Определение производной без использования понятия предела.

[alex1910]

Виктор Викторов в сообщении #347277 писал(а):

alex1910 в сообщении #347269 писал(а):

Garik2 в сообщении #346615 писал(а):

Башмаков, Камынин! Какие имена!
Не то что какие-то Эйлер и Гаусс.

Камынин упоминался в контексте "редкий ммм... чудак".

Эйлер с Гауссом под эту категорию никак не подходят.

Да и Башмаков не подходит.

Да, Башмаков не Эйлер.

[Виктор Викторов]

(Оффтоп)

Уточнение. Открый интервал в более общих пространствах превращается в открытую окрестность. При этом я пользуюсь именно термином "открытая окрестность" так как после открытия фильтров, Бурбаки, Келли и ряд других математиков определили окрестность точки как множество, содержащее открытое множество, содержащее эту точку. После этого совокупность всех окрестностей точки стала фильтром. А совокупность всех открытых окрестностей точки стала базисом этого фильтра.

[hurtsy]

Виктор Викторов За ведение темы "респект и уважуха". А вот как дифференцировать неявные функции, например $|x+y|+|x-y|=2$ в точке $x=1$? С уважением,

[Виктор Викторов]

hurtsy в сообщении #347410 писал(а):

А вот как дифференцировать неявные функции, например $|x+y|+|x-y|=2$ в точке $x=1$?

Это не неявная функция. При $x=1$ для $y$ получаем два значения $-1$ и $1$. Поэтому мы не можем и говорить о дифференцировании в этом случае.

[hurtsy]

Виктор Викторов в сообщении #347418 писал(а):

Это не неявная функция. При $x=1$ для $y$ получаем два значения $-1$ и $1$.

А почему Вы забраковали $y\in(-1,1)$ - это ведь открытое множество. График этой функции квадрат, длина стороны 2, стороны паралельны осям координат, центр в начале координат. Да Вы ведь знаете. С уважением,

[CowboyHugges]

hurtsy, это не функция, функция в анализе - однозначное отображение, у Вас многозначное отображение, никакой удобоваримой теории дифференцирования таких отображений, насколько я знаю, нет.

[Виктор Викторов]

hurtsy в сообщении #347410 писал(а):

А вот как дифференцировать неявные функции, например $|x+y|+|x-y|=2$ в точке $x=1$?

hurtsy в сообщении #347454 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #347418 писал(а):

Это не неявная функция. При $x=1$ для $y$ получаем два значения $-1$ и $1$.

А почему Вы забраковали $y\in(-1,1)$ - это ведь открытое множество. График этой функции квадрат, длина стороны 2, стороны паралельны осям координат, центр в начале координат.

$|x+y|+|x-y|=2$ не является функцией. Элементу области определения функции нельзя сопоставлять два различных элемента. А в выражении $|x+y|+|x-y|=2$ при $x=1$ $y=1$ и $y=-1$.

[hurtsy]

CowboyHugges в сообщении #347457 писал(а):

hurtsy, это не функция, функция в анализе - однозначное отображение, у Вас многозначное отображение, никакой удобоваримой теории дифференцирования таких отображений, насколько я знаю, нет.

В дифгеометрии вводят параметризацию и дифференцируют.
Я просто для поддержки "темпа разговора". Топик стартер показал, что у него "спрятано в рукаве", и даже получил пригодившиеся ему ссылки. Все хорошо. С уважением,

[CowboyHugges]

hurtsy в сообщении #347467 писал(а):

В дифгеометрии вводят параметризацию и дифференцируют.

В дифференциальной геометрии все отображения вполне себе однозначны, по крайне мере локально, на этом собственно говоря определение многообразия и строится. Вы тоже можете задать на своем квадрате атлас и дифференцировать сколько угодно. Но в том виде, в котором Вы задачу поставили, она не корректна.

[hurtsy]

CowboyHugges в сообщении #347477 писал(а):

Но в том виде, в котором Вы задачу поставили, она не корректна.

Во первых, я задачу не ставил. Насколько я понял и у топик - стартера не было цели, что то определенное ставить и решать.

(Оффтоп)

А вот к Вам у меня просьба(это типа помогите разобраться), ответить на вопрос про супремум в топике где мы беседовали.

С уважением,

[Виктор Викторов]

AD в сообщении #346512 писал(а):

Ну то есть, грубо говоря, Вы просто заменили выражение "$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=y_0$" на его определение через понятие "непрерывность": "при доопределении $f(x_0)=y_0$" функция $f$ становится непрерывной в $x_0$".

А производные тут ни при чем, они --- лишь примеры применения такой замены.

Похоже?

Виктор Викторов в сообщении #346514 писал(а):

Конечно, похоже. Но учитывая, что функция называется непрерывной, если полный прообраз каждого открытого множества открыт, можно вообще не знать, что такое предел (только не надо путать при этом "можно" с "целесообразно").

Уважаемый AD!

В связи с Вашим комментарием мне бы хотелось кое-что добавить и кое-что изменить в своем комментарии Вашего комментария. С «Конечно, похоже» давайте переедем в «Конечно, нет». Но прежде всего я хочу сказать, что можно рассматривать пределы отдельно, а непрерывность отдельно и уже имея два понятия говорить о связях между ними.

В определении непрерывности функции через открытые множества участвуют функция, её область определения, область прибытия функции и по топологии на каждом из множеств. Причем, и область определения и область прибытия функции – множества вещественных чисел со стандартной топологией. Никаких пределов здесь нет как скрытно, так и открыто.
Следующий этап. Для функции $y=f(x)$ строится другая функция $\Delta y={{\frac{f(x+\Delta x)-\Delta f(x)}{\Delta x}}{\Delta x}$. Эта вторая функция – функция двух переменных $x$ и ${\Delta x}$. Теперь рассмотрим третью функцию двух переменных $y={{\frac{f(x+\Delta x)-\Delta f(x)}{\Delta x}}$. Фиксируем $x$ и получаем функцию одной переменной ${\Delta x}$. Эта третья функция не определена в нуле. Ещё до того как мы поговорим о том, что мы будем делать с нулём, рассмотрим вопрос о том существует ли такое объединение открытых интервалов $(a, 0)\cup (0, b)$, на котором функция $y={{\frac{f(x+\Delta x)-\Delta f(x)}{\Delta x}}$ определена и непрерывна. Как видите пока -- никаких пределов. Если такое объединение открытых интервалов отсутствует, то функция $y=f(x)$ не имеет производной в точке $x$. Если же такое объединение открытых интервалов существует идем дальше. Теперь мы рассматриваем точку нуль. Можно ли доопределить функцию $y={{\frac{f(x+\Delta x)-\Delta f(x)}{\Delta x}}$ в точке ноль, так чтобы это доопределение дало нам непрерывную функцию на открытом интервале $(a, b)$. Да или нет.
Разрешая этот вопрос, мы не прибегаем к пределам. Всё, что мы делаем это рассматриваем существование точки в области прибытия, такой, что, если её объявить значением нашей «доопределённой» функции в нуле, то эта «доопределённая» функция непрерывна на $(a, b)$. Если такая точка (число) в области прибытия существует, то это число и объявляется значением производной функции $y=f(x)$ в точке $x$. Если такой точки нет, то функция $y=f(x)$ не имеет производной в точке $x$. Где во всём этом рассуждении Вы усматриваете предел?

[Виктор Викторов]

paha в сообщении #347209 писал(а):

Я к тому, что для классического определения предела нужна только линейка (расстояние), а для приведенного Вами нужно определять открытые множества на прямой (с помощью той же линейки)

Я думаю, что открытое множество более фундаментальное понятие чем расстояние. И в определении предела расстояние «маскирует» свойства открытых множеств. Дело в том, что открытые множества определяются без линейки. Непустое множество открыто тогда и только тогда, когда оно состоит только из внутренних точек.

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #347591 писал(а):

Ещё до того как мы поговорим о том, что мы будем делать с нулём, рассмотрим вопрос о том существует ли такое объединение открытых интервалов $(a, 0)\cup (0, b)$, на котором функция $y={{\frac{f(x+\Delta x)-\Delta f(x)}{\Delta x}}$ определена и непрерывна.

Тут некоторая бяда: эта непрерывность не имеет ни малейшего отношения к дифференцируемости функции $f$ конкретно в точке $x$, т.е. к непрерывности функции $y$ конкретно в точке $\Delta x=0$. Важна непрерывность только в самом нуле. А непрерывность в одной отдельно взятой точке ровно и сводится к понятию предела. И какая разница, как это понятие оформлять -- в терминах окрестностей или в терминах расстояний. Да, первый подход -- более общий, но это уже непринципиально.

[AD]

Да, как-то так. Если функцию Дирихле умножить на $x^2$, то получится нечто дифференцируемое в нуле.

-- Пн авг 30, 2010 14:47:35 --

P.S. Давайте тогда уж вспомним про дифференциальное исчисление в векторных решетках и т.п.

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #346508 писал(а):

$y=f(x)$. Приращение функции $\Delta y={{\frac{f(x+\Delta x)-\Delta f(x)}{\Delta x}}{\Delta x}$. Фиксируем $x$. Если функцию $y={{\frac{f(x+\Delta x)-\Delta f(x)}{\Delta x}}$ можно доопределить при ${\Delta x}=0$ так, что эта доопределенная функция непрерывна в некотором открытом интервале, содержащем ноль, то значение этой доопределенной функции при ${\Delta x}=0$ и будет производной функции $y=f(x)$ в точке $x$.

Виктор Викторов в сообщении #347591 писал(а):

Ещё до того как мы поговорим о том, что мы будем делать с нулём, рассмотрим вопрос о том существует ли такое объединение открытых интервалов $(a, 0)\cup (0, b)$, на котором функция $y={{\frac{f(x+\Delta x)-\Delta f(x)}{\Delta x}}$ определена и непрерывна. ... Если такое объединение открытых интервалов отсутствует, то функция $y=f(x)$ не имеет производной в точке $x$.

ewert в сообщении #348328 писал(а):

Тут некоторая бяда: эта непрерывность не имеет ни малейшего отношения к дифференцируемости функции $f$ конкретно в точке $x$, т.е. к непрерывности функции $y$ конкретно в точке $\Delta x=0$. Важна непрерывность только в самом нуле.

AD в сообщении #348375 писал(а):

Если функцию Дирихле умножить на $x^2$, то получится нечто дифференцируемое в нуле.

Да. Действительно, ошибка. Поэтому первоначальный комментарий надо изменить так:
$y=f(x)$. Приращение функции $\Delta y={{\frac{f(x+\Delta x)-\Delta f(x)}{\Delta x}}{\Delta x}$. Фиксируем $x$. Если функцию $y={{\frac{f(x+\Delta x)-\Delta f(x)}{\Delta x}}$ можно доопределить при ${\Delta x}=0$ так, что эта доопределенная функция непрерывна в нуле, то значение этой доопределенной функции при ${\Delta x}=0$ и будет производной функции $y=f(x)$ в точке $x$.

ewert в сообщении #348328 писал(а):

... непрерывность в одной отдельно взятой точке ровно и сводится к понятию предела. И какая разница, как это понятие оформлять -- в терминах окрестностей или в терминах расстояний. Да, первый подход -- более общий, но это уже непринципиально.

А в этом вопросе не могу с Вами согласиться. Функция непрерывна в точке $x$, если полный прообраз каждой открытой окрестности $f(x)$ открытая окрестность $x$. Конечно, это утверждение полностью эквивалентно определению непрерывности в точке с помощью определения предела на языке «эпсилон-дельта», но не «сводится к понятию предела».

AD и evert! Спасибо за помощь.

(Оффтоп)

Может быть, поможете и в этом случае topic35991.html?