, по моей программе ваш пандиагональный квадрат должен получиться. Годится для тестирования программы!

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение28.08.2010, 09:57 
Аватара пользователя


21/02/10
1594
Екатеринбург
Согласен матричное преобразование удобнее. Особенно если есть необходимость сделать обратное преобразование пандиагональный квадрат -> примитивный квадрат.
Когда писал преобразование хотел запраграммировать формулу: A(i,j)=B(3i+2j,2i+j), но где то допустил ошибку (преобразование получилось повернутым на 90 градусов). Но преобразование работает и поэтому ошибку не искал.

-- Сб авг 28, 2010 12:00:43 --

Шаблон остатков регулярного панидагонального МК 7х7 с магической суммой 1649, я привел для того, что ведь и нерегулярные квадраты можно строить по шаблонам остатков. Хотя конечно можно и поискать и другие шаблоны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение28.08.2010, 13:04 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Да, в шаблон нерегулярного квадрата можно, наверное, и число 3 вставить. Вдруг самый минимальный квадрат содержит простое число 3.

В общем, тут можно много экспериментировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение29.08.2010, 12:01 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
На подступах к нетрадиционным нерегулярным пандиагональным квадратам 7-го порядка из простых чисел и из смитов

В статье Россера приведён классический нерегулярный пандиагональный квадрат 7-го порядка:

Код:
2 47 38 35 24 20 9
26 16 8 6 46 42 31
49 39 33 23 15 12 4
19 11 7 45 41 30 22
37 29 27 17 14 3 48
10 5 44 36 34 25 21
32 28 18 13 1 43 40

Этому квадрату соответствует такой шаблон по модулю 9:

Код:
2 2 2 8 6 2 0
8 7 8 6 1 6 4
4 3 6 5 6 3 4
1 2 7 0 5 3 4
1 2 0 8 5 3 3
1 5 8 0 7 7 3
5 1 0 4 1 7 4

Этот шаблон, как и два приведённых ниже шаблона, годится для построения нерегулярных пандиагональных квадратов из смитов.

На основе показанного квадрата Россера я построила два нетрадиционных нерегулярных пандиагональных квадрата 7-го порядка, пока из произвольных натуральных чисел.

Квадрат № 1. В этом квадрате есть одинаковые числа, но это не важно:

Код:
4 31 22 31 16 22 7
22 10 4 16 28 34 19
37 25 25 13 7 16 10
19 13 19 25 31 16 10
19 13 25 13 22 7 34
10 13 22 16 28 19 25
22 28 16 19 1 19 28

Соответствующий этому квадрату шаблон по модулю 9:

Код:
4 4 4 4 7 4 7
4 1 4 7 1 7 1
1 7 7 4 7 7 1
1 4 1 7 4 7 1
1 4 7 4 4 7 7
1 4 4 7 1 1 7
4 1 7 1 1 1 1

Этот шаблон выгодно отличается от предыдущего тем, что в нём всего три группы разных вычетов: 1, 4, 7. Для смитов эти вычеты не совсем хороши, но можно попробовать сделать другие шаблоны с наиболее частыми для смитов вычетами.

Квадрат № 2. В этом квадрате нет одинаковых чисел.

Код:
11 47 26 65 24 53 12
44 13 2 51 37 66 25
67 36 45 14 3 42 31
43 32 61 27 56 15 4
16 5 54 23 62 21 57
22 41 17 6 55 34 63
35 64 33 52 1 7 46

Соответствующий этому нерегулярному пандиагональному квадрату шаблон по модулю 9:

Код:
2 2 8 2 6 8 3
8 4 2 6 1 3 7
4 0 0 5 3 6 4
7 5 7 0 2 6 4
7 5 0 5 8 3 3
4 5 8 6 1 7 0
8 1 6 7 1 7 1

Здесь, как и в первом шаблоне, все 9 групп вычетов.

Итак, один алгоритм построения нетрадиционных нерегулярных пандиагональных квадратов 7-го порядка имеется.

Можно ли по этому алгоритму построить нерегулярный пандиагональный квадрат 7-го порядка из простых чисел или из смитов?
Надо попытаться. Для этого достаточно найти 7 арифметических прогрессий длины 7 с одинаковой разностью (любой) таких, что первые члены этих прогрессий (обозначим их: a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7) удовлетворяют условию: a_3 + a_6 = a_4 + a_5.
Кажется, не напутала, но надо проверить. Если это правильно, то получается, что зависимы лишь первые члены четырёх прогрессий, остальные свободны.
Сейчас проверю на произвольных натуральных числах.

Ещё раз изложу идею построения пандиагонального квадрата 7-го порядка по шаблону (идея годится как для регулярных, так и для нерегулярных квадратов).
Например, строим квадрат из смитов. Если берём шаблон, содержащий все 9 групп вычетов, то весь выбранный массив смитов делим на 9 групп соответственно вычетам. В общей формуле у нас 24 свободных переменных. Можно все свободные переменные распределить по 9 группам, тогда в каждой группе будет по 2 - 3 свободных переменных. Можно выбрать другое распределение свободных переменных по группам. Но в любом случае каждую свободную переменную можно будет заставить пробегать не весь массив смитов, а только те смиты, которые имеются в группе, где эта переменная находится (причём опять же не все, а можно только часть значений, не меньше количества переменных в данной группе). Это, на мой взгляд, в разы увеличит время выполнения программы.
В самом общем виде 24 свободных переменных из 49 – это не реально выполнить вообще.
___
Гоняю программу построения примитивного квадрата 5х5 из простых чисел по шаблону. Для магической константы 1765 мне удалось получить по этой программе три квадрата из различных чисел. Четвёртый пока не хочет складываться.

Pavlovsky
если я правильно уследила за вашими сообщениями, наименьший построенный вами пандиагональный квадрат 10-го порядка из простых чисел по решётке Россера имеет магическую константу 3594.
Если бы удалось найти четвёртый квадрат 5х5 с константой 1765, то был бы квадрат 10-го порядка с магической константой 3530. Но четвёртого квадрата пока не получается :-( Так что: если бы да кабы...

У вас много всяких вариантов примитивных квадратов 5х5. С такой константой нет случайно? Может быть, попробуем сообща найти 4 квадрата :?
Попробуйте по своим программам с такой константой.
Ну так обидно! Всего одного квадрата не хватает :-(
Если надо, я могу выложить полученные мной три квадрата 5х5.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение29.08.2010, 14:03 
Аватара пользователя


21/02/10
1594
Екатеринбург
Увы МК 5х5 с магической суммой 1765 у меня нет.
МК 5х5 я искал исключительно с магической суммой вида 6k+3. Почему? Я описал, ранее. Именно суммы вида 6k+3 позволяют построить 4 МК с равномерным использованием чиесл 1mod6 и 5mod6. Для остальных магических сумм получается перекос, простых чисел одного из видов требуется гораздо больше чем других. Что делает маловероятным построение 4-х МК 5х5 с маленькой магической суммой.
Три разных МК у меня есть для многих магических сумм, например для магической константы 1599.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение29.08.2010, 14:09 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Да, с нерегуляным пандиагональным квадратом всё правильно.
Вот такие взяла 7 арифметических прогрессий (указываю только первые члены прогрессий, a_i - первый член $i$ - ой прогрессии:

a_1 = 2, a_2 = 5, a_3 = 7, a_4 = 10, a_5 = 11, a_6 = 14, a_7 = 18
Разность прогрессий равна 10. Очевидно, что для этих прогрессий выполняется указанное выше условие:
a_3 + a_6 = a_4 + a_5
Нерегулярный пандиагональный квадрат из этих прогрессий получился такой:

Код:
12 58 34 71 30 57 15
50 17 5 52 48 74 31
78 44 51 20 7 45 32
47 35 62 38 64 21 10
24 11 60 27 65 22 68
25 42 28 14 61 40 67
41 70 37 55 2 18 54

Есть у меня несколько арифметических прогрессий длины 7 с разностью 210. Часть из них найдена maxal'ем, и я ещё несколько нашла. Сейчас посмотрю, нет ли среди них таких, которые удовлетворяют указанному условию.

Понятно, что по этому алгоритму не удастся построить наименьшие квадраты ни из простых чисел, ни из смитов. Однако примеры нерегулярных квадратов получить, наверное, можно.
Хотя если из каждого полученного экземпляра нерегулярного пандиагонального квадрата получать шаблон и потом строить нерегулярные квадраты по шаблонам, может быть, и наименьшие удастся получить.

-- Вс авг 29, 2010 15:13:43 --

Pavlovsky в сообщении #348116 писал(а):
Три разных МК у меня есть для многих магических сумм, например для магической константы 1599.

Вот это уже интересно! Тогда давайте ваши три квадрата 5х5 с константой 1599, я попробую получить по своей программе четвёртый. А может, с ещё меньшей константой есть три квадрата?
У меня ведь две программы построения примтивных квадратов 5х5, первая (ещё давно написана) в общем виде прямо в лоб по алгоритму Россера, а вторая недавно сделана - построение по шаблону. Так вот я их вместе кручу, сначала пару квадратов по одной программе получу, потом вторую подключаю.
Жду ваши квадраты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение29.08.2010, 14:29 
Аватара пользователя


21/02/10
1594
Екатеринбург
Код:
  29     47    179    257    389
  41     59    191    269    401
131    149    281    359    491
293    311    443    521    653
349    367    499    577    709


Код:
   7     13     19    157    967
  31     37     43    181    991
  61     67     73    211   1021
271    277    283    421   1231
101    107    113    251   1061


Код:
  79     97    163    199    379
109    127    193    229    409
313    331    397    433    613
523    541    607    643    823
  53     71    137    173    353

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение29.08.2010, 15:40 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Спасибо! Сейчас поколдую с ними, может, что получится :-)

А вы не хотите с моими поколдовать (с магической константой 1765)?

-- Вс авг 29, 2010 16:45:52 --

svb
я надеюсь, вы благополучно родились :P
Тогда принимайтесь за работу!
Помогите нам с Павловским построить наименьший пандиагональный квадрат 10-го порядка. Вы ведь ас в построении примитивных квадратов из простых чисел. Правда, вы строили 7-го порядка, но а 5-го порядка-то ещё проще :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение29.08.2010, 15:56 
Аватара пользователя


21/02/10
1594
Екатеринбург
Nataly-Mak в сообщении #348139 писал(а):
А вы не хотите с моими поколдовать (с магической константой 1765)?


Давайте, поколдую. Хотя в данный момент пишу универсальный алгоритм поиска пандиагональных МК (нерегулярных). А то у всех такой алгоритм есть, а у меня нет.

Сейчас прога ищет МК 6х6 из Смитов с магической константой 2940.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение29.08.2010, 16:14 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Код:
5 521 701 89 449
617 59 431 347 311
773 137 227 587 41
197 569 383 563 53
173 479 23 179 911

71 631 659 211 193
619 163 113 601 269
643 239 229 571 83
181 491 613 281 199
251 241 151 101 1021

11 307 1097 37 313
487 13 317 271 677
577 641 67 463 17
43 467 277 947 31
647 337 7 47 727

Я дала уже пандиагональные квадраты. Вроде не ошиблась, но проверьте на всякий случай на одинаковые числа. Я ведь (вы уже знаете) построю один квадрат, потом "ручками" выбрасываю из массива числа, из которых этот квадрат состоит, и строю второй квадрат. Так что вполне могла ошибиться.

Вообще уже перегрелась, ещё раздосадована крайне, целый день гоняю программу (две программы на одну и ту же тему!) и ни черта не находится :-(

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2870 ]  На страницу Пред.  1 ... 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127 ... 192  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group