Электродинамика : аналогия..

[PSP]

PSP писал(а):

Котофеич писал(а):

Котофеич писал(а):

:evil: Простейшая биинвариантная мера имеет следующий вид
$d\Omega(p;s,m)=\delta[( p_1^2-p_2^2-p_3^2-p_4^2)+s[( p_1^2-p_2^2-p_3^2-p_4^2)[ (p_1-z_1)^2-(p_2-z_2)^2-(p_3-z_3)^2-(p_4-z_4)^2]]-m^2]dp_1dp_2dp_3dp_4$.
Теперь нужно построить локальные квантованные поля A(x,z), соответствующие такой мере,вычислить коммутатор [A(x,z), A(y,z)] и проверить для таких полей справедливость аксиомы микропричинности . Если хотите, можете сами это сделать.

Применяя обычную процедуру сигаловского квантования, получаем следующее
выражение для свободного скалярного биинвариантного поля

$$A(x,z)=\int_{R^4}[a_*(p)exp(-ipx)+a(p)exp(ipx)]d\Omega(p;z,s,m)$$

.

Тогда переход к классике при s=0,так?

Как я понимаю s величина безразмерная? Можнт ли она зависеть от отношения p/z? вообше, чем определяется малость s ?

[Котофеич]

Вообще говоря величина s не предполагается малой и при малых
s теория не переходит только в обычную КТП. Второй член метрики импульсного пространства,представляет собой т.н. сингулярное возмущение и предел не будет однозначным, он имеет несколько значений, в том числе и классическое.

[PSP]

Котофеич писал(а):

предел не будет однозначным, он имеет несколько значений, в том числе и классическое.

Любопытно..Можно ли об этом поподробнее?

[Котофеич]

PSP писал(а):

Котофеич писал(а):

предел не будет однозначным, он имеет несколько значений, в том числе и классическое.

Любопытно..Можно ли об этом поподробнее?

Нужно взять интеграл по dp1, тогда будет ясно почему так. Я еще не записал соответствующее окончательное выражение для A(x,z).

Сначала нужно рассмотреть функцию
$p_1=\omega(p_2,p_3,p_4;s,z,m^2)$,
которая есть по определению, решение следующего алгебраического уравнения
$1.[( p_1^2-p_2^2-p_3^2-p_4^2)+s[( p_1^2-p_2^2-p_3^2-p_4^2)[ (p_1-z_1)^2-(p_2-z_2)^2-(p_3-z_3)^2-(p_4-z_4)^2]]=m^2]$.
Теперь введем новую переменную интегрирования
$2.\zeta=( p_1^2-p_2^2-p_3^2-p_4^2)+s( p_1^2-p_2^2-p_3^2-p_4^2)[ (p_1-z_1)^2-(p_2-z_2)^2-(p_3-z_3)^2-(p_4-z_4)^2]-m^2$.
Тогда дифференциалы $ d\zeta , dp_1$ будут связаны уравнением
$ 3. d\zeta =d[( p_1^2-p_2^2-p_3^2-p_4^2)+s( p_1^2-p_2^2-p_3^2-p_4^2)[ (p_1-z_1)^2-(p_2-z_2)^2-(p_3-z_3)^2-(p_4-z_4)^2]-m^2]$.

[PSP]

Котофеич писал(а):

PSP писал(а):

Котофеич писал(а):

предел не будет однозначным, он имеет несколько значений, в том числе и классическое.

Любопытно..Можно ли об этом поподробнее?

Нужно взять интеграл по dp1, тогда будет ясно почему так. Я еще не записал соответствующее окончательное выражение для A(x,z).

Сначала нужно рассмотреть функцию
$p_1=\omega(p_2,p_3,p_4;s,z,m^2)$,
которая есть по определению, решение следующего алгебраического уравнения
$[( p_1^2-p_2^2-p_3^2-p_4^2)+s[( p_1^2-p_2^2-p_3^2-p_4^2)[ (p_1-z_1)^2-(p_2-z_2)^2-(p_3-z_3)^2-(p_4-z_4)^2]]=m^2]$.Теперь введем новую переменную интегрирования
$\zeta=( p_1^2-p_2^2-p_3^2-p_4^2)+s( p_1^2-p_2^2-p_3^2-p_4^2)[ (p_1-z_1)^2-(p_2-z_2)^2-(p_3-z_3)^2-(p_4-z_4)^2]-m^2$.
Тогда дифференциалы $ d\zeta , dp_1$ будут связаны уравнением
$ d\zeta =d[( p_1^2-p_2^2-p_3^2-p_4^2)+s( p_1^2-p_2^2-p_3^2-p_4^2)[ (p_1-z_1)^2-(p_2-z_2)^2-(p_3-z_3)^2-(p_4-z_4)^2]-m^2]$.

Т.е.
1.$p_1$ вводится руками, даже без всякого физ. оправдания?
2.А как же тут получается несколько пределов?

[Котофеич]

Ясно, что $p_1$ это энергия свободной частицы, потому что (1) это уравнение
массовой поверхности.

[PSP]

Котофеич писал(а):

Ясно, что $p_1$ это энергия свободной частицы, потому что (1) это уравнение
массовой поверхности.

Чтож , смысел в этом есть.Тогда как несколько пределов получается? В том числе и классический?

[Котофеич]

Так ведь функция $p_1=\omega(p_2,p_3,p_4;s,z,m^2)$, будет входить
в ответ после вычисления интеграла. Эта функция имеет четыре значения, потомуй что
уравнение (1) имеет в общем случае четыре корня. Отрицательные и комплексные корни отбрасываются услвиеями вещественности и неотрицательности энергии, а чтобы видеть что
там после этого останется, так это нужно записать явное выражение для
$p_1=\omega(p_2,p_3,p_4;s,z,m^2)$ и исследовать при малых s.
Выпишите общее выражение для корней уравнения 4-й степени и исследуйте.

[PSP]

Котофеич писал(а):

Так ведь функция $p_1=\omega(p_2,p_3,p_4;s,z,m^2)$, будет входить
в ответ после вычисления интеграла. Эта функция имеет четыре значения, потомуй что
уравнение (1) имеет в общем случае четыре корня. Отрицательные и комплексные корни отбрасываются услвиеями вещественности и неотрицательности энергии, а чтобы видеть что
там после этого останется, так это нужно записать явное выражение для
$p_1=\omega(p_2,p_3,p_4;s,z,m^2)$ и исследовать при малых s.
Выпишите общее выражение для корней уравнения 4-й степени и исследуйте.

Понял.Тогда всё естественно.Как я понимаю, вопрос квантования не стоит.Тогда весь вопрос в решении проблемы микропричинности, расходимостей и ,главное, экспериментальной проверки..(Интересно ещё и то, что в моей теории ФД тоже есть уравнения 4-й степени ,только корни там все вещественны.Кстати, Мэпл почему-то отказывается решать уравнения 4-й степени..Странно..)

[Котофеич]

Дифференциалы $ d\zeta , dp_1$ связаны уравнением
$ 3. d\zeta =d[( p_1^2-p_2^2-p_3^2-p_4^2)+s( p_1^2-p_2^2-p_3^2-p_4^2)[ (p_1-z_1)^2-(p_2-z_2)^2-(p_3-z_3)^2-(p_4-z_4)^2]-m^2]$.
Из тождества 3, мы имеем
$ 4. d\zeta =2p_1d p_1+2sp_1 dp_1[ (p_1-z_1)^2-(p_2-z_2)^2-(p_3-z_3)^2-(p_4-z_4)^2]-m^2]+2s(p_1-z_1)d p_1( p_1^2-p_2^2-p_3^2-p_4^2)$.
Окончательно имеем
$ 5. d\zeta = dp_1[2p_1+2sp_1[ (p_1-z_1)^2-(p_2-z_2)^2-(p_3-z_3)^2-(p_4-z_4)^2]-m^2]+2s(p_1-z_1)( p_1^2-p_2^2-p_3^2-p_4^2)]$
или
$ 6. dp_1 =d\zeta[2p_1+2sp_1[ (p_1-z_1)^2-(p_2-z_2)^2-(p_3-z_3)^2-(p_4-z_4)^2]-m^2]+2s(p_1-z_1)( p_1^2-p_2^2-p_3^2-p_4^2)]^c$.
Где
$p_1=\omega(p_2,p_3,p_4;s,z,m^2+\zeta),c=-1$.
Теперь можно выполнить интегрирование по переменной $p_1$,
используя определение дельта-функции. Для сокращения записи, перепишем 6 в виде
$ 7. dp_1 =d\zeta \Sigma(p_2,p_3,p_4;s,z,m^2+\zeta),$.
Теперь подставим выражение 7 в формулу 8

$$8.A(x,z)=\int_{R^4}[a_*(p)exp(-ipx)+a(p)exp(ipx)]d\Omega(p;z,s,m)$$

,
получим

$$8.A(x,z)=\int_{R^3}[a_*(p)exp(-ipx)+a(p)exp(ipx)]\delta(\zeta)d\zeta \Sigma(p_2,p_3,p_4;s,z,m^2+\zeta)dp_2dp_3dp_4$$

,
где $p=(p_1,p_2,p_3,p_4)$.
$p_1=\omega(p_2,p_3,p_4;s,z,m^2+\zeta)$.

[Аурелиано Буэндиа]

Котофеич писал(а):

Со свойствами света противоречий никаких нет. Я же не постулирую, что свет распространяется по геодезическим соответствующим этой метрике. Если такой постулат
принять то нужно выбрать параметр s достаточно малым, чтобы не противоречить эксперименту. Потом такая метрика используется мною для построения перенормируемой
версии квантовой гравитации. Там параметр s можно брать большим, потому что квантовая
гравитация существенно влияет только на начальной стадии эволюции, где обычная метрика
минковского не обязана определять физические свойства света. Если Вы постулируете мою
метрику как физическую основу квантовой космологии, то такая модель предполагает фазовый переход от анизотропного мира к изотропному с метрикой Минковского. Физических
моделей на основе таких можно много построить. Мы пока будем рассматривать метрику
$R^2(z,p)=( p_1^2-p_2^2-p_3^2-p_4^2)+s[( p_1^2-p_2^2-p_3^2-p_4^2)[ (p_1-z_1)^2-(p_2-z_2)^2-(p_3-z_3)^2-(p_4-z_4)^2]]$,
в импульсном пространстве. Блихайшая цель состоит в том, чтобы показать, что такая метрика позволяет строить перенормируемые теории для сингулярных лагранжианов, соответствующих моделям неперенормируемым в обычной метрике Минковского...

Честно говоря, удивляет несколько появление вектора $(z_1,z_2,z_3,z_4)$. Вначале шла речь об операторе $\Box+s^2\Box^2$ и тут самым загадочным образов возникает этот вектор, если Вы хотели вместо

$$ g_{\mu\nu}\triangle x^{\mu} \triangle x^{\nu} $$

написать более общую метрику то тогда, непонятно, почему бы не рассмотреть метрику

$$ g_{\mu\nu}\triangle x^{\mu} \triangle x^{\nu}+ s(g_{\mu\nu}(\triangle x^{\mu}-y^{\mu}) (\triangle x^{\nu}-y^{\mu})-g_{\mu\nu} y^{\mu}y^{\nu})(g_{\mu\nu}(\triangle x^{\mu}-y^{\mu}) (\triangle x^{\nu}-y^{\mu})-g_{\mu\nu} z^{\mu}z^{\nu}) $$

где
$y,z$ -- некоторые постоянные векторы.
Возможен ли такой вариант?

Но, для начала, было бы неплохо до конца разобраться со случаем $y=0=z$, тогда мы имеем, для случая $\triangle x_2=\triangle x_3=0$

$$ (\triangle t^2-\triangle x^2)+ s(\triangle t^2-\triangle x^2)^2 $$

и если теперь рассмотреть точки в $\mathbb{R}^{1,3}$, которые связаны светоподобным интервалом, то получим для $\triangle t=0$, что

$$ \triangle x=0 $$

или

$$ \triangle x=\frac{1}{\sqrt{s}} $$

таким образом, во вселенной существуют 2-е точки связанные светоподобным интервалом, для которых $\triangle t=0$ и $|\triangle x|>0$. Грубо говоря, если $s$ достаточно велико, то Вы можете влиять на то, что происходит, например, в туманности Андромеды в данный момент времени. Это по-моему парадоксальное следствие.

[Котофеич]

Пример теории с индефинитной метрикой, который я приводил в начале носит характер
наводящих соображений и к моим построениям прямого отношения не имеет. Далее
1. При рассмотренном способе квантования, в х-пространстве я сохраняю обычную метрику
Минковского, так что никаких проблем с макропричинностью нет. Микропричинность я докажу
после того как выпишу коммутатор.
2. В р-пространстве выбрана другая метрика. Такая метрика приводит к другой зависимости
между энергией и импульсом.
3. Если хотите использовать аналогичные метрики в х-пространстве, то нет проблем. Ваше
рассуждение показывает только то что в таком случае понятие светоподобного интервала
может не иметь смысла или на величину параметра s следует наложить соответствующее
ограничение сверху.
4. Вектор z делает метрику анизотропной по отношению к обычным преобразованиям Лоренца
и вращениям. Этот вектор был введен впервые в работах Богословского для более общих метрик.
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... /04-05.pdf
5. Метрики общего вида типа Вашей в х-пространстве я не рассматривал. Вообще идея
состоит не в этом, а в том чтобы ввести новый класс лоренц-инвариантных мер именно в
р-пространстве.

[PSP]

Котофеич писал(а):

:evil: Пример теории с индефинитной метрикой, который я приводил в начале носит характер
наводящих соображений и к моим построениям прямого отношения не имеет. Далее
1. При рассмотренном способе квантования, в х-пространстве я сохраняю обычную метрику
Минковского, так что никаких проблем с макропричинностью нет. Микропричинность я докажу
после того как выпишу коммутатор.
2. В р-пространстве выбрана другая метрика. Такая метрика приводит к другой зависимости
между энергией и импульсом.3. Если хотите использовать аналогичные метрики в х-пространстве, то нет проблем. Ваше
рассуждение показывает только то что в таком случае понятие светоподобного интервала
может не иметь смысла или на величину параметра s следует наложить соответствующее
ограничение сверху.
4. Вектор z делает метрику анизотропной по отношению к обычным преобразованиям Лоренца
и вращениям. Этот вектор был введен впервые в работах Богословского для более общих метрик.
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... /04-05.pdf
5. Метрики общего вида типа Вашей в х-пространстве я не рассматривал. Вообще идея
состоит не в этом, а в том чтобы ввести новый класс лоренц-инвариантных мер именно в
р-пространстве.

Вообще, мне кажется, что метрика в в х-пространстве должна быт изоморфна метрике в р-пространстве .
Если вектор z инвариантен, то можно ли его воспринимать как некий фундаментальный импульс?
Честно говоря, такая сильная уверенность в этом меня сильно смущает..

[Котофеич]

Никак нет. В общем случае метрика в в х-пространстве никак не связана с метрикой
в р-нространстве. Для этого нужно как минимум постулировать что лагранжиан свободной
частицы выражается через метрику каноническим образом, см.ЛЛТ.2. В более ссложных
моделях и метрика в х-пространстве может быть более сложная. Главная проблема в
том чтобы выполнялись по меньшей мере условия лоренц-инвариантности и микропричинности. Про экспериментальный статус анизотропных метрик я же Вам дал ссылки, где почитать.

[PSP]

Котофеич писал(а):

Для этого нужно как минимум постулировать что лагранжиан свободной
частицы выражается через метрику каноническим образом

А вот это я как раз и считаю самым необходимым и разумным требованием. Или метрика и лагранжиан свободной
частицы долхны быть абсолютно не связаны?

Добавлено спустя 2 минуты 52 секунды:

Котофеич писал(а):

Главная проблема в
том чтобы выполнялись по меньшей мере условия лоренц-инвариантности и микропричинности

А вот условия лоренц-инвариантности и микропричинности придётся обобщать в целях борьбы с расходимостями..