2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение25.08.2010, 23:22 


21/07/10
555
Виктор Викторов в сообщении #347277 писал(а):
alex1910 в сообщении #347269 писал(а):
Garik2 в сообщении #346615 писал(а):
Башмаков, Камынин! Какие имена!
Не то что какие-то Эйлер и Гаусс.


Камынин упоминался в контексте "редкий ммм... чудак".

Эйлер с Гауссом под эту категорию никак не подходят.

Да и Башмаков не подходит.


Да, Башмаков не Эйлер.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение25.08.2010, 23:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351

(Оффтоп)

Уточнение. Открый интервал в более общих пространствах превращается в открытую окрестность. При этом я пользуюсь именно термином "открытая окрестность" так как после открытия фильтров, Бурбаки, Келли и ряд других математиков определили окрестность точки как множество, содержащее открытое множество, содержащее эту точку. После этого совокупность всех окрестностей точки стала фильтром. А совокупность всех открытых окрестностей точки стала базисом этого фильтра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение26.08.2010, 14:31 


01/07/08
836
Киев
Виктор Викторов За ведение темы "респект и уважуха". А вот как дифференцировать неявные функции, например $|x+y|+|x-y|=2$ в точке $x=1$? С уважением,

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение26.08.2010, 15:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
hurtsy в сообщении #347410 писал(а):
А вот как дифференцировать неявные функции, например $|x+y|+|x-y|=2$ в точке $x=1$?

Это не неявная функция. При $x=1$ для $y$ получаем два значения $-1$ и $1$. Поэтому мы не можем и говорить о дифференцировании в этом случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение26.08.2010, 16:26 


01/07/08
836
Киев
Виктор Викторов в сообщении #347418 писал(а):
Это не неявная функция. При $x=1$ для $y$ получаем два значения $-1$ и $1$.

А почему Вы забраковали $y\in(-1,1)$ - это ведь открытое множество. График этой функции квадрат, длина стороны 2, стороны паралельны осям координат, центр в начале координат. Да Вы ведь знаете. С уважением,

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение26.08.2010, 16:58 


23/05/09
192
hurtsy, это не функция, функция в анализе - однозначное отображение, у Вас многозначное отображение, никакой удобоваримой теории дифференцирования таких отображений, насколько я знаю, нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение26.08.2010, 17:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
hurtsy в сообщении #347410 писал(а):
А вот как дифференцировать неявные функции, например $|x+y|+|x-y|=2$ в точке $x=1$?

hurtsy в сообщении #347454 писал(а):
Виктор Викторов в сообщении #347418 писал(а):
Это не неявная функция. При $x=1$ для $y$ получаем два значения $-1$ и $1$.

А почему Вы забраковали $y\in(-1,1)$ - это ведь открытое множество. График этой функции квадрат, длина стороны 2, стороны паралельны осям координат, центр в начале координат.

$|x+y|+|x-y|=2$ не является функцией. Элементу области определения функции нельзя сопоставлять два различных элемента. А в выражении $|x+y|+|x-y|=2$ при $x=1$ $y=1$ и $y=-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение26.08.2010, 17:32 


01/07/08
836
Киев
CowboyHugges в сообщении #347457 писал(а):
hurtsy, это не функция, функция в анализе - однозначное отображение, у Вас многозначное отображение, никакой удобоваримой теории дифференцирования таких отображений, насколько я знаю, нет.

В дифгеометрии вводят параметризацию и дифференцируют.
Я просто для поддержки "темпа разговора". Топик стартер показал, что у него "спрятано в рукаве", и даже получил пригодившиеся ему ссылки. Все хорошо. С уважением,

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение26.08.2010, 17:55 


23/05/09
192
hurtsy в сообщении #347467 писал(а):
В дифгеометрии вводят параметризацию и дифференцируют.

В дифференциальной геометрии все отображения вполне себе однозначны, по крайне мере локально, на этом собственно говоря определение многообразия и строится. Вы тоже можете задать на своем квадрате атлас и дифференцировать сколько угодно. Но в том виде, в котором Вы задачу поставили, она не корректна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение26.08.2010, 18:41 


01/07/08
836
Киев
CowboyHugges в сообщении #347477 писал(а):
Но в том виде, в котором Вы задачу поставили, она не корректна.

Во первых, я задачу не ставил. Насколько я понял и у топик - стартера не было цели, что то определенное ставить и решать.

(Оффтоп)

А вот к Вам у меня просьба(это типа помогите разобраться), ответить на вопрос про супремум в топике где мы беседовали.
С уважением,

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение27.08.2010, 05:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
AD в сообщении #346512 писал(а):
Ну то есть, грубо говоря, Вы просто заменили выражение "$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=y_0$" на его определение через понятие "непрерывность": "при доопределении $f(x_0)=y_0$" функция $f$ становится непрерывной в $x_0$".

А производные тут ни при чем, они --- лишь примеры применения такой замены.

Похоже?

Виктор Викторов в сообщении #346514 писал(а):
Конечно, похоже. Но учитывая, что функция называется непрерывной, если полный прообраз каждого открытого множества открыт, можно вообще не знать, что такое предел (только не надо путать при этом "можно" с "целесообразно").


Уважаемый AD!

В связи с Вашим комментарием мне бы хотелось кое-что добавить и кое-что изменить в своем комментарии Вашего комментария. С «Конечно, похоже» давайте переедем в «Конечно, нет». Но прежде всего я хочу сказать, что можно рассматривать пределы отдельно, а непрерывность отдельно и уже имея два понятия говорить о связях между ними.

В определении непрерывности функции через открытые множества участвуют функция, её область определения, область прибытия функции и по топологии на каждом из множеств. Причем, и область определения и область прибытия функции – множества вещественных чисел со стандартной топологией. Никаких пределов здесь нет как скрытно, так и открыто.
Следующий этап. Для функции $y=f(x)$ строится другая функция $\Delta y={{\frac{f(x+\Delta x)-\Delta f(x)}{\Delta x}}{\Delta x}$. Эта вторая функция – функция двух переменных $x$ и ${\Delta x}$. Теперь рассмотрим третью функцию двух переменных $y={{\frac{f(x+\Delta x)-\Delta f(x)}{\Delta x}}$. Фиксируем $x$ и получаем функцию одной переменной ${\Delta x}$. Эта третья функция не определена в нуле. Ещё до того как мы поговорим о том, что мы будем делать с нулём, рассмотрим вопрос о том существует ли такое объединение открытых интервалов $(a, 0)\cup (0, b)$, на котором функция $y={{\frac{f(x+\Delta x)-\Delta f(x)}{\Delta x}}$ определена и непрерывна. Как видите пока -- никаких пределов. Если такое объединение открытых интервалов отсутствует, то функция $y=f(x)$ не имеет производной в точке $x$. Если же такое объединение открытых интервалов существует идем дальше. Теперь мы рассматриваем точку нуль. Можно ли доопределить функцию $y={{\frac{f(x+\Delta x)-\Delta f(x)}{\Delta x}}$ в точке ноль, так чтобы это доопределение дало нам непрерывную функцию на открытом интервале $(a, b)$. Да или нет.
Разрешая этот вопрос, мы не прибегаем к пределам. Всё, что мы делаем это рассматриваем существование точки в области прибытия, такой, что, если её объявить значением нашей «доопределённой» функции в нуле, то эта «доопределённая» функция непрерывна на $(a, b)$. Если такая точка (число) в области прибытия существует, то это число и объявляется значением производной функции $y=f(x)$ в точке $x$. Если такой точки нет, то функция $y=f(x)$ не имеет производной в точке $x$. Где во всём этом рассуждении Вы усматриваете предел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение29.08.2010, 15:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
paha в сообщении #347209 писал(а):
Я к тому, что для классического определения предела нужна только линейка (расстояние), а для приведенного Вами нужно определять открытые множества на прямой (с помощью той же линейки)

Я думаю, что открытое множество более фундаментальное понятие чем расстояние. И в определении предела расстояние «маскирует» свойства открытых множеств. Дело в том, что открытые множества определяются без линейки. Непустое множество открыто тогда и только тогда, когда оно состоит только из внутренних точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение30.08.2010, 10:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Виктор Викторов в сообщении #347591 писал(а):
Ещё до того как мы поговорим о том, что мы будем делать с нулём, рассмотрим вопрос о том существует ли такое объединение открытых интервалов $(a, 0)\cup (0, b)$, на котором функция $y={{\frac{f(x+\Delta x)-\Delta f(x)}{\Delta x}}$ определена и непрерывна.

Тут некоторая бяда: эта непрерывность не имеет ни малейшего отношения к дифференцируемости функции $f$ конкретно в точке $x$, т.е. к непрерывности функции $y$ конкретно в точке $\Delta x=0$. Важна непрерывность только в самом нуле. А непрерывность в одной отдельно взятой точке ровно и сводится к понятию предела. И какая разница, как это понятие оформлять -- в терминах окрестностей или в терминах расстояний. Да, первый подход -- более общий, но это уже непринципиально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение30.08.2010, 13:46 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Да, как-то так. Если функцию Дирихле умножить на $x^2$, то получится нечто дифференцируемое в нуле.

-- Пн авг 30, 2010 14:47:35 --

P.S. Давайте тогда уж вспомним про дифференциальное исчисление в векторных решетках и т.п.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение производной без использования понятия предела.
Сообщение30.08.2010, 15:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Виктор Викторов в сообщении #346508 писал(а):
$y=f(x)$. Приращение функции $\Delta y={{\frac{f(x+\Delta x)-\Delta f(x)}{\Delta x}}{\Delta x}$. Фиксируем $x$. Если функцию $y={{\frac{f(x+\Delta x)-\Delta f(x)}{\Delta x}}$ можно доопределить при ${\Delta x}=0$ так, что эта доопределенная функция непрерывна в некотором открытом интервале, содержащем ноль, то значение этой доопределенной функции при ${\Delta x}=0$ и будет производной функции $y=f(x)$ в точке $x$.

Виктор Викторов в сообщении #347591 писал(а):
Ещё до того как мы поговорим о том, что мы будем делать с нулём, рассмотрим вопрос о том существует ли такое объединение открытых интервалов $(a, 0)\cup (0, b)$, на котором функция $y={{\frac{f(x+\Delta x)-\Delta f(x)}{\Delta x}}$ определена и непрерывна. ... Если такое объединение открытых интервалов отсутствует, то функция $y=f(x)$ не имеет производной в точке $x$.

ewert в сообщении #348328 писал(а):
Тут некоторая бяда: эта непрерывность не имеет ни малейшего отношения к дифференцируемости функции $f$ конкретно в точке $x$, т.е. к непрерывности функции $y$ конкретно в точке $\Delta x=0$. Важна непрерывность только в самом нуле.

AD в сообщении #348375 писал(а):
Если функцию Дирихле умножить на $x^2$, то получится нечто дифференцируемое в нуле.

Да. Действительно, ошибка. Поэтому первоначальный комментарий надо изменить так:
$y=f(x)$. Приращение функции $\Delta y={{\frac{f(x+\Delta x)-\Delta f(x)}{\Delta x}}{\Delta x}$. Фиксируем $x$. Если функцию $y={{\frac{f(x+\Delta x)-\Delta f(x)}{\Delta x}}$ можно доопределить при ${\Delta x}=0$ так, что эта доопределенная функция непрерывна в нуле, то значение этой доопределенной функции при ${\Delta x}=0$ и будет производной функции $y=f(x)$ в точке $x$.

ewert в сообщении #348328 писал(а):
... непрерывность в одной отдельно взятой точке ровно и сводится к понятию предела. И какая разница, как это понятие оформлять -- в терминах окрестностей или в терминах расстояний. Да, первый подход -- более общий, но это уже непринципиально.

А в этом вопросе не могу с Вами согласиться. Функция непрерывна в точке $x$, если полный прообраз каждой открытой окрестности $f(x)$ открытая окрестность $x$. Конечно, это утверждение полностью эквивалентно определению непрерывности в точке с помощью определения предела на языке «эпсилон-дельта», но не «сводится к понятию предела».

AD и evert! Спасибо за помощь.

(Оффтоп)

Может быть, поможете и в этом случае topic35991.html?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 92 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group