Ну то есть, грубо говоря, Вы просто заменили выражение "
" на его определение через понятие "непрерывность": "при доопределении
" функция
становится непрерывной в
".
А производные тут ни при чем, они --- лишь примеры применения такой замены.
Похоже?
Конечно, похоже. Но учитывая, что функция называется непрерывной, если полный прообраз каждого открытого множества открыт, можно вообще не знать, что такое предел (только не надо путать при этом "можно" с "целесообразно").
Уважаемый
AD!
В связи с Вашим комментарием мне бы хотелось кое-что добавить и кое-что изменить в своем комментарии Вашего комментария. С «Конечно, похоже» давайте переедем в «Конечно, нет». Но прежде всего я хочу сказать, что можно рассматривать пределы отдельно, а непрерывность отдельно и уже имея два понятия говорить о связях между ними.
В определении непрерывности функции через открытые множества участвуют функция, её область определения, область прибытия функции и по топологии на каждом из множеств. Причем, и область определения и область прибытия функции – множества вещественных чисел со стандартной топологией. Никаких пределов здесь нет как скрытно, так и открыто.
Следующий этап. Для функции
строится другая функция
. Эта вторая функция – функция двух переменных
и
. Теперь рассмотрим третью функцию двух переменных
. Фиксируем
и получаем функцию одной переменной
. Эта третья функция не определена в нуле. Ещё до того как мы поговорим о том, что мы будем делать с нулём, рассмотрим вопрос о том существует ли такое объединение открытых интервалов
, на котором функция
определена и непрерывна. Как видите пока -- никаких пределов. Если такое объединение открытых интервалов отсутствует, то функция
не имеет производной в точке
. Если же такое объединение открытых интервалов существует идем дальше. Теперь мы рассматриваем точку нуль. Можно ли доопределить функцию
в точке ноль, так чтобы это доопределение дало нам непрерывную функцию на открытом интервале
. Да или нет.
Разрешая этот вопрос, мы не прибегаем к пределам. Всё, что мы делаем это рассматриваем существование точки в области прибытия, такой, что, если её объявить значением нашей «доопределённой» функции в нуле, то эта «доопределённая» функция непрерывна на
. Если такая точка (число) в области прибытия существует, то это число и объявляется значением производной функции
в точке
. Если такой точки нет, то функция
не имеет производной в точке
. Где во всём этом рассуждении Вы усматриваете предел?